ex5.pdf - 2 5 1 T 2 x 2 x T a0 a1 x a2 x 2 = 2 a0 a2 a0 a1...

This preview shows page 1 out of 1 page.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ –2‬תרגיל ‪5‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מצאו את הע"ע והמרחבים העצמיים של ההעתקות הבאות‪ ,‬וקבעו האם הן לכסינות‪:‬‬ ‫א‪ T : ℝ 2 [ x] → ℝ 2 [ x] .‬העתקה‪. T ( a0 + a1 x + a2 x 2 ) = 2 a0 + a2 + ( a0 + a1 + a2 ) x + 3a2 x 2 :‬‬ ‫)‪T2 ( p ( x)) = p (2 x − 1‬‬ ‫ב‪ T1 , T2 : ℝ n [ x] → ℝ n [ x] .‬שתי העתקות‪T1 ( p ( x)) = p '( x) :‬‬ ‫שימו לב המרחבים העצמיים הינם ת"מ של המרחבים עליהם מוגדרת ההעתקה‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫תהי ) ‪ . A ∈ M n ( F‬נגדיר העתקה לינארית ) ‪ T : M n ( F ) → M n ( F‬ע"י ‪. TX = AX‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את הפולינום האופייני ‪ pT‬של ‪. T‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי אם ‪ A‬לכסינה אז גם ‪ T‬לכסינה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הוכיחו כי ל‪ A -‬ול‪ T -‬יש אותם ע"ע‪.‬‬ ‫ד‪ .‬יהי ‪ λ‬ע"ע של ‪ . A‬מהו המרחב העצמי של ‪ T‬המתאים ל‪? λ -‬‬ ‫ה‪ .‬הראו שהריבוי הגיאומטרי )ר"ג( של ‪ λ‬כע"ע של ‪ T‬שווה ל ‪ n‬כפול הר"ג שלו כע"ע של ‪. A‬‬ ‫שאלה ‪) 3‬בחינה ‪(2009‬‬ ‫יהיו )‪ A, B ∈ M n (ℂ‬כך של‪ A -‬יש ‪ n‬ע"ע שונים ונניח ‪ . AB = BA‬הוכיחו כי ‪ B‬לכסינה‪) .‬רמז‪:‬‬ ‫התבוננו במרחב העצמי של ‪(. A‬‬ ‫שאלה ‪) 4‬בחינה ‪(2011‬‬ ‫‪ A B‬‬ ‫‪ . Q = ‬נניח כי כל ע"ע של ‪ A‬שונה מכל ע"ע של ‪. C‬‬ ‫תהיינה )‪ A, C ∈ M n (ℂ‬ריבועיות ו‪ -‬‬ ‫‪ 0 C‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪ λ‬ע"ע של ‪ Q‬אם"ם ‪ λ‬ע"ע של ‪ A‬או של ‪. C‬‬ ‫ב‪ .‬נניח ‪ λ‬ע"ע של ‪ . A‬הוכיחו כי הר"ג של ‪ λ‬כע"ע של ‪ A‬שווה לר"ג שלו כע"ע של ‪. Q‬‬ ‫ג‪ .‬הסיקו כי אם ‪ A, C‬לכסינות אז גם ‪ Q‬לכסינה‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫מצאו עבור )‪ A, B, C ∈ M 3 (ℂ‬ע"ע‪ ,‬מרחבים עצמיים‪ ,‬וקבעו האם היא לכסינה‪.‬‬ ‫‪1 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪A = 1 2 −1 .‬‬ ‫‪ −1 1 4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪ −3 1 −1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪B = −7 5 −1 .‬‬ ‫‪ −6 6 −2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪. C = 0 2 3 .‬‬ ‫‪ 0 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x y x y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . T1 = , T2 = ‬קבעו האם‬ ‫יהיו ‪ T1 , T2 : F → F‬העתקות המוגדרות על ידי ‪‬‬ ‫‪ y 2 x y −2 x ‬‬ ‫ההעתקות ‪ T1 , T2‬ו‪ T1  T2 -‬לכסינות מעל השדות‪ :‬א‪ F = ℚ .‬ב‪ F = ℝ .‬ג‪. F = ℂ .‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫תהי סדרה‬ ‫∞‬ ‫‪ { xn }n =0‬הנתונה על ידי משוואת ההפרשים של אבריה‪= 4 ⋅ xn +1 − 3 ⋅ xn :‬‬ ‫‪. xn + 2‬‬ ‫מצאו נוסחה מפורשת ל‪ xn -‬בהינתן זוג תנאי ההתחלה‪ x0 = −1, x1 = 1 :‬על פי השלבים הבאים‪:‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫א‪ .‬סמנו ‪ en := n +1 ‬ומצאו מטריצה ‪ A‬עבורה ‪. en = An ⋅ e0‬‬ ‫‪ xn ‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו ‪ P‬הפיכה ו‪ D -‬אלכסונית המקיימים ‪ D = P −1 AP‬והסיקו ‪. An = PD n P −1‬‬ ‫ג‪ .‬הציבו בביטוי שבסעיף א' והשוו את המקדם השני של הוקטורים בשני האגפים כדי לקבל‬ ‫נוסחא מפורשת ל‪. xn -‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern