sol10.pdf - 2 10 1 P p q r P AP = diag I p I q 0r T 1 1 1 A...

This preview shows page 1 out of 8 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ - 2‬פתרונות ‪10‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מצאו ‪ P‬ממשית הפיכה ושלמים ‪ p, q, r‬כך ש‪ , P AP = diag ( I p , − I q , 0r ) -‬וקבעו האם‬ ‫התבנית המתאימה מנוונת עבור‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪A = 1 1 1 .‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ 11 2 −8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A = 2 2 10 ‬‬ ‫‪ −8 10 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ישנן שתי דרכים לפתור שאלה מהסוג הזה‪:‬‬ ‫דרך א'‪:‬‬ ‫מציאת בסיס שמעליו הפונקציונל הבילינארי המתאים למטריצה הנתונה‪ ,‬מיוצג על ידי מטריצה‬ ‫אלכסונית‪ ,‬או השלמה לריבוע בשיטת לגרנז'‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫בדרך זו נמצא מטריצות ‪ Q‬הפיכה ו ‪ D‬אלכסונית המקיימות ‪ D = Q AQ‬כמו בתרגיל ‪ ,9‬ומכאן‬ ‫נוכל לקבל ‪ P‬שתקיים ) ‪ PT AP = diag ( I p , − I q , 0r‬על ידי החלפת סדר עמודות ו"נרמול"‬ ‫העמודות של ‪) Q‬כפי שמתואר בפתרון של ‪1‬א דרך ב'(‪.‬‬ ‫דרך ב'‪:‬‬ ‫בשלב זה של הקורס ראינו שכל מטריצה סימטרית ממשית היא לכסינה‪ ,‬ולא רק זה‪ ,‬אלא‬ ‫שהמטריצה המלכסנת היא אורתוגונלית‪ ,‬כלומר עמודותיה מהוות בסיס אורתוגונלי ביחס‬ ‫למכפלה הפנימית הסטנדרטית‪ ,‬ובפרט מקיימת ‪ . Q −1 = QT‬לכן‪ ,‬אם נלכסן ליכסון אורתוגונלי‬ ‫את המטריצה הסימטרית הנתונה‪ ,‬כלומר נמצא ‪ Q‬אורתוגונלית ו ‪ D‬אלכסונית המקיימות‬ ‫‪) D = Q −1 AQ = QT AQ‬כאמור ‪ ,( Q −1 = QT‬נוכל להמשיך כמקודם כדי לקבל את הנדרש‪.‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪A = 1 1 1 .‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דרך א'‪ :‬לגרנז'‪:‬‬ ‫נעבוד לפי שיטת לגרנז' ללכסון תבניות ריבועיות‪ .‬התבנית המתאימה למטריצה היא‪:‬‬ ‫‪b( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + x2 2 + 2 x2 x3 + x3 2‬‬ ‫‪= ( x12 + 2 x1 ( x2 + x3 ) ) + x2 2 + 2 x2 x3 + x32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= ( x1 + ( x2 + x3 ) ) − ( x2 + x3 ) + x2 2 + 2 x2 x3 + x32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= ( x1 + x2 + x3 ) + 0‬‬ ‫לכן‪ ,‬כפי שראינו בתרגיל ‪ ,9‬נחליף משתנים על ידי‬ ‫‪x3 = y3 , x2 = y2 , x1 = y1 − y2 − y3‬‬ ‫ונסיק כי מתקיים ‪ QT AQ = D‬כאשר‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪ 1 −1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. D = 0 0 0 ,Q = 0 1 0 ‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נשים לב שהמטריצה ‪ D‬היא כבר מהצורה הרצויה‪ ,‬כלומר ) ‪ D = diag ( I1 , 0 2‬ולכן‪ ,‬עבור‬ ‫‪ P = Q‬נקבל את הנדרש ומתקיים ‪ p = 1, q = 0, r = 2‬והתבנית מנוונת‪.