alg_linr2_sol4.pdf - 2 4 1 T1 deg p x = 0.0 n 1 T2 0 k n 2...

This preview shows page 1 out of 3 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה ליניארית ‪ – 2‬פתרון תרגיל ‪4‬‬ ‫פתרון שאלה ‪1‬‬ ‫‪ : T1‬ו"ע‪ , deg( p ( x )) = 0 :‬ע"ע ‪ .0‬האופרטור לא ניתן לליכסון עבור ‪. n ≥ 1‬‬ ‫‪ : T2‬ו"ע‪ :‬לכל דרגה ‪ 0 ≤ k ≤ n‬קיים ו"ע מדרגה זו בדיוק‪ .‬לכן האופרטור ניתן לליכסון‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪2‬‬ ‫להעתקה שני ע"ע‪ 0 :‬עם מרחב עצמי ‪) Sym‬כל המטריצות הסימטריות( ו‪ 1 -‬עם מרחב עצמי ‪ASym‬‬ ‫)כל המטריצות האנטי סימטריות(‪ .‬הסכום )הישר( של שני מרחבים אלו הוא כל המרחב )זה תרגיל‬ ‫מלינארית ‪ ,(1‬לכן יש ל‪ V -‬בסיס עצמי של ‪ T‬ומכאן כי ‪ T‬לכסינה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪3‬‬ ‫‪ 2 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נעבור לקואורדינטות לפי