Clase programación lineal

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Unformatted text preview: CAP ´ ITULO 3 PROGRAMACI ´ ON LINEAL Programaci´ on Lineal in34a - Optimizaci´on Cap´ ıtulo 3: Programaci´on Lineal (PL)m´ax c T x s.a. Ax ≤ b x ≥ Un Modelo de Producci´on Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir la pr´ oxima semana. Cuenta con 2 insumos importantes: madera y fierro. Dispone de 100 m 2 de madera, 60 m lineales de fierro y 50 horas-hombre por semana para el armado de las sillas y mesas. Se requiere 1 m 2 de madera, 1 m de fierro y 1 hora-hombre para cada silla y 4 m 2 de madera, 2 m de fierro y 1 hora-hombre para cada mesa. Se asume que se puede vender todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de M$ 1 y por mesa de M$ 3. Se debe decidir la cantidad de muebles que se fabricar´ an para maximizar el beneficio. Programaci´ on Lineal 1 in34a - Optimizaci´on Un Modelo de Producci´on Variables de Decisi´on: x 1 : Cantidad de sillas que se fabrican en la semana. x 2 : Cantidad de mesas que se fabrican en la semana. Restricciones: 1. Restricciones Generales: a ) 100 m 2 de madera: x 1 + 4 x 2 ≤ 100 b ) 60 m de fierro: x 1 + 2 x 2 ≤ 60 c ) 50 hrs-hombre: x 1 + x 2 ≤ 50 2. No Negatividad: x 1 ,x 2 ≥ Programaci´ on Lineal 2 in34a - Optimizaci´on Un Modelo de Producci´on Funci´ on Objetivo: m´ax z = x 1 + 3 x 2 Gr´ afico: A, B, C, D y E: Vertices del conjunto factible. Para maximizar c T x , desplazamos el hiperplano c T x = k , en la direcci´on del gradiente de la funci´on (el vector c ). Programaci´ on Lineal 3 in34a - Optimizaci´on Un Modelo de Producci´on M´ as adelante se ver´ a que si un problema lineal admite soluci´on, entonces al menos uno de los v´ ertices del conjunto factible es punto ´optimo. As´ ı, para resolver el problema se podr´ ıa evaluar la funci´on objetivo en cada uno de los v´ ertices del conjunto factible y seleccionar aquel con funci´on objetivo mayor. Determinemos el punto A: corresponde a la intersecci´on de las rectas que limitan los semiespacios generados por las restricciones 1a y 1b. Resolvamos el sistema: x 1 + 4 x 2 = 100 x 1 + 2 x 2 = 60 As´ ı el punto A es (20,20). An´ alogamente podemos determinar B, C, D y E, resultando: Programaci´ on Lineal 4 in34a - Optimizaci´on Un Modelo de Producci´on Vertice x 1 x 2 z A 20 20 80 B 40 10 70 C 50 50 D E 25 75 Dado que para un problema lineal la condici´on de KKT es suficiente (si pensamos el problema como m´ ın- c T x ) y que el punto A la satisface ⇒ A es ´optimo. El vector gradiente de la funci´on objetivo en A cambiado de signo (-∇ f (A) ) se puede expresar como combinaci´on lineal no negativa de los gradientes de las restricciones activas. O sea: (1 , 3) T = λ 1 (1 , 4) T + λ 2 (1 , 2) T , donde λ 1 = λ 2 = 1 2 Luego, en la soluci´on ´optima se necesitan 100 m 2 de madera, 60 m de fierro y 40 hrs-hombre (aunque no usemos todas las hrs-hombre disponibles)....
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