‬‬ ‫לכסון פונקציונל בלינארי‪:‬‬ ‫נמצא בסיס מלכסן של הפונקציונל ‪ . ξ A‬נסמן ‪ , v1 = e1‬ונשים לב ‪ . ξ A (v1 , v1 ) = e Ae1 = 1‬לכן‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נסמן }‪ L1 = Sp {v1‬ונחשב את ⊥‪ . L1‬מספיק לעבוד עם בסיס למרחב וסך הכל‪:‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. L = b ∈ ℝ |0 = (a b c) Ae1 = a + b + c = Sp −1 , 0 ‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 −1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נשים לב שכיוון ששני וקטורי הבסיס הנ"ל שייכים ל‪ N ( A) -‬ולכן בהכרח הצמצום של‬ ‫‪1‬‬ ‫⊥‬ ‫הפונקציונל ‪ ξ A‬על תת המרחב ⊥‪ L1‬הינו פונקציונל האפס‪ .‬סך הכל הבסיס‬ ‫‪ 1 1 1 ‬‬ ‫‪1 1 1 ‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ B = 0 , −1 , 0 ‬מקיים ‪ , [ξ A ]B = 0 0 0 ‬כלומר המטריצה ‪P = 0 −1 0 ‬‬ ‫‪ 0 0 −1‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 −1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מקיימת את הנדרש‪.‬‬ ‫דרך ב'‪ :‬נלכסן את המטריצה לכסון אורתוגונלי‪ .‬נחשב פולינום אופייני‪ ,‬נקבל )‪f A = x 2 ( x − 3‬‬ ‫ומכאן שהערכים העצמיים הם ‪ . λ`1 = 3, λ2 = 0‬נחשב מרחבים עצמיים‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ −2 1 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪M 3 = N ( A − 3I3 ) = N 1 −2 1 = Sp 1 ⇒ v1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1 1 −2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 2 ‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M 0 = N ( A − 0 ⋅ I3 ) = N 1 1 1 = Sp 1 , −1 ‬‬ ‫‪ −1 −1 ‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נשים לב ששני הוקטורים כבר מאונכים ולכן אין צורך להפעיל תהליך גרם שמידט‪ ,‬ומספיק רק‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫= ‪. v2‬‬ ‫= ‪1 , v3‬‬ ‫לנרמל‪ .‬נקבל ‪−1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪ 1/ 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2/ 3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ Q AQ = ‬כאשר ‪. Q = 1/ 3 1/ 2 − 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫סך הכל ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 1/ 3 −1 / 2 − 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כדי להגיע לצורה הקנונית יש לפעול באופן הבא‪:‬‬ ‫‪1 / 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1 / 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתקיים ‪‬‬ ‫‪ ‬ולכן אם ניקח‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪2/ 3‬‬ ‫‪ 1/ 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1/ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪− 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ = 1/ 3 1/ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1/ 3 −1/ 2‬‬ ‫‪− 2 / (2 3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2/ 3‬‬ ‫‪1 / 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P = 1 / 3 1/ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 / 3 −1/ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקבל את הנדרש‪ ,‬כלומר ) ‪. PT AP = diag ( I1 , 0 2‬‬ ‫‪ 11 2 −8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪A = 2 2 10 .‬‬ ‫‪ −8 10 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דרך א'‪ :‬לגרנז'‪ :‬התבנית המתאימה למטריצה היא‪:‬‬ ‫‪b( x1 , x2 , x3 ) = 11x12 + 4 x1 x2 − 16 x1 x3 + 2 x2 2 + 20 x2 x3 + 5 x3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 11 x12 + 2 x1 x2 − x3 + 2 x2 2 + 20 x2 x3 + 5 x32‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 11 x1 + x2 − x3 − 11 x2 − x3 + 2 x2 2 + 20 x2 x3 + 5 x32‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 18‬‬ ‫‪252‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 11 x1 + x2 − x3 + x2 2 +‬‬ ‫‪x2 x3 − x32‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 11 x1 + x2 − x3 + ( x2 2 + 2 x2 ( 7 x3 ) ) − x3 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 11 x1 + x2 − x3 + ( x2 + 7 x3 ) − ⋅ 49 x32 − x32‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8 18‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 11 x1 + x2 − x3 + ( x2 + 7 x3 ) − 81x32‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נחליף משתנים‪y2 + 2 y3 :‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 1 −2 / 11 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. D = 0 18 /11 0 , Q = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ QT AQ = D‬כאשר ‪−7 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−81‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . x3 = y3 , x2 = y2 − 7 y3 , x1 = y1 −‬נסיק מכאן כי מתקיים‬ ‫נביא לצורה קנונית‪ :‬כמו קודם נוכל לקחת את המטריצה שמצאנו ‪ Q‬ולקבל ממנה על ידי‬ ‫מניפולציות פשוטות את המטריצה ‪ P‬הדרושה‪ .‬נשים לב שאין צורך לשנות את סדר העמודות של‬ ‫‪ Q‬כיוון שהערכים על האלכסון מסודרים כבר לפי הסדר הנדרש )קודם חיוביים‪ ,‬אחר כל‬ ‫שליליים‪ ,‬ולבסוף אפסים( ולכן‪ ,‬כפי שראינו בדוגמא הקודמת‪ ,‬צריך רק לחלק את העמודות‬ ‫בשורש הערך שמופיע באלכסון )ואם הוא שלילי‪ ,‬אז בערך המוחלט שלו(‪ .‬לכן‬ 1 / 11 P= 0 0 −2 /11 18 /11 1 18 /11 0 2 / 81 −7 / 81 1/ 81 .‫היא המטריצה הדרושה‬ 1 1 . L ⊥ ‫ ונחשב את‬L = Sp {v1} :‫לכסון פונקציונל בלינארי‬ ‫ לכן נסמן‬. ξ A (v1 , v1 ) = e Ae1 = 11 ‫ ונשים לב‬, v1 = e1 ‫נסמן‬ ‫מספיק לעבוד עם בסיס למרחב וסך הל‬ T 1 a 0 8 3 L = b ∈ ℝ |0 = (a b c) Ae1 = 11a + 2b − 8c = Sp 4 , 0 c 1 11 1 ⊥ 0 . L ⊥ ⊂ L ⊥ ‫ ונחשב‬L = Sp {v2 } ‫ נסמן‬. ξ A (v2 , v2 ) = v2 Av2 = 117 ‫ ונשים לב‬v2 = 4 ‫נסמן‬ 1 a 1 0 0 8 26 0 1 2 L ⊥ = b ∈ L ⊥ |0 = (a b c) A 4 = 18b + 45c = Sp 0 , 5 ∩ Sp 4 , 0 = Sp −55 c 0 −2 1 11 22 1 2 1 t 2 1 0 26 26 .‫ הינו הבסיס המבוקש‬B = {v1 , v2 , v3 } = 0 , 4 , −55 ‫ אז הבסיס‬, v3 = −55 ‫נסמן‬ 0 1 22 22 ‫ והתבנית אינה‬p = 2, q = 1, r = 0 ‫ ולכן סך הכל‬ξ A (v3 , v3 ) = −23166 -‫חישוב מראה ש‬ .‫ בגלל כיעור המספרים נוותר על נרמול הבסיס למציאת צורה קנונית‬.‫מנוונת‬ ‫ כמקודם‬. f A = ( x − 18)( x + 9)( x − 9) ,‫ הפולינום האפייני מתפרק לגורמים לינארים‬:'‫דרך ב‬ −2 / 3 1/ 3 ‫ אורתוגונלית‬Q = 1/ 3 −2 / 3 2/3 2/3 −2 / (3 18) ‫ הפיכה ומקיימת‬P = 1/ (3 18) 2 / (3 18) 2 / 3 2 / 3 ‫ ונקבל‬,‫מחשבים וקטורים עצמיים ומנרמלים אותם‬ 1/ 3 2 / 9 1/ 9 18 t 2 / 9 −2 / 9 ‫ לכן‬. Q AQ = −9 ‫ומקיימת‬ 9 1/ 9 2 / 9 1 t .‫ התבנית אינה מנוונת‬. p = 2, q = 1 . P AP = 1 = D p ,q −1 ‫שאלה ‪2‬‬ ‫בדקו האם הפונקציה ‪ f : V × V → ℝ‬מגדירה מכפלה פנימית‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ V = C ([0,1]) .‬מרחב הפונקציות הרציפות מ‪ [0,1] -‬ל‪. f (a, b) = ∫ a( x)b( x)dx , ℝ -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כן‪ ,‬לפי כללי האינטגרציה קל לבדוק לינאריות וסימטריות‪ ,‬וחיוביות נובעת מכך ש‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ f (a, a) = ∫ a( x) 2 dx‬הוא אינטגרל של פונקציה רציפה אי שלילית‪ ,‬לכן הוא תמיד ממשי אי‬ ‫‪0‬‬ ‫שלילי‪ ,‬ואם הוא אפס אז הפונקציה חייבת להיות אפס על כל הקטע )אם היא לא אפס באיזושהי‬ ‫נקודה בקטע אז היא חייבת להיות לא אפס בסביבה קטנה של הנקודה ואז האינטגרל חיובי‬ ‫ממש(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ V = C (ℝ ) .‬מרחב הפונקציות הרציפות מ‪ ℝ -‬ל‪. f (a, b) = ∫ a( x)b( x)dx , ℝ -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לא‪ ,‬אין כאן חיוביות‪ :‬ניקח פונקציה רציפה שמתאפסת בקטע ]‪ [0,1‬אבל אינה פונקצית האפס על‬ ‫כל ‪ , ℝ‬והאינטגרל ייתן אפס‪.‬‬ ‫‪a c ‬‬ ‫ג‪. f ( , ) = 5ac + 2ad + 2bc + bd , V = ℝ 2 .‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫כן‪ ,‬כאשר החיוביות ממש לפי סילבסטר‪.‬‬ ‫‪a c ‬‬ ‫ד‪. f ( , ) = ac + 2bc + ad + bd , V = ℝ 2 .‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫לא‪ , f (e1 + e2 , e1 ) = 3 ≠ 2 = f (e1 , e1 + e2 ) ,‬כלומר אין סימטריות‪.‬‬ ‫‪a c ‬‬ ‫ה‪. f ( , ) = 4ac + 2ad + 2bc + bd , V = ℝ 2 .‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫חיובית אבל לא ממש‪ ,‬לפי סילבסטר‪.‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫ו‪ f (q, p) = ∑ i =1 q( zi ) p( zi ) , V = ℝ n [ x] .‬עבור ‪ z1 ,..., zn +1 ∈ ℝ‬קבועים שונים‪.‬‬ ‫כן‪ ,‬לינאריות במשתנה השני נובעת מיידית‪ .‬לגבי סימטריות מתקיים‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫)‪f (q, p) = ∑ i =1 q( zi ) p( zi ) = ∑ i =1 p( zi )q( zi ) = f ( p, q‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫ולבסוף עבור החיוביות‪ :‬נניח ‪ . q ≠ 0‬מתקיים ‪. f (q, q) = ∑ i =1 q( zi )q( zi ) = ∑ i =1 q( zi ) 2 ≥ 0‬‬ ‫אם ‪ q ( zi ) = 0‬לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n + 1‬אז ‪ z1 ,..., zn +1 ∈ ℝ‬אלה ‪ n + 1‬שורשים שונים של ‪ . q‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫‪ deg q ≤ n‬נקבל ש‪ q = 0 -‬בסתירה )לפולינום שאיננו פולינום האפס‪ ,‬מספר השורשים השונים‬ ‫קטן או שווה למעלת הפולינום(‪ .‬לכן יש ‪ i‬כך ש‪ q ( zi ) ≠ 0 -‬ואז ‪. f ( q, q ) > 0‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ ℝ‬עם מכפלה פנימית > ‪ . <,‬הוכיחו‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪. || u − v ||=|| || u || v −‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪ , u , v ∈ V‬אם ‪ u ≠ 0,|| v ||= 1‬אז || ‪‬‬ ‫‪|| u || ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נפתח את הביטוי‪:‬‬ ‫‪u 2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪|| (|| u || v −‬‬ ‫‪) || =|| (|| u || v) ||2 −2 <|| u || v,‬‬ ‫|| ‪> +‬‬ ‫‪||2 =|| u ||2 || v ||2 −2 < v, u > +1‬‬ ‫|‪|u‬‬ ‫|| ‪|| u‬‬ ‫|| ‪|| u‬‬ ‫נציב את הנתון ‪ || v ||= 1‬ומכאן‪:‬‬ ‫‪|| u ||2 || v ||2 −2 < v, u > +1 =|| u ||2 −2 < v, u > + || v ||2 =|| u − v ||2‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪. || u + v ||2 − || u − v ||2 = 4 u, v , u , v ∈ V‬‬ ‫נפתח את הביטוי ונקבל את הדרוש‪:‬‬ ‫> ‪|| u + v || − || u − v || =|| u || +2 < u , v > + || v || −(|| u || −2 < u , v > + || v ||2 ) = 4 < u , v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬לכל ‪, u , v ∈ V‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) u + v + u − v = 2 u + v‬שוויון המקבילית(‪.‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫) || ‪|| u + v || + || u − v || =|| u || +2 < u , v > + || v || + (|| u || −2 < u , v > + || v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. u+v + u−v = 2 u + v‬‬ ‫ד‪ .‬יהיו ‪ . u , v ∈ V‬הוכיח שאם ‪ v, w = u, w‬לכל ‪ w ∈ V‬אז ‪. u = v‬‬ ‫מהנתון ומהלינאריות ברכיב הראשון נובע ‪ < v − u , w >= 0‬לכל ‪ . w ∈V‬בפרט עבור‬ ‫‪ w = v − u‬נקבל ‪ < v − u , v − u >= 0‬לכן מתכונת החיוביות ‪ v − u = 0‬כלומר ‪. u = v‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫מצאו בסיס אורתונורמלי למרחב ‪ W‬ביחס למכפלה הפנימית הנתונה‪:‬‬ ‫א‪ W = Sp{(1,1, 2), (0,1, 3)} ⊂ ℝ 3 .‬ביחס למכפלה הסטנדרטית‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נסמן ‪ , v1 = 1 , v2 = 1 ‬ועל בסיס זה של ‪) W‬זה אכן בסיס כי הקבוצה בלתי תלויה וכמובן‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫פורשת( נפעיל את אלוריתם גרם‪-‬שמידט‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪u1 = v1 = 1 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ −7 ‬‬ ‫‪ 7 1 ‬‬ ‫‪u2 = v2 −‬‬ ‫‪u1 = 1 − 1 = −1 ‬‬ ‫‪u1 , u1‬‬ ‫‪ 3 6 2 6 4 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬בסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫‪u1 ,‬‬ ‫על כן } ‪ {u1 , u2‬בסיס אורתוגונלי‪ .‬ננרמל ונקבל ‪u2 ‬‬ ‫‪66 ‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪v2 , u1‬‬ .‫ ביחס לסטנדרטית‬T ( x, y, z , t ) = x − y − z − t , T : ℝ 4 → ℝ ‫ כאשר‬W = Ker (T ) .‫ב‬ ‫ כלומר אוסף הפתרונות של‬W = N (1 −1 −1 −1) ‫ נוכל לתאר על ידי‬W ‫את המרחב המרחב‬ 1 1 1 1 0 0 , W = Sp , , ‫( ולכן‬1 −1 −1 −1) ‫המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה‬ 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 :‫שמידט‬-‫ ונפעיל את אלגוריתם גרם‬v1 = , v2 = , v3 = ‫נסמן‬ 0 1 0 0 0 1 1 1 u1 = v1 = 0 0 1 1 1 0 1 1 1 −1 v2 , u1 − = u2 = v2 − u1 = 1 2 0 2 2 u1 , u1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1/ 2 1 −1 1 −1 v3 , u1 v3 , u2 u3 = v3 − u1 − u2 = − − ⋅ = 0 2 0  u1 , u1 u2 , u2 6/ 4 2 2 3 −1  1/6 3 1 0 0 2 3 1 .‫ בסיס אורתונורמלי‬ u1 , u2 , u2 ‫{ בסיס אורתוגונלי ולכן‬u1 , u2 , u3 } ‫מכאן‬ 2 3 2 1 . f , g = ∫ f ( x) g ( x)dx ‫ ביחס למכפלה‬W = Sp{1, x, x 2 } ⊂ ℝ 3 [ x] .‫ג‬ 0 :‫שמידט‬-‫ ונפעיל את אלגוריתם גרם‬v1 = 1, v2 = x, v3 = x 2 ‫נסמן‬ u1 = v1 = 1 u2 = v2 − v2 , u1 u3 = v3 − v3 , u1 u1 , u1 u1 , u1 u1 = x − u1 − { 1/ 2 1 ⋅1 = x − 1 2 v3 , u2 u2 , u2 u2 = x 2 − 1/ 3 1 /12 1 1 ⋅1 − ⋅ x − = x2 − x + 1 1 /12 2 6 } .‫ בסיס אורתונורמלי‬u1 , 12 ⋅ u2 , 180 ⋅ u3 ‫{ בסיס אורתוגונלי ומכאן‬u1 , u2 , u3 } ‫על כן‬ ‫‪3‬‬ ‫ד‪ W = ℝ 2 [ x] .‬ביחס למכפלה ) ‪ q, p = ∑ i =1 q( zi ) p( zi‬כאשר ‪. z1 = −1, z2 = 0, z3 = 1,‬‬ ‫נסמן ‪ v1 = 1, v2 = x, v3 = x 2‬ונפעיל את אלגוריתם גרם‪-‬שמידט‪:‬‬ ‫‪u1 = v1 = 1‬‬ ‫‪v2 , u1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪u1 = x − ⋅ 1 = x‬‬ ‫‪u1 , u1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⋅1 − ⋅ x = x2 −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u2 = x 2 −‬‬ ‫‪v3 , u2‬‬ ‫‪u2 , u2‬‬ ‫‪u1 −‬‬ ‫‪v3 , u1‬‬ ‫‪u1 , u1‬‬ ‫‪u2 = v2 −‬‬ ‫‪u3 = v3 −‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ u1 ,‬בסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫לכן } ‪ {u1 , u2 , u3‬בסיס אורתוגונלי ומכאן ‪u2 , u3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ 0 1 1 2 ‬‬ ‫‪ W = Sp ‬ביחס למכפלה ) ‪. A, B = tr ( ABT‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ה‪ ⊂ M 2 ( ℝ ) .‬‬ ‫‪ −1 2 0 2 ‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪ v1 = ‬ונפעיל את אלגוריתם גרם‪-‬שמידט‪:‬‬ ‫‪ , v2 = ‬‬ ‫נסמן ‪‬‬ ‫‪ −1 2 ‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪u1 = v1 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −1 2 ‬‬ ‫‪ 1 2 6 0 1 1 1 ‬‬ ‫‪u1 = ‬‬ ‫‪ − ⋅‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u1 , u1‬‬ ‫‪ 0 2 6 −1 2 1 0 ‬‬ ‫‪v2 , u1‬‬ ‫‪u2 = v2 −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ u1 ,‬בסיס אורתונורמלי‪.‬‬ ‫על כן } ‪ {u1 , u2 , u3‬בסיס אורתוגונלי ומכאן ‪u2 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫תהיינה ) ‪ A, B ∈ M n (ℝ‬כלשהן‪ .‬הוכיחו כי אם ‪ Ax, y = Bx, y‬לכל ‪ x, y ∈ ℝ‬אז ‪, A = B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר המכפלה הפנימית הינה המכפלה הסטנדרטית ב‪. ℝ n -‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬ל‪ , M ∈ M n (ℝ ) -‬לכל ‪ Mei , e j = M ↓i , e j = M i , j , 1 ≤ i, j ≤ n‬כאשר ‪M ↓i‬‬ ‫מסמן את העמודה ה‪ i -‬במטריצה ‪ . M‬לכן אם ‪ Ax, y = Bx, y‬לכל ‪ x, y ∈ ℝ n‬אז‬ ‫‪ ( A − B) x, y = 0‬לכל ‪ x, y ∈ ℝ n‬ובפרט ‪ ( A − B )i. j = 0‬לכל ‪ 1 ≤ i, j ≤ n‬כלומר ‪. A = B‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern