Clase Flujo de Redes

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Unformatted text preview: CAP ´ ITULO 5 FLUJO EN REDES Flujo en Redes in34a - Optimizaci´on Flujo en Redes Flujo en redes corresponde al problema de pasar un flujo por una red de nodos inter- conectados. Los problemas de Flujos en Redes son comunes en el ´ area de transporte, comunica- ciones, electricidad e inform´ atica. Para resolver el problema de flujo en redes se utiliza la teor´ ıa de Grafos , cuyo pionero fue Leonhard Euler (1736). En este cap´ ıtulo veremos el problema del flujo m´ aximo y de la ruta m´ as corta, a partir de los cuales se puede obtener soluci´on a otros problemas de flujo en redes. Flujo en Redes 1 in34a - Optimizaci´on Conceptos B´ asicos Un Grafo es una estructura matem´ atica compuesta de un conjunto de puntos deno- minados nodos o v´ ertices y un conjunto de trazos que unen los nodos denominados arcos o aristas . Si los arcos son flechas el grafo es orientado , si corresponde solo a lineas es un grafo no orientado . En este cap´ ıtulo trabajaremos con grafos orientados. Veamos formalmente como se define un grafo orientado: Definici´on: Un grafo orientado G = [ N,A ] es un sistema formado por un conjunto finito no vac´ ıo N = { 1 , 2 ,...,n } cuyos elementos se llaman nodos y un conjunto A de pares ordenados de elementos de N llamados arcos. Observaci´on: Se denota | N | = n y | A | = m . Flujo en Redes 2 in34a - Optimizaci´on Conceptos B´ asicos Ej: G = [ N,A ] con N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y A = { (1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 3) , (3 , 4) , (3 , 5) , (4 , 5) } Observaci´on: El arco ( i,j ) denota un arco que va desde el nodo i al nodo j . Este arco se denomina incidente en los nodos i y j . Adem´ as i y j se denominan nodos adyacentes dado que existe un arco entre ellos. Definici´on: Dado un grafo G = [ N,A ] , un subgrafo es un grafo G = [ N ,A ] donde N ⊆ N y A ⊆ A . Flujo en Redes 3 in34a - Optimizaci´on Conceptos B´ asicos Definici´on: Un camino entre dos nodos i y j , en un grafo orientado G , es una secuencia de nodos y arcos de G que comunica los 2 nodos. Observaci´on: Si los nodos l y k pertenecen al camino definido anteriormente y son consecutivos en la secuencia, entonces el arco ( l,k ) o el ( k,l ) pertenece al camino. Si el arco ( l,k ) pertenece al camino, se dice que es un arco hacia adelante y si el arco ( k,l ) pertenece al camino, se dice que es un arco hacia atr´as o en reversa. Estrictamente una secuencia que solo contenga arcos hacia adelante se denomina camino y una secuencia que contiene arcos hacia adelante y hacia atr´ as se denomina cadena , sin embargo, en este cap´ ıtulo se hablar´ a indistintamente de camino en ambos casos. Flujo en Redes 4 in34a - Optimizaci´on Conceptos B´ asicos Definici´on: Un circuito en un grafo orientado es un camino donde el nodo inicial y el nodo final coinciden....
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