ex7.pdf - 2 7 1 4 1 2 A M.A 4 2 3 2 TA 2 4 4 0 1 3 3 1.A TA...

This preview shows page 1 out of 2 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה ליניארית ‪ - 2‬תרגיל ‪7‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מצאו את כל תתי‪-‬המרחב של‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שהם ‪- A‬אינו' עבור ) ( ‪ M‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בתרגיל זה נמצא פירוק של ‪ TA‬לסכום ישר של העתקה הפיכה והעתקה נילפוטנטית‪.‬‬ ‫‪ 2 4 4 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 3 3 1‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫תהי ‪ TA : 4 4‬הנתונה על ידי ‪ Tv Av‬כאשר‬ ‫‪ 1 3 3 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 2‬‬ ‫א‪ .‬נגדיר ‪ M j ker TA j‬ובדומה ‪ . N j Im TA j‬מצאו ‪ k ‬מינימלי המקיים‬ ‫‪M k M k 1 M k 2 ...‬‬ ‫הערה‪ :‬הוכחנו בהרצאה שקיים ‪ k ‬כזה והוא המינימלי המקיים ‪. N k N k 1 N k 2 ...‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ .‬עבור ‪ k‬שמצאתם מצאו בסיסים ל‪ M k -‬ול‪ N k -‬והגדירו את ‪ B‬להיות הבסיס של‬ ‫המתקבל מאיחוד הבסיסים הנ"ל‪ .‬חשבו את ‪. TA B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הערה‪ :‬קיבלנו ‪ TA TA M k TA N k‬כאשר ‪ TA M k‬נילפוטנטית ו‪-‬‬ ‫‪Nk‬‬ ‫‪ TA‬הפיכה‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מצאו את כל צורות ז'ורדן האפשריות של מטריצות שהפולינום האופייני שלהן ) ‪ P(t‬הוא‪:‬‬ ‫ב‪. P(t ) (t 5)3 .‬‬ ‫א‪. P(t ) (t 4)2 .‬‬ ‫ד‪. P(t ) (t 7)5 .‬‬ ‫ג‪. P(t ) (t 6)4 .‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫תהיינה ) ‪ A, B M n ( F‬בעלות אותו אינדקס נילפוטנטיות‪ .‬הוכיחו כי ל‪ A, B , n 3 -‬דומות‪.‬‬ ‫האם התוצאה הזו נכונה גם עבור ‪? n 4‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫לכל אחת מהמטריצות הבאות‪ ,‬הוכיחו כי היא נילפוטנטית‪ ,‬מצאו את אינדקס הנילפוטנטיות‪ ,‬את‬ ‫צורת ז'ורדן שלה ובסיס מתאים‪.‬‬ ‫‪ 0 1 0 1‬‬ ‫‪0 1 0 0‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ B ‬ג‪ .‬‬ ‫‪ , A 1 1 1‬ב‪ .‬‬ ‫‪,C ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 1 0 1‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 0‬‬ ‫‪ 1 0 1 0 ‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 0 1 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1 1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , D ‬ה‪0 0 0 1 .‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. E 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫א‪ .‬תהי ) ( ‪ A M n‬בעלת ע"ע יחיד‬ ‫‪ . ‬הוכיחו כי קיים‬ ‫ב‪ .‬תהי ) ( ‪ A M 7‬בעלת ע"ע יחיד‬ ‫‪ . ‬נניח כי ‪ rk (( A I )2 ) 1‬וכי ‪. rk ( A I ) 2‬‬ ‫‪ k ‬כך ש‪( A I ) 0 -‬‬ ‫‪k‬‬ ‫מצאו את צורת ז'ורדן של ‪. A‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫א‪ .‬תהי ) ( ‪ . A M n‬נסמן ב‪ J A -‬את צורת ז'ורדן של ‪ . A‬מצאו את צורת ז'ורדן של ‪ , A‬עבור‬ ‫‪. ‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ) ( ‪ A M 3‬כך ש‪ A I -‬ומתקיים ‪ . A 2 A I 0‬מצאו את צורת ז'ורדן של ‪. A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬יהי ‪ n 1‬ותהי ) ‪ A M n ( F‬כך ש‪ An 0 -‬ולכל ‪ . Ak 0 , 0 k n‬הוכיחו כי לא קיימת‬ ‫) ‪ B M n ( F‬כך ש‪. B2 A -‬‬ ‫‪2‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern