alg_linr2_sol10.pdf - 2 10 1 > | u v |2 =| u |2 | v |2 2 Re...

This preview shows page 1 out of 2 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ – 2‬פתרון תרגיל ‪10‬‬ ‫פתרון שאלה ‪1‬‬ ‫> ‪ || u ± v ||2 =|| u ||2 + || v ||2 ±2 Re < u , v‬לכן > ‪ . || u + v ||2 − || u − v ||2 = 4 Re < u , v‬מכאן‬ ‫גם > ‪ . || u + iv ||2 − || u − iv ||2 = 4 Re < u , iv >= 4 Re(i < u, v >) = −4 Im < u, v‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫> ‪ < u , v >= Re < u , v > +i Im < u , v‬נקבל‬ ‫> ‪. || u + v ||2 − || u − v ||2 −i || u + iv ||2 +i || u − iv ||2 = 4 < u, v‬‬ ‫פתרון שאלה ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u1‬‬ ‫א‪ v1 = (1,1, 2), v2 = (0,1, 3) .‬אז )‪= ( −7, −1, 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|| ‪|| u1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫> ‪. u1 = v1 , u2 = v2 − < v2 , u1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u1 ,‬‬ ‫בסיס אורתוגונלי נתון ע"י ) ‪ (u1 , u2‬ובסיס אורתונורמלי ע"י ) ‪u2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪66‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫ב‪ , W = Sp{e1 − ei | 2 ≤ i ≤ 4} . .‬בסיס אורתונורמלי נתון ע"י‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(e1 + e4 ),‬‬ ‫‪(e1 + 2e3 − e4 ),‬‬ ‫)) ‪(e1 + 3e2 − e3 − e4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( x − ),‬‬ ‫)) ‪( x 2 − x +‬‬ ‫‪2 180‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪. (1,‬‬ ‫ד‪ .‬נפעיל תהליך גרם‪-‬שמידט על הבסיס ) ‪ . (1, x, x 2‬נבחין למשל‪ ,‬כי‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 2 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ . < 1, p >= p ( −1) + p (0) + p (1‬נקבל )) ‪( x −‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫אורתונורמלי ל‪. W -‬‬ ‫( בסיס‬ ‫פתרון שאלה ‪3‬‬ ‫נעזר בשאלה ‪) 1‬מעל ‪ ( ℂ‬ונקבל עבור ‪ j = 1, 2‬שמתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(|| u + v || j 2 − || u − v || j 2 −i || u + iv || j 2 +i || u − iv || j 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נקבל ‪ . < u , v >1 =< u , v > 2‬מעל ‪ ℝ‬יש להשתמש בזהות > ‪|| u + v || − || u − v || = 4 < u , v‬‬ ‫= ‪ . < u , v > j‬לכן‪ ,‬מהנתון ‪|| ⋅ ||1 =|| ⋅ ||2‬‬ ‫)שההוכחה שלה למעשה מופיעה כבר בתשובה לעיל לשאלה ‪.(1‬‬ ‫פתרון שאלה ‪4‬‬ ‫א‪ {(1,1, 0, 0)} .‬בסיס אורתוגונלי ל‪ {e1 − e2 , e3 , e4 } . W -‬בסיס אורתוגונלי ל‪. W -‬‬ ‫⊥‬ ‫‪ 2 −2 −4 −2 ‬‬ ‫‪ 0 1 1 1 ‬‬ ‫‪ {‬בסיס אורתוגונלי‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ {‬בסיס אורתוגונלי ל‪} . W -‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ב‪} .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0 1 6‬‬ ‫‪ −1 2 1 0 ‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫⊥‬ ‫‪ x = ‬מ‪ W -‬הוא אפס )באופן כללי ‪.( ∀w ∈ W .dist ( w, W ) = 0‬‬ ‫ל‪ . W -‬המרחק של ‪‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪. dist ( x,W ⊥ ) =|| x − PW ⊥ ( x) ||=|| PW ( x) || = || x ||= 3‬‬ ‫‪x∈W‬‬ ‫פתרון שאלה ‪5‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪= w . U ⊥ = Sp{w}, w = (1, −1, −1,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫|| ‪|| w‬‬ ‫‪4‬‬ ‫> ‪, PU ⊥ (v) =< v, w‬‬ ‫‪. dist (v, U ) =|| v − PU (v) ||=|| PU ⊥ (v) ||=| 9 / 4 | ⋅ || w ||= 9 / 2‬‬ ‫פתרון שאלה ‪6‬‬ ‫אם ‪ v1 , v2‬ת"ל )ובפרט אם אחד מהם שווה לאפס( הטענה ברורה‪ .‬נניח לכן שהם בת"ל‪ .‬נכתוב‬ ‫) ‪ . v1 = PSp{v2 } (v1 ) + PSp{v }⊥ (v1‬לפי מה שהראינו בתרגול‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . det(G (v1 , v2 )) =|| PSp{v }⊥ (v1 ) || det(G (v2 )) =|| PSp{v }⊥ (v1 ) || || v2 ||2‬קל לבדוק ע"י ציור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כי זה בדיוק שטח המקבילית בריבוע )שטח מקבילית שווה לאורך הבסיס מוכפל באורך הגובה‪,‬‬ ‫כאן ) ‪ PSp{v }⊥ (v1‬זה הגובה(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון שאלה ‪7‬‬ ‫א‪ .‬נסמן )‪ . v1 = (1,1,1), v2 = (1, 0,1), w = (1, 2, 3‬כפי שהראינו בתרגול‪,‬‬ ‫)) ‪ det(G ( w, v1 , v2 )) =|| PU ⊥ ( w) ||2 det(G (v1 , v2‬כאשר המרחק המבוקש הוא || )‪. || PU ⊥ ( w‬‬ ‫‪16 6 4‬‬ ‫‪6 3 2‬‬ ‫‪4 2 2‬‬ ‫מכיוון ש‪ v1 , v2 -‬בת"ל‪= 4 / 2 = 2 ,‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫= )) ‪. || P ( w) ||= det(G ( w, v1 , v2‬‬ ‫‪U‬‬ ‫)) ‪det(G (v1 , v2‬‬ ‫⊥‬ ‫ב‪ .‬נסמן )‪ w = (1,...,1‬ונבחין כי }‪ . Ker (T ) = Sp{ei + en |1 ≤ i ≤ n − 1‬נסמן ‪. vi = ei + en‬‬ ‫‪n 2 ⋯ 2‬‬ ‫‪2 2 ⋯ 1‬‬ ‫⋮‬ ‫⋱‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(n − 2)2 (n − 2) 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⋱‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )) ‪. dist ( w, Ker (T )) = det(G ( w, v1 ,..., vn −1‬פתרון‬ ‫)) ‪det(G (v1 ,..., vn −1‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫א‪ .‬מצד אחד ‪ U , W ⊂ U + W‬לכן לפי מה שהראינו בתרגול ⊥ ‪. (U + W ) ⊥ ⊂ U ⊥ ∩ W‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬אם ⊥ ‪ v ∈ U ⊥ ∩ W‬אז )מלינאריות במשתנה השני(‬ ‫‪ < v, u + w >=< v, u > + < v, w >= 0‬לכל ‪ . u ∈ U , w ∈ W‬לכן ⊥ ) ‪. v ∈ (U + W‬‬ ‫ב‪ .‬נציב ⊥ ‪ U ⊥ , W‬בסעיף א' ונקבל ⊥⊥ ‪ . (U ⊥ + W ⊥ ) ⊥ = U ⊥⊥ ∩ W‬מכיוון ש‪dimV < ∞ -‬‬ ‫נקבל ‪ (U ⊥ + W ⊥ ) ⊥ = U ∩ W‬ואז ⊥) ‪. U ⊥ + W ⊥ = (U ⊥ + W ⊥ ) ⊥⊥ = (U ∩ W‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern