Examen_julio_2011_sol.pdf - ECONOMETRA I Examen nal...

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ECONOMETR˝A I - Examen °nal. Convocatoria de Julio Curso 2010/11. Soluciones Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Licenciatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.- (2 p ) Considere el siguiente modelo que cumple los supuestos bÆsicos del MRL con errores normales: ln Y t = ° 1 + ° 2 ln K t + ° 3 ln L t + u t (1) donde Y t es la producci°n, K t es el capital y L t es el trabajo de la empresa t . a) Se desea contrastar la hip°tesis de que hay rendimientos constantes a escala (es decir, ° 2 + ° 3 = 1 ). Escriba el modelo (1) imponiendo esta restricci°n. Escriba detalladamente el estad±stico para contrastar la hip°tesis anterior frente a una alternativa bilateral, de dos formas alternativas. Indique la hip°tesis nula, la hip°tesis alternativa, la distribuci°n del estad±stico bajo la hip°tesis nula y la regi°n cr±tica para cada una de las dos formas. b) Reparametrice el modelo (1) de forma que la hip°tesis del apartado a) se re²era a un oenico parÆmetro. Escriba detalladamente el estad±stico para contrastar la hip°tesis anterior a partir del modelo reparametrizado e indique si esperar±a obtener el mismo resultado que con las dos formas alternativas del apartado anterior. Soluci±n: a) H 0 : ° 2 + ° 3 = 1 H 1 : ° 2 + ° 3 6 = 1 Sustituyendo ° 2 = 1 ° ° 3 en el modelo (1) : ln Y t = ° 1 + (1 ° ° 3 ) ln K t + ° 3 ln L t + u t = ° 1 + ln K t + ° 3 (ln L t ° ln K t ) + u t ! ln ° Y t K t ± = ° 1 + ° 3 ln ° L t K t ± + u t (1 bis ) El contraste lo podemos hacer mediante dos estad±sticos: * Mediante una t utilizando oenicamente el modelo (1) : t = b ° 2 + b ° 3 ° 1 Se ( b ° 2 + b ° 3 ) = b ° 2 + b ° 3 ° 1 q \ V ar ( b ° 2 )+ \ V ar ( b ° 3 )+2 ± \ Cov ( b ° 2 ; b ° 3 ) ± t T ° 3 bajo H 0 : La regi°n cr±tica de este contraste es RC = n j t j > t T ° 3 ; ° 2 o * Mediante una F; utilizando ademÆs el modelo restringido (1 bis ) F = SCR (1 bis ) ° SCR (1) SCR (1) =T ° 3 ± F q;T ° k bajo H 0 ; con q = 1 y T ° k = T ° 3 : La regi°n cr±tica de este contraste es RC = f F > F 1 ;T ° 3 g : b ) De²nimos ± = ° 2 + ° 3 ° 1 ) ° 2 = ± ° ° 3 + 1 Substituyendo ° 2 = ± ° ° 3 + 1 en (1) ln( Y t ) = ° 1 + ( ± ° ° 3 + 1) ln( K t ) + ° 3 ln( L t ) + u t ln( Y t ) = ° 1 + ± ln( K t ) ° ° 3 ln( K t ) + ln( K t ) + ° 3 ln( L t ) + u t ln ° Y t K t ± = ° 1 + ± ln( K t ) + ° 3 ln ° L t K t ± + u t (3) 1
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El contraste del apartado a) es equivalente a contrastar en (3) H 0 : ± = 0 H 1 : ± 6 = 0 El estad±stico de contraste es t = b ² Se ( b ² ) ± t T ° 3 bajo H 0 : Si el contraste en el apartado anterior se hace mediante una t; tanto el estad±stico del apartado a) como el del apartado b) tendr±an el mismo valor. Si el contraste en el apartado a) se hace mediante una F; entonces dado que hay una oenica restricci°n t 2 = F: 2.- (2 : 5 p ) Analice si las siguientes a²rmaciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demuØstre- las; si son falsas, justi²que por quØ. a) Si el modelo Y t = ° 1 + ° 2 X 2 t + u t satisface los supuestos bÆsicos del MRL salvo el de ausencia de correlaci°n serial, el estimador MCO de ° 2 es un estimador insesgado.
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