alg_linr2_ex3.pdf - 2 3 1 R I J R = cfw_a b | a I b J I J...

This preview shows page 1 out of 1 page.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה ליניארית ‪– 2‬תרגיל ‪3‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫יהי ‪ R‬חוג‪ ,‬ויהיו ‪ I , J ⊂ R‬אידיאלים‪ .‬הוכיחו כי ‪= {a + b | a ∈ I , b ∈ J } , I ∩ J‬‬ ‫‪+J‬‬ ‫‪,I‬‬ ‫} ‪∑ k =1 ak bk | n ∈ ℕ, ak ∈ I , bk ∈ J‬‬ ‫‪n‬‬ ‫{ = ‪ IJ‬אידיאלים‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫חוג ראשי )רמז‪ :‬חיזרו על ההוכחה מהשיעור עבור ] ‪.( F [ x‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪ℤ‬‬ ‫ב‪ .‬יהיו ‪ I = mℤ, J = nℤ‬הוכיחו כי ‪. I + J = gcd( m, n )ℤ‬‬ ‫ג‪ .‬האם ] ‪ ℤ[ x‬חוג ראשי?‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫עבור זוגות הפולינומים הבאים ‪ f , g‬מצאו ) ‪ gcd( f , g‬וכן מצאו פולינומים ‪ a, b‬כך ש‪-‬‬ ‫‪: gcd( f , g ) = af + bg‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪. g = x − 4 x + 3 , f = x3 + 1 .‬‬ ‫ב‪. g = 4 x 2 + 4 x + 1 , f = 3 x 3 − 2 x + 1 .‬‬ ‫ג‪g = x 3 − 1 , f = x 4 − 1 .‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫הוכיחו את הטענות הבאות על פולינומים ]‪ . f , g , p ∈ F [ x‬נניח ‪. f , p, g ≠ 0‬‬ ‫א‪ .‬היעזרו בפירוק של ‪ p‬לפולינומים א"פ והוכיחו‪ :‬אם ‪ gcd( f , p ) = 1‬וגם ‪ p | fg‬אז ‪. p | g‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ gcd( f , g ) = 1‬וגם ‪ gcd( f , p ) = 1‬אז ‪. gcd( f , pg ) = 1‬‬ ‫ג‪ .‬אם ‪ p, g | f‬וגם ‪ gcd( p, g ) = 1‬אז ‪ . pg | f‬האם הנתון ‪ gcd( p, g ) = 1‬הכרחי?‬ ‫ד‪ .‬אם ‪ gcd( f , g ) = 1‬אז ‪gcd( f + g , f − g ) = 1‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ det ‬לכל‬ ‫ה‪ .‬אם ‪ gcd( f , g ) = 1‬אז ‪ ≠ 0 ⇒ gcd(af + bg , cf + dg ) = 1‬‬ ‫‪c d ‬‬ ‫‪. a , b, c , d ∈ F‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את הפירוק של הפולינום ‪ x + 16‬מעל ‪ ℝ‬ומעל ‪ℚ‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את הפירוק של הפולינום ‪ x3 + 1‬מעל ‪. ℤ 3‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫סיבוכיות של אלגוריתם אויקלידס‪:‬‬ ‫תהי } ‪ {Fn‬סדרת פיבונאצ'י‪.( Fn + 2 = Fn +1 + Fn ) F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5,... :‬‬ ‫יהיו ‪ a > b > 0‬מספרים שלמים ונסמן ב‪ E ( a, b) -‬את מספר הצעדים באלגוריתם אויקלידס המופעל על‬ ‫‪ . a, b‬למשל‪ . E (1,1) = 1, E (2,1) = 1, E (5, 3) = 3 ,‬נסמן בקיצור )‪. ( a, b) = gcd(a, b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫≤ ‪) . FE ( a ,b ) +1‬רמז‪ :‬השתמשו בכך ש‪ qi ≥ 1 -‬לכל ‪ i‬ובנוסף אם נסמן את‬ ‫א‪ .‬הוכיחו כי‬ ‫)‪( a, b‬‬ ‫הצעד האחרון ב‪ k + 1 -‬אז ‪ . qk +1 ≥ 2‬הוכיחו את הטענה באינדוקציה לאחור על ‪ ri‬כאשר‬ ‫‪(. r0 = b‬‬ ‫‪1+ 5‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ E (a, b) ≤ 1 + log λ‬כאשר‬ ‫ב‪ .‬הסיקו מסעיף א' ש‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( a, b‬‬ ‫באינדוקציה ש‪ Fn +1 ≥ λ n −1 :‬כאשר השתמשו בכך ש‪(. λ 2 − λ − 1 = 0 -‬‬ ‫ג‪ .‬הוכיחו שלכל ‪ . E ( Fn + 2 , Fn +1 ) = n , n ≥ 2‬בפרט‪ ,‬מכאן נובע שאי השוויון של סעיף א' הוא‬ ‫חד‪.‬‬ ‫= ‪) . λ‬רמז‪ :‬הוכיחו‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern