alg_linr2_ex9.pdf - 2 9.1 f = x 4 x 5 x 4 x5 f = 1 x 2 x3 3...

This preview shows page 1 out of 1 page.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה ליניארית ‪ – 2‬תרגיל ‪9‬‬ ‫‪ .1‬רשמו את המטריצה הנלווית עבור הפולינומים הבאים‪:‬‬ ‫ב‪. f = − x + 4 x + 5 x 4 + x5 .‬‬ ‫א‪f = 1 + x 2 + x3 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬רשמו את גוש יעקובסון מאורך ‪ r‬ואת הפולינום המינימלי והאופייני שלו‪ ,‬עבור הפולינומים והאורכים‬ ‫ב‪ f = x5 , r = 1, 3 .‬וגם עבור ‪ r ≥ 1‬כללי‪.‬‬ ‫‪ r‬הבאים‪ :‬א‪f = 2 + x 2 , r = 2 .‬‬ ‫ד‪. f = 4 − x 2 + x 3 , r = 4 .‬‬ ‫ג‪f = − x 5 + x 6 , r = 2 .‬‬ ‫‪ .3‬תהי )‪ A ∈ M 3 (ℚ‬כך ש‪ . m A = ( x − 1)( x + 1) -‬רשמו את כל צורות יעקובסון האפשריות של ‪. A‬‬ ‫‪ .4‬תהי )‪ A ∈ M n (ℚ‬המקיימת ‪ . A2 + 2 I = 0‬הוכיחו כי ‪ n‬זוגי‪ .‬מצאו את צורת יעקובסון של ‪, A‬‬ ‫מעל ‪. ℝ , ℚ‬‬ ‫‪ .5‬יהיו ‪ F‬שדה ו‪ F ⊂ K -‬שדה הרחבה‪ .‬תהי ) ‪ . A ∈ M n ( F‬נסמן ב‪ f AF ∈ F [ x], f AK ∈ K [ x] -‬את‬ ‫הפולינומים האופייניים של ‪ A‬כמטריצה מעל ‪) F , K‬בהתאמה(‪ .‬הוכיחו כי ‪. f AF = f AK‬‬ ‫‪ .6‬בדקו האם הפונקציה ‪ f : V × V → ℝ‬מגדירה מ"פ‪:‬‬ ‫א‪. f ( A, B ) = tr ( AB ) , n ≥ 2 , V = M n ( ℝ ) .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ V = C ([0,1]) .‬מרחב הפונקציות הרציפות מ‪ [0,1] -‬ל‪. f (a, b) = ∫ a ( x)b( x)dx , ℝ -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ V = C ( ℝ) .‬מרחב הפונקציות הרציפות מ‪ ℝ -‬ל‪. f (a, b) = ∫ a ( x)b( x)dx , ℝ -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a c ‬‬ ‫ד‪. f ( , ) = 5ac + 2ad + 2bc + bd , V = ℝ 2 .‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫‪a c ‬‬ ‫ה‪. f ( , ) = ac + 2bc + ad + bd , V = ℝ 2 .‬‬ ‫‪b d ‬‬ ‫‪ .7‬יהי ]‪ V = ℂ n [ x‬מרחב הפולינומים ממעלה לכל היותר ‪ . n‬יהיו ‪ z1 ,..., zn +1 ∈ ℂ‬שונים‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪ f : V × V → ℂ‬המוגדרת ע"י ) ‪ f (q, p ) = ∑ i =1 q ( zi ) p ( zi‬זו מ"פ‪.‬‬ ‫‪ .8‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ ℝ‬עם מכפלה פנימית > ‪ . <,‬הוכיחו‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪. || u − v ||=|| (|| u || v −‬‬ ‫א‪ .‬לכל ‪ , u , v ∈ V‬אם ‪ u ≠ 0,|| v ||= 1‬אז || )‬ ‫|| ‪|| u‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪. || u + v ||2 − || u − v ||2 = 4 < u , v > , u , v ∈ V‬‬ ‫‪ .9‬יהי ‪ V‬מ"ו מעל ‪ F = ℝ, ℂ‬עם מכפלה פנימית > ‪ . <,‬הוכיחו‪:‬‬ ‫א‪) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) u + v + u − v = 2 u + v‬שוויון המקבילית(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יהיו ‪ . u , v ∈ V‬אם > ‪ < v, w >=< u , w‬לכל ‪ w ∈ V‬אז ‪. u = v‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern