ex12.pdf - 2 12 1 n A O(n det A = 1 1 A det A = 1 A O(n 1 A...

This preview shows page 1 out of 1 page.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ – 2‬תרגיל ‪12‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫א‪ .‬תהי )‪ n , A ∈ O (n‬איזוגי‪ . det A = 1 ,‬הוכיחו כי ‪ 1‬הוא ע"ע של ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬תהי )‪ . det A = −1 , A ∈ O (n‬הוכיחו כי ‪ − 1‬ע"ע של ‪ . A‬הראו כי אם ‪ n‬זוגי אז גם ‪ 1‬ע"ע של ‪. A‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪vv‬‬ ‫יהי ‪ , 0 ≠ v ∈ ℝ n‬ונגדיר‬ ‫‪T‬‬ ‫‪v v‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪ Rv‬אורתוגונלית וסימטרית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכיחו כי ‪ Rv‬מתארת שיקוף ביחס לתת מרחב ממימד ‪ n − 1‬ומצאו את תת המרחב הזה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו דוגמא למטריצה אורתוגונלית וסימטרית שלא מתארת שיקוף‪.‬‬ ‫‪. Rv = I n − 2‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪T‬‬ ‫יהי ‪ V‬מרחב אוקלידי‪ ,‬ותהי ‪ T : V → V‬העתקה אורתוגונלית‪ .‬הראו כי‬ ‫‪2‬‬ ‫רמז‪ :‬אי שוויון משולש הפוך‪.‬‬ ‫‪ Id +‬איזומורפיזם‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם )‪ A2 ∈ O(n‬אז )‪. A ∈ O (n‬‬ ‫ב‪ .‬אם )‪ A, B ∈ O (n‬אז קיימת )‪ M ∈ O (n‬כך ש‪. A = MB -‬‬ ‫ג‪ O(n) .‬הינו תת מרחב לינארי של ) ‪. M n ( ℝ‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫יהי ‪ V‬מרחב אוקלידי‪ ,‬ותהי ‪ T : V → V‬העתקה אורתוגונלית כך שעבור ‪ 0 < λ < 1‬ההעתקה‬ ‫‪ λT + (1 − λ ) I d‬אורתוגונלית‪ .‬חשבו את ‪. T‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫א‪ .‬הראו כי אם ) ‪ A ∈ M n ( ℝ‬אנטי סימטרית אז ‪ I n + A‬הפיכה וכן ‪. A ( I n + A ) = ( I n + A) A‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי עבור ) ‪ A ∈ M n ( ℝ‬אנטי סימטרית‪ ,‬המטריצה‬ ‫רמז‪ :‬העזרו בסעיף א' כדי להראות‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫) ‪ Q = ( I n − A)( I n + A‬אורתוגונלית‪.‬‬ ‫)‪( I n − A) = ( I n − A)( I n + A‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫) ‪ . ( I n + A‬ההעתקה המתאימה‬ ‫למטריצה ‪ Q‬נקראת העתקת קיילי ‪.Cayley‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫הוכיחו כי המטריצות הבאות אורתוגונליות‪ ,‬מצאו צורה קנונית ‪ C‬ומטריצה אורתוגונלית ‪P‬‬ ‫המקיימת ‪) P −1 AP = C‬כלומר מצאו בסיס אורתונורמלי ‪ B‬כך ש‪ .( [TA ]B = C -‬מה המשמעות‬ ‫הגאומטרית של האופרטור המתאים ‪) ? TA‬שיקוף‪,‬סיבוב‪ ,‬צירי סיבוב‪ ,‬מישורי שיקוף(‬ ‫‪ −1 0 0 ‬‬ ‫‪ 2 −1 2 ‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ . A = 0 1 0 .‬ב‪ A = 2 2 −1 .‬ג‪A = 0 −1 0 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 0 0 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −1 2 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern