Ejercicio programación lineal

Ejercicio programación lineal - Control 2 3 de Octubre...

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Control 2 3 de Octubre, 2007 Pregunta 1: 1. (1 pto.) Si para un problema de optimización lineal se tiene un candidato a óptimo, que al menos es óptimo local. ¿Qué condiciones adicionales debe cumplir esta solución para ser óptimo global? Justifique claramente su respuesta. 2. (1 pto.) ¿Es posible encontrar un problema lineal infactible y que su dual también sea infactible? En caso afirmativo encuentre un ejemplo. En caso negativo demuestre por contradicción. 3. (1 pto.) Si S es el espacio de soluciones factibles de un problema, y el cono característico de S (car(S)) es no vacío. Asumiendo que se conocen todos los puntos extremos de S (llamémoslos Xi) y todas las direcciones extremas (llamémoslas Yj), ¿cómo puede ser representado un vector x, perteneciente a este espacio de soluciones factibles? Explique por qué no puede ser representado como en el caso en que car(S) es vacío. 4. (1 pto.) Comente las siguientes afirmaciones: a. En un problema de optimización lineal, utilizando el algoritmo simplex, siempre es posible alcanzar al menos 1 solución óptima al problema. b. Si un problema lineal tiene solución (finita) entonces el valor óptimo se alcanza exclusivamente en un punto extremo del poliedro factible. c. En la fase II del algoritmo simplex, es posible asegurar que siempre se estará en el espacio de soluciones factibles de un problema. 5. (1 pto.) Se tiene el siguiente poliedro P = {x R n / Ax = b, x 0} con A M m,n y b R m . Suponga que conoce un vértice v P y su respectiva base B v M m,m . Explique cómo haría para obtener todos los vértices adyacentes a v dentro del poliedro P. (puede utilizar un pseudo algoritmo para responder esta pregunta). 6. (1 pto.) Para el problema que resolvió en la Tarea 2: ¿Cuál es la función objetivo? Explique claramente las variables utilizadas y cómo la programaría (función objetivo y variable de decisión) en AMPL. Solución: 1. Dado que es un problema lineal y que al menos existe una solución factible, entonces el conjunto de soluciones factibles es convexo (teorema demostrado en cátedra), condición suficiente para que un óptimo local sea óptimo global. Por esto la solución candidata a óptimo local es óptimo global.
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2. Si. Aquí los ejemplos pueden ser muchos, lo importante es verificar que efectivamente uno es el dual del otro y que ambos sean infactibles. Por ejemplo: 3. El vector x puede ser representado como 0 , , 1 , 2200 = + = j i P i i P i Q j j j i i Y X x μ λ λ μ λ donde P es el conjunto de puntos extremos y Q es el conjunto de direcciones extremas. En este caso los puntos pertenecientes al espacio de soluciones factibles no pueden ser escritos sólo como combinación lineal de los puntos extremos del problema (como en el caso en que Car(S) es vacío) porque es un espacio no acotado, por lo que debe utilizarse adicionalmente una combinación de las direcciones extremas.
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