CS313K Chapter 2 - Axiom of Extensionality Let A and B...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Axiom of Extensionality Let A and B denote any sets. If A and B denote the same set, we write A = B, and  A = B iff for every x, (x   A iff x   B) Axiom of Separation Let D be a set and let  (x) be a predicate in the one variable x. Assume that this ρ   predicate can be meaningfully applied to the elements of D. Then there exists a set S  such that,  for any x, x   S iff (x   D and  (x)) ρ Definition 2-3 Let A, B be sets. A is a  subset  of B, written A  B, iff for every x, if x  A, then x   B. A  and B may be identical. If they are not identical, then A is a  proper subset  of B, written A  B. Theorem 2-4 Let A, B be sets. Then A = B iff (A  A) Theorem 2-5 Let A, B, C be sets. Then if (A   C), then A   C Definition 2-6 Ø = { x | x ≠ x }.  Ø is called the  empty set . Definition 2-7 Let A, B be sets. The  union  of A and B is A U B = { x | x   A or x   B } The  intersection  of A and B is  B = { x | x   B } If A   B =  Ø , we say that A and B are  disjoint . Theorem 2-8 Let D be the domain of discourse, and let A be any subset of this domain. Then the  following statements are true: 1. Ø A 2. A
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
3. A U Ø = A 4. Ø = Ø 5. A U D = D 6.  D = A Definition 2-9 Let A, B be sets. The  set theoretic difference between  A and B, also called the  complement  of B  relative  to A, is A – B = {x | x   B} Definition 2-10 Let D be a domain of discourse, and let B be a subset of D. Then the complement of B  relative to D is called the  complement  of B and is denoted by B’. Thus, B’ = (D – B). Further exploration:   If D is a given domain, then any element under consideration is in  D, hence x   D is true for any x. But x   D – B is true iff (x   B), and the latter  is true iff x  B (since x   D is true for any x). Thus, we can simplify the definition of B’  to B’ = { x | x  ∉Β }. (2.129 From (2.1), x   B’   B, and similarly, x   A’   x  A. For any sets A, B, by the  Axiom of Extensionality, A = B   (x  A   x   B). But, tautologically, (x   A   x   B) holds iff (x   A   x   B), so A = B  (x   A   x   B). But since x 
Background image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Page1 / 8

CS313K Chapter 2 - Axiom of Extensionality Let A and B...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online