sol13.pdf - 2 13 1 1 1 B= 2 0 5 1 B t B = = Y 1 1 1 1 3 1 7...

This preview shows page 1 out of 4 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ – 2‬פתרון תרגיל ‪13‬‬ ‫פתרון שאלה ‪1‬‬ ‫מצאו פירוק פולרי עבור המטריצות הבאות‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪B=‬‬ ‫א‪ .‬‬ ‫‪ 2 0‬‬ ‫‪ 5 1‬‬ ‫‪ , B t B = ‬אז מחישוב ישיר )בעזרת לכסון ומציאת שורשים חיוביים לע"ע‪ ,‬כפי‬ ‫נסמן ‪ = Y‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪1 1 3 ‬‬ ‫‪1 7 1‬‬ ‫= ‪U = BP −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ P‬היא השורש של ‪ . Y‬אז ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שראינו בתרגול( ‪‬‬ ‫‪10 3 −1‬‬ ‫‪10 1 3 ‬‬ ‫והפירוק הפולרי של ‪ B‬הוא ‪ P , B = UP‬מוגדרת חיובית ו‪ U -‬אכן אורתוגונלית‪.‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪C =‬‬ ‫ב‪ .‬‬ ‫‪ −1 1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪ , CtC = ‬‬ ‫כמקודם ‪ = Y‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 0 2‬‬ ‫והפירוק הפולרי של ‪ C‬הוא ‪. C = UP‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪0 .‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫הפעם‬ ‫‪ 1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D = 2 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7 −1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫= ‪,P‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ −1 3‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 3 10 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ P = ‬הוא השורש של ‪C , Y‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫= ‪U = CP −1‬‬ ‫‪ 1 −3‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫= ‪ U‬ו‪. D = UP -‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫פתרון שאלה ‪2‬‬ ‫א‪ .‬יהיו ‪ V‬מרחב הרמיטי ו ‪ T : V → V‬אופרטור מוגדר חיובית )כלומר ‪ Tv, v > 0‬לכל‬ ‫‪ .( 0 ≠ v ∈ V‬הוכיחו כי לכל ‪ Q : V → V‬אופרטור הפיך‪ ,‬ההעתקה ‪ Q*TQ‬מוגדרת חיובית‪.‬‬ ‫לכל ‪ , 0 ≠ v ∈V‬מכיוון ש‪ Q -‬הפיכה אז גם ‪ , Q (v) ≠ 0‬ולכן‬ ‫‪Q*TQ(v), v = TQ(v), Q(v) > 0‬‬ ‫בנוסף‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫*‬ ‫‪. (Q TQ) = Q T Q = Q TQ‬‬ ‫לכן ‪ Q*TQ‬מוגדרת חיובית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יהיו ‪ S1 , S 2 : V → V‬מוגדרות חיובית‪ .‬הוכיחו כי כל הע"ע של ‪ T = S1S 2‬חיוביים‪.‬‬ ‫מהנתון ‪ S1‬מוגדרת חיובית‪ ,‬ולכן נוכל למצוא לה שורש )שגם הוא מוגדר חיובית( אותו נסמן ב‪-‬‬ ‫‪ , N‬כלומר ‪ . T = N 2 S 2‬נזכור כי אם ‪ N‬מוגדר חיובית אז בפרט ‪ N‬הפיך ו‪ , N * = N -‬ולכן‬ ‫‪N −1TN = N −1 N 2 S 2 N = NS 2 N = N * S 2 N‬‬ ‫היות ו‪ S2 -‬מוגדרת חיובת ו‪ N -‬כאמור הפיכה‪ ,‬מהסעיף הראשון נקבל שגם ‪N −1TN = N * S 2 N‬‬ ‫מוגדרת חיובית‪ .‬מכאן ל‪ T -‬ערכים עצמיים חיוביים בלבד‪ ,‬כי ‪ N −1TN‬מוגדרת חיובית ולכן יש‬ ‫לה ערכים עצמיים חיוביים בלבד‪ ,‬אבל היא גם דומה ל‪ , T -‬ולכן גם לה אותם ערכים עצמיים‬ ‫בדיוק‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪3‬‬ ‫יהי ‪ V = ℂ 2‬עם מ”פ סטנדרטית‪ .‬נסמן ‪ . L1 = ℝ 2 ⊂ V‬יהיו ‪ u , v ∈ V‬כך‬ ‫ש‪) Im ( u , v ) ≠ 0 -‬כאשר ‪ Im z = Im(a + bi ) = b‬הרכיב המדומה של מספר מרוכב(‪ .‬נסמן‬ ‫}‪ . L2 = Spℝ {u , v‬האם קיימת ‪ T : V → V‬אוניטרית כך ש‪? T ( L1 ) = L2 -‬‬ ‫לא קיימת‪ :‬נסמן )> ‪ , Ω(u , v) = Im(< u , v >) , g (u , v) = Re(< u , v‬אז אפשר לרשום‬ ‫)> ‪. < u , v >= iΩ(< u , v >) + g (< u , v‬‬ ‫אם היתה ‪ T : V → V‬אוניטרית כך ש‪ , T ( L1 ) = L2 -‬אז מכיוון ש‪ T -‬הפיכה‪ ,‬נקבל‬ ‫‪ . T −1 ( L2 ) = L1‬כעת > ‪ < T −1u , T −1v >=< u , v‬ולכן בפרט‬ ‫‪. Ω(< T −1u , T −1v >) = Ω(< u , v >) ≠ 0‬‬ ‫זו סתירה כי ‪ u , v ∈ L2‬ולכן ‪ T −1u , T −1v ∈ L1 = ℝ 2‬ואז מהגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית‪,‬‬ ‫‪ < T −1u , T −1v >∈ ℝ‬כלומר ‪. Ω(< T −1u , T −1v >) = 0‬‬ ‫פתרון שאלה ‪4‬‬ ‫א‪ .‬תהי )‪ A ∈ M n (ℂ‬הרמיטית‪ .‬הוכיחו כי ‪ I n − iA‬הפיכה‪.‬‬ ‫מתקיים )‪ , I − iA = i ((−i ) I − A‬ולכן‬ ‫‪ −i ⇔ det((−i ) I − A) = 0 ⇔ det( I − iA) = 0‬הוא ע"ע של ‪. A‬‬ ‫אבל *‪ A = A‬לכן הע"ע של ‪ A‬ממשיים ובפרט ‪ −i‬אינו ע"ע לכן ‪ I − iA‬הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תהי )‪ A ∈ M n (ℂ‬עם ע"ע ‪ λ1 ,..., λn‬כך ש‪ . | λ1 |= ... =| λn |= 1 -‬האם ‪ A‬אוניטרית?‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪ A = ‬אז כל הע"ע עם ערך מוחלט ‪ .1‬אבל ‪ A‬אינה אוניטרית‪.‬‬ ‫לא בהכרח‪ ,‬למשל ניקח ‪‬‬ ‫‪ 0 −1 ‬‬ ‫ג‪ .‬תהי )‪ A ∈ M n (ℂ‬ויהי } ‪ {v1 ,..., vn‬בסיס אורתונורמלי של ‪ ℂ n‬ביחס למכפלה הסטנדרטית‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכיחו ‪. tr ( A) = ∑ Avi , vi‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫נגדיר ‪ T : ℂ n → ℂ n‬ע"י ‪ . T (v) = Av‬נכתוב את ‪ T‬לפי הבסיס ) ‪ . B = (v1 ,..., vn‬לכל ‪1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫‪ < Avi , v1 > ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪([T ]B )↓i = [ Avi ]B = ‬‬ ‫⋮‬ ‫‪‬‬ ‫‪ < Av , v > ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ < v, v1 > ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . [v]B = ‬מכאן‬ ‫⋮‬ ‫כי ‪ B‬בסיס אורתונורמלי ולכן לכל ‪ , v ∈ ℂ‬‬ ‫‪ < v, v > ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫> ‪. tr ( A) = tr (T ) = ∑ ([T ]B )ii = ∑ < Avi , vi‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫פתרון שאלה ‪5‬‬ ‫א‪ .‬בדקו כי המטריצות הבאות הן אוניטריות‪ ,‬ומצאו בסיס אורתונורמלי של ו"ע‪.‬‬ ‫‪1 1 −1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .I‬‬ ‫‪2 i i ‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫בדיקה ישירה מראה שעמודות ‪ A‬הן בסיס אורתונורמלי‪ ,‬כלומר ‪ A‬אוניטרית‪ .‬נמצא ע"ע וו"ע‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪λ2‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪ i , λ1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2 2 2 2 2 ‬‬ ‫‪2 2 2 2 2 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− λ1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− λ2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫בסיס אורתונורמלי של ו"ע נתון ע"י ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪M λ1 = Sp {b1} , b1 = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪M λ2 = Sp {b2 } , b2 = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ b‬‬ ‫‪. 1 ,‬‬ ‫‪ b1‬‬ ‫‪1 2i 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .II‬‬ ‫‪5 1 2i ‬‬ ‫בדיקה ישירה מראה ש‪ AA* = I -‬כלומר ‪ A‬אוניטרית‪ .‬נמצא ע"ע וו"ע‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪λ2 = −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪i , λ1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪ 1 −1 ‬‬ ‫‪M λ2 = Sp ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 1 ‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪M λ1 = Sp ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 1 ‬‬ ‫‪ 1 1 1 −1 ‬‬ ‫‪ ‬בסיס אורתונורמלי של ו"ע‪.‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫ומכאן ‪ ‬‬ ‫‪ 2 1 2 1 ‬‬ ‫‪− sin θ ‬‬ ‫ב‪ .‬תהי ‪‬‬ ‫‪cos θ ‬‬ ‫‪ cos θ‬‬ ‫‪ . A = ‬מצאו ‪ U‬אוניטרית ו‪ D -‬אלכסונית כך ש ‪. U * AU = D‬‬ ‫‪ sin θ‬‬ ‫נחשב פולינום אפייני‪:‬‬ ‫) ‪. p A (λ ) = (λ − cos θ − i sin θ )(λ − cos θ + i sin θ‬‬ ‫אם ‪ sin θ = 0‬אז ‪ A = I‬וסיימנו )ניקח ‪ .( U = I‬לכן נניח ‪ sin θ ≠ 0‬ונחשב מרחבים עצמיים‪:‬‬ ‫‪ i ‬‬ ‫‪ −i ‬‬ ‫‪M cosθ +i sin θ = Sp , M cosθ −i sin θ = Sp ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 i −i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נגדיר ‪‬‬ ‫‪2 1 1 ‬‬ ‫= ‪ , U‬אז ‪ U‬אוניטרית ומתקיים‬ ‫) ‪. U * AU = diag (cos θ + i sin θ , cos θ − i sin θ‬‬ ‫הערה‪ :‬עבור )‪ M ∈ M u×v (ℂ‬מגדירים )‪ M ∈ M u×v (ℂ‬ע"י ‪ . ( M )i , j = mi , j‬ניתן לבדוק ישירות כי‬ ‫לכל )‪ . AB = A ⋅ B , A ∈ M n×m (ℂ), B ∈ M m×k (ℂ‬בפרט אם ‪ Av = λ v‬עבור ) ‪ A ∈ M n (ℝ‬אז‬ ‫‪ Av = λ v‬ולכן }‪ Vλ = Sp{v‬אם"ם } ‪ , Vλ = Sp{v‬כמו שאכן מתקיים בדוגמא לעיל‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪6‬‬ ‫תהי ) ‪ A ∈ M n ( F‬ניתנת ללכסון אוניטרי‪ . F = ℝ, ℂ ,‬הוכיחו כי אם כל שורשי הפולינום‬ ‫האופייני של ‪) A‬בשדה ‪ ( ℂ‬הם ממשיים אז ‪ A‬צמודה לעצמה‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ A‬ניתנת ללכסון אוניטרי‪ .‬תהיינה )‪D = diag (λ1 ,..., λn ) , P −1 = P* , P, D ∈ M n (ℂ‬‬ ‫כך ש‪ . P* AP = D -‬כעת *‪ A = PDP‬לכן *‪. A* = ( PDP* )* = PD* P‬‬ ‫מהנתון נובע כי ) ‪ D ∈ M n (ℝ‬לכן ‪ D* = D‬וקיבלנו ‪. A* = PDP* = A‬‬ ‫פתרון שאלה ‪7‬‬ ‫תהי )‪ . A ∈ M n (ℂ‬נגדיר ‪ T : ℂ n → ℂ n‬ע"י ‪ . T (v) = Av‬יהי ‪ E‬הבסיס הסטנדרטי של ‪. ℂ n‬‬ ‫הוכיחו כי *‪ [T * ]E = A‬ישירות ע"י חישוב של ‪ [T * ]E‬כמטריצה מייצגת של ההעתקה‬ ‫‪ T * : ℂ n → ℂ n‬לפי הבסיס הסטנדרטי )ברור כי *‪ [T * ]E = ([T ]E )* = A‬שכן ‪ E‬בסיס‬ ‫אורתונורמלי(‪.‬‬ ‫נבחין כי עבור ‪ vl =< v, el > , v ∈ ℂ n‬וכן ‪ . v = [v]E‬כעת לכל ‪, 1 ≤ i, j ≤ n‬‬ ‫) ‪= ([T * (e j )]E ) = (T * (e j ) ) = T * (e j ), ei = e j , T (ei‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i, j‬‬ ‫ומכאן *‪ [T * ]E = A‬כנדרש‪.‬‬ ‫) *‪= ( A‬‬ ‫‪j ,i‬‬ ‫) (‬ ‫‪i‬‬ ‫‪= e j , Aei = e j , A↓i = A‬‬ ‫) ] ‪([T‬‬ ‫*‬ ‫‪E i, j‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern