ma1_4 - 41 Kapitola IV. POJEM LIMITY 1 OKOLIE BODU Okolie...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 41 Kapitola IV. POJEM LIMITY 1 OKOLIE BODU Okolie bodu bude základným pojmom, pomocou ktorého budeme definova & pojem limity. Definícia 1. Nech x ∈ R je ¡ ubovo ¡ ný bod. Okolím bodu (reálneho ¢ ísla) x nazveme ¡ ubovo ¡ ný otvorený interval ( a , b ), ktorý bod x obsahuje. V špeciálnom prípade ak a = x- δ , b = x + δ , kde δ je kladné ¢ íslo, hovoríme o δ-okolí bodu alebo o symetrickom okolí bodu x . V £ alšom budeme znakom & x ozna ¢ ova & systém všetkých okolí bodu x . Jednotlivé okolia zo sys- tému & x budeme ozna ¢ ova & znakmi O( x ) resp. O 1 ( x ), O 2 ( x ) a pod. Ak bude zrejmé, o okolie ktorého bodu ide, budeme písa & len O, O 1 , O 2 a pod. Veta 1. Nech pre každé x ∈ R je & x systém všetkých jeho okolí. Potom sú splnené tieto vlastnosti: 1. Pre každé x ∈ R a pre každé O( x ) ∈ & x platí x ∈ O( x ). 2. Ak O( x ) ∈ & x a ak y ∈ O( x ), tak e x istuje O( y ) ∈ & y tak, že O( y ) ⊂ O( x ). 3. Ak O 1 ∈ & x , O 2 ∈ & x , tak e x istuje O ∈ & x tak, že O ⊂ O 1 ∩ O 2 . 4. Ak x ≠ y , tak e x istuje O( x ) ∈ & x , O( y ) ∈ & y tak, že O( x ) ∩ O( y ) = Ø D ô k a z . Vlastnos & 1 je zrejmá a tak isto je zrejmá aj vlastnos & 2, pretože v nej možno položi & O( y ) = O( x ). Dokážeme vlastnos & 3. V nej O 1 = ( a 1 , b 1 ), O 2 = ( a 2 , b 2 ) sú intervaly obsahujúce bod x . Sta ¢ í položi & a = max ( a 1 , a 2 ) a b = min (b 1 , b 2 ) a máme O = ( a , b ) ∈ & x ; O ⊂ O 1 ∩ O 2 . Jednoduchý dôkaz vlastnosti 4 vynecháme. POZNÁMKA 1. Pri dôkaze vlastnosti 3 sme vlastne dokázali, že za O( x ) môžeme rovno zvoli & O 1 ( x ) ∩ O 2 ( x ). Vlastnosti 1, 2, 3, 4 platia aj vtedy, ke £ namiesto ¡ ubovo ¡ ných okolí uvažujeme symetrické okolia. Definícia 2. Nech M ⊂ R je nejaká množina. Budeme hovori & , že bod c je hromadným bodom množiny M , ak v ¡ ubovo ¡ nom okolí O bodu c e x istuje bod x ∈ M , x ≠ c . Príklad 1. Nech M = & ¡ ¢ £ ¤ ¥ & & , , , , , k 1 3 1 2 1 1 Bod 0 je hromadným bodom množiny M . Skuto ¢ ne, ak zoberieme ¡ ubovo ¡ né okolie bodu 0, teda interval ( a , b ), kde a < 0 < b , tak pod ¡ a dôsledku 2 vety 2.4.3 e x istuje také prirodzené ¢ íslo n , že n 1 < b . Teda n 1 ∈ ( a , b ). Pretože je n 1 ∈ M a n 1 ≠ 0, dostali sme, že 0 je hromadným bodom množiny M . POZNÁMKA 3. Príklad 1 ukazuje, že hromadný bod množiny M nemusí do tej množiny patri & . Príklad 2. Nech M = ¦ a , b § . ¤ ahko sa dokáže, že každý bod množiny M je jej hromadný bod. Ne- cháme túto úvahu urobi & ¢ itate ¡ ovi. Je tiež ¡ ahké ukáza & , že v tomto prípade žiadny iný bod nie je hromadným bodom množiny M . Skuto ¢ ne, nech c ≠ ¦ a , b § . Potom bu £ c < a , alebo c > b . Zoberme prvý prípad. V druhom je úvaha analogická. Zvolíme b 1 tak, že c < b 1 < a (to je z vlastností reálnych ¢ ísel možné). ¥ alej zvolíme a 1 < c . Zrejme interval ( a 1 , b 1...
View Full Document

Page1 / 15

ma1_4 - 41 Kapitola IV. POJEM LIMITY 1 OKOLIE BODU Okolie...

This preview shows document pages 1 - 2. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online