Gabarito-Prova2-CE069-2009.pdf - UNIVERSIDADE FEDERAL DO...

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Unformatted text preview: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA GABARITO SEGUNDA PROVA DE PROBABILIDADE B (CE069) 1o Sem./09 Prof. Benito Olivares Aguilera 1) a) Seja ~0,4 e seja X uma variável aleatória tal que  |   , a, b  . Encontre os valores das constantes   de forma que   1 e   2. R: Aplicando esperança na igualdade acima temos que:   |          · 0    Como   1, então  . Agora, podemos escrever     /   /, pelo Princípio de Substituição. Logo,           . Mas, como  0 !   " # 4. Portanto,   4 2 ! $ /%. b) Se X e Y forem independentes, é verdade que &'" |, |  0? Mostre. R: Por definição: &'" |, |   | · |  (  | | . Pela independência, as distribuições condicionais coincidem com as distribuições não condicionais e, como conseqüência, tem-se que:  |  , /     | · |    Portanto, &'" |, |    (   (  0. 2) Sejam X 1 , X 2 ,... variáveis aleatórias independentes com , , ) * + *- , ) * 0 1 ( *Verifique se vale a Lei dos Grandes Números, em alguma das suas formas. R: Como as variáveis não são identicamente distribuídas, tentaremos utilizar a Primeira Lei Forte de Kolmogorov. - As va´s são independentes (por hipótese) - As va´s são integráveis, pois , , , * +) * +  0 ) * 0 + *-  0 .1 ( *- / * 0 ∞. - Testaremos a condição sobre a variância. Primeiramente calculamos * + ) * + + , *- 1. , Logo, " # * * (  *  1 ( - * ∑9 *:, 45678 *- ∑9 *:, *- 2, *- 2, . Assim, *- ∑9 *:, *; , *- ( ∑9 *:, , *; 0 ∞, pois ambas são séries p, com p >1. Como as condições da 1ª LFK estão satisfeitas, então se verifica que <* ( <* => ?0. + 3) Sejam X 1 , X 2 ,... variáveis aleatórias não correlacionadas duas a duas com " # *  @ 0 ∞. Mostre que vale a Lei Fraca dos Grandes Números. (Sugestão: Utilize a Desigualdade Clássica de Tchebychev) R: Precisamos provar que A8 2BA8 C A8 2BA8 ? 0, ou equivalentemente ) .D * * D E F/ G 0. Sabemos que " #<* " # ,  H  *  ∑*I:, " # I  2 ∑IJK &'" I , K . Como as I ´M são não correlacionadas, então " #<* ∑*I:, " # I [email protected] . Agora, pela Desigualdade Clássica de Tchebychev temos: A8 2BA8 ) .D * D E F/ )|<* ( <* | E +F N 456A8 *O- P- *O- G 0, qdo + ? ∞. 4) Sejam X 1 , X 2 ,... variáveis aleatórias independentes com distribuição comum Cauchy Padrão. a) É válida a igualdade   , | ,    , ? Explique. R: Neste caso a Propriedade Básica não é válida, pois uma das exigências para a igualdade é que as va`s sejam integráveis, o que não acontece no caso da Cauchy, pois sua esperança é infinita (não existe). b) Existe alguma constante c tal que 7R S7- SHS78 T * ? &? Explique. R: Se a constante c existisse, pela Lei Fraca de Khintchine ela deveria ser a média das Xi´s. Como não existe a média da Cauchy, a convergência não ocorre para nenhum c. ...
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