Clase Programación lineal entera

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Unformatted text preview: CAP ´ ITULO 4 PROGRAMACI ´ ON LINEAL ENTERA in34a - Optimizaci´on Programaci´on Lineal Entera Es una t´ ecnica que permite modelar y resolver problemas cuya caracter´ ıstica principal es que el conjunto de soluciones factibles es discreto. Modelo Lineal (que vimos en P.L.) agregando que las variables de decisi´on deben ser enteras. A veces, algunas variables pueden ser enteras y otras continuas, en este caso hablamos de programaci´ on lineal entera mixta . Ejemplos de estos modelos: localizaci´on de plantas. Caso Particular: modelos lineales binarios donde las variables representan decisiones del tipo si o no (1 o 0). in34a - Optimizaci´on El Problema (PE)m´ ın z = c T x s.a. Ax ≤ b x i ∈ IN i = 1 ,...,n Con IN los naturales uni´on el cero. Es claro que si el conjunto { x/Ax ≤ b } es acotado, el n´umero de soluciones factible es finito. Eso implica que el problema es f´ acil? No, necesariamente, porque el n´umero de soluciones puede ser exponencial en el tama˜no del problema (n´umero de variables). Por ejemplo, el conjunto definido por ≤ x i ≤ 1 i = 1 ,...,n x i ∈ IN i = 1 ,...,n Es el conjunto de v´ ertices del n-cubo que tiene 2 n v´ ertices. Se puede mostrar que los problemas del tipo (PE) son NP-completos, lo que significa que son dif´ ıciles de resolver. in34a - Optimizaci´on El Problema Problema Mixto: (PM)m´ ın z = c T x s.a. Ax ≤ b x i ∈ IN i ∈ I ⊆ { 1 ,...,n } x j ≥ j ∈ I C (PM) es tan complicado como (PE). Ejemplo de (PE): m´ax z = 2 x 1 + x 2 s.a. x 1 + x 2 ≤ 3 5 x 1 + 2 x 2 ≤ 10 x 1 ,x 2 ≥ , enteros in34a - Optimizaci´on El Problema Dejamos los m´ etodos de soluciones para m´ as adelante. Veremos algunos modelos de programaci´ on lineal entera. in34a - Optimizaci´on Problema de la Mochila Se tienen n tipos diferentes de objetos, cada uno de ellos tiene un peso w j y un valor v j . Se dispone de una mochila donde se colocar´ an los objetos, que soporta un peso m´ aximo de W , de manera de maximizar el valor total del contenido de la mochila. Los objetos son indivisibles, o sea s´olo se puede colocar un n´umero entero de cada objeto. Modelo: (Problema de la Mochila (knapsack) Entero) x j-→ unidades del objeto j que se colocar´ an en la mochila. m´ ax z = ∑ n j =1 v j x j s.a. ∑ n j =1 w j x j ≤ W x j ≥ , enteros j = 1 ,...,n in34a - Optimizaci´on Problema de la Mochila Si solo existe un objeto de cada tipo entonces x j = 0 ´ o 1-→ knapsack binario ´o 0-1, 1 corresponde a poner el objeto en la mochila y 0 a no ponerlo. Otra aplicaci´on de este problema se utiliza cuando existen mercader´ ıas que deben ser almacenadas o transportadas considerando una disponibilidad de espacio o peso limitado, con cada mercader´ ıa con un cierto valor....
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