ma1_6 - 70 Kapitola VI SPOJITÉ FUNKCIE 1 SPOJITOS&...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 70 Kapitola VI. SPOJITÉ FUNKCIE 1 SPOJITOS & FUNKCIE V BODE Sú typy funkcií, ktorá sa vyzna & ujú tým, že v bodoch blízkych danému reálnemu & íslu a sa ich hodnoty „málo líšia“ od f ( a ). Pretože sme sa už pri limitách nau & ili presne formulova ¡ pojem „blízky“, môžeme hne ¢ pristúpi ¡ k definícii. Definícia 1. Hovoríme, že funkcia f definovaná na množine M je spojitá v bode a ∈ M , ak pre £ ubovo £ né okolie O( f ( a )) bodu f ( a ) existuje také okolie O( a ) bodu a , že f [O( a ) ∩ M ] ⊂ O( f ( a )). Teda )) ( ( ] ) ( [ ) ( )) ( ( a f M a f a a f O O O O ⊂ ∩ ∃ ∀ . Pretože a i f ( a ) sú reálne & ísla, možno bra ¡ symetrické okolie O( f ( a )) aj symetrické okolie O( a ). Definíciu spojitosti funkcie v bode a možno teda sformulova ¡ takto: ε δ δ ε <- & <- ∀ ∃ ∀ ∈ > > | ) ( ) ( | | | a f x f a x M x (1) Z uvedenej formulácie dá sa tuši ¡ , že spojitos ¡ môže súvisie ¡ s limitou. To, & o tu chýba je predpo- klad, že a je hromadný bod množiny M . V definícii spojitosti sme to nepredpokladali. Ak však a je hromadný bod množiny M , tak z (1) ihne ¢ dostávame nasledujúce tvrdenie: Veta 1. Nech f je funkcia definovaná na množine M . Nech a ∈ M a navyše nech a je hromad- ným bodom množiny M . Potom f je spojitá funkcia vtedy a len vtedy, ak ) ( lim x f a x → existuje a platí ) ( ) ( lim a f x f a x = → . Z definície spojitosti resp. z vety 1 £ ahko nájdeme celý rad príkladov spojitých, resp. nespojitých funkcií. Príklad 1. Nech f ( x ) = x . Funkcia f je spojitá v každom & ísle a ∈ R. Každé & íslo a je totiž hromad- ným bodom jej defini & ného oboru a platí ) ( lim ) ( lim a f x x f a x a x = = → → . Príklad 2. Nech f ( x ) = [ x ] ([ x ] je celá & as ¡ & ísla x ). ¤ ahko zistíme, že f nie je spojitá v žiadnom celom & ísle a (pozri príklad 4.23). Obr. 21 71 Príklad 3. Nech & ¡ ¢ = ≠ = 1 ) ( x x x f pre pre (pozri obr. 21) Bezprostredne z definície limity v bode 0 zistíme, že 1 ) ( lim = → x f a x . Pretože f (0) = 0 ≠ 1, máme ) ( ) ( lim f x f a x ≠ → . Funkcia f teda nie je spojitá v bode 0. POZNÁMKA 1. Zvláštna situácia nastane, ke & funkcia f je definovaná v bode a ∈ M a ke & ten bod nie je hromadným bodom jej defini ¡ ného oboru. Vtedy pre ¢ ubovo ¢ né ε > 0 môžeme zvoli £ okolie O( a ) bodu a tak, že v ¤ om je len bod a , a teda pre každé x ∈ O( a ), x ∈ M (je to len jediné x a to x = a .) platí | f ( x ) - f ( a )| = | f ( a ) - f ( a )| = 0 < ε . Teda f je v takom bode spojitá. Ak prihliadneme k vete 1 a poznámke 1 a použijeme niektoré vety o limitách, tak bezprostredne dostaneme nasledujúce tvrdenie. V ¤ om f , g sú funkcie definované na množine M a bod a ∈ M ....
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Page1 / 8

ma1_6 - 70 Kapitola VI SPOJITÉ FUNKCIE 1 SPOJITOS&...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online