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Clase Simplex - Forma estndar de un programa lineal a Sin...

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Forma est´ andar de un programa lineal Sin p´ erdida de generalidad, todo programa lineal se puede escribir como: min cx s . t Ax = b x 0 Objetivo: minimizar Todas las desigualdades como ecuaciones Todas las variables mayores o iguales que cero
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Convertir un Programa Lineal a la Forma Est´ andar A˜nadir una variable de holgura s i 0 a cada desigualdad i de signo Substraer una variable de exceso e i 0 de cada desigualdad i de signo Sustituir x i sin restricci´ on de signo por x i - x i , x i , x i 0
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Algoritmo Simplex Dantzig(1947) min cx s . t Ax = b x 0 Fase I. Encontrar una soluci´ on b´ asica factible inicial o concluir que el problema es no factible Fase II. Usar la soluci´ on b´ asica inicial de la fase I para determinar (1) la soluci´ on m´ ınima ´ optima o (2) que el problema es no acotado.
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Soluciones factibles, b´ asicas P min cx (1) s . t Ax = b (2) x 0 (3) Una soluci´ on factible de (P) es el vector x = { x 1 , x 2 , . . . , x n } que satisface ( ?? ) y ( ?? ). Una matriz b´ asica es una matriz no singular mxn formada por m columnas de A (Rango(A)=m) Una soluci´ on b´ asica de un programa lineal es el vector ´unico determinado al escoger una matriz b´ asica, asignar un valor de cero a las n - m variables asociadas con las columnas que no est´ an en la matriz b´ asica y resolver el sistema no singular resultante para las m variables restantes
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Soluciones b´ asicas factibles Una soluci´ on b´ asica factible de (P) es aquella cuyas variables son todas no-negativas. Una soluci´ on b´ asica factible de no degenerada tiene exactamente m variables positivas. Una soluci´ on o´ptima de (P) es una soluci´ on factible que tambi´ en minimiza Z en ( ?? )
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Teorema fundamental programaci´ on lineal Teorema 1. La regi´ on factible de cualquier programa lineal es un conjunto convexo. Si un PL tiene soluci´ on ´ optima, debe existir un v´ ertice de dicha regi´ on que es ´ optimo. Teorema 2. Para todo PL, existe un ´unico v´ ertice de la regi´ on factible el cual corresponde a cada soluci´ on b´ asica factible. Igualmente, al menos una de las soluciones b´ asicas factibles corresponde a cada v´ ertice la regi´ on factible.
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