ma1_5 - 56 Kapitola V. & ÍSELNÉ POSTUPNOSTI A...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 56 Kapitola V. & ÍSELNÉ POSTUPNOSTI A ŠTRUKTÚRA & ÍSELNÝCH MNOŽÍN 1 LIMITY MONOTÓNNYCH POSTUPNOSTÍ. & ÍSLO e Niet žiadneho dôvodu, ktorý by robil nevyhnutným študova & niektoré pojmy pre postupnosti. Ve ¡ postupnos & je špeciálnym prípadom funkcie. Jednako to tu urobíme a robí sa to v analýze ¢ asto. Je to zaprí ¢ inené viacerými skuto ¢ nos & ami, Jedna z nich je tá, že prístup cez postupnosti je názorný a pre niektoré úvahy úplne posta ¢ ujúci. £ alej je to fakt, že niektoré základné pojmy zavedené pre reálne funkcie reálnej premennej možno popísa & pomocou postupností. Týka sa to medzi iným pojmu limity i pojmu spojitosti. Tým si získava pojem postupnosti významné postavenie. Okrem tu spomenutých dôvodov existujú i ¡ alšie. Z definície limity funkcie dostávame definíciu limity postupnosti { a n } ¤ n =1 . Treba si, pravdaže, pripo- menú & , že u postupnosti má zmysel hovori & len o limite v bode ¤ , pretože je to jediný hromadný bod jej defini ¢ ného oboru. Sformulujeme tu definíciu vlastnej limity pre postupnos & . Definícia 1. ¥ íslo a je limitou (vlastnou) postupnosti { a n } ¤ n =1 (píšeme a a n n = ∞ → lim ), ak pre ¦ ubovo ¦ né ε > 0 existuje také ¢ íslo K , že pre všetky n > K je | a n- a | < ε . Postupnos & , ktorá má vlastnú limitu, nazývame konvergentnou. Zápis pomocou kvantifikátorov: ε ε <- ∀ ∃ ∀ > > | | a a n K n K . POZNÁMKA 1. Prenechávame ¢ itate ¦ ovi, aby si sformuloval definíciu nevlastnej limity postupnosti. POZNÁMKA 2. V definícii limity postupnosti (vlastnej alebo nevlastnej) možno za ¢ íslo K vždy bra & nejaké vhodné prirodzené ¢ íslo n . (Rozmyslite si to!) Z viet o limitách monotónnych funkcií (pozri vetu 4.4.3) vyplývajú výsledky o limitách monotón- nych postupností. Pripome § me ich v nasledujúcom tvrdení. Veta 1. Každá neklesajúca (nerastúca) zhora (zdola) ohrani ¢ ená postupnos & má vlastnú limitu. Každá neklesajúca (nerastúca) zhora (zdola) neohrani ¢ ená postupnos & má limitu ¤ (- ¤ ). Využijeme vetu 1 na získanie dvoch dôležitých výsledkov. Prvým je princíp do seba zapadajúcich intervalov. ( ¥ itatelia, ktorí si ¢ ítali ¢ lánok 5 v kapitole III. ho už v istej forme poznajú). Veta 2. (Princíp do seba zapadajúcich intervalov.) Nech { & c n , d n ¡ } ¤ n =1 je taká postupnos & uzavretých intervalov, že & c n , d n ¡ ⊃ & c n +1 , d n +1 ¡ pre všetky n ∈ N . Potom existuje bod x , ktorý je spolo ¢ ný pre všetky intervaly & c n , d n ¡ ( n = 1, 2,…). Ak navyše =- ∞ → ) ( lim n n n c d , tak existuje jediný taký bod. D ô k a z . Pretože & c n , d n ¡ ⊂ & c 1 , d 1 ¡ pre n = 1, 2,… sú postupnosti { c n } ¤ n =1 , { d n } ¤ n =1 ohrani ¢ ené. Z pod- mienky & c n , d n ¡ ⊃ & c n +1 , d n +1 ¡ vyplýva, že postupnos & { c n } ¤ n =1 je neklesajúca a { d n } ¤ n =1 nerastúca. Existujú teda vlastné limity...
View Full Document

Page1 / 14

ma1_5 - 56 Kapitola V. & ÍSELNÉ POSTUPNOSTI A...

This preview shows document pages 1 - 2. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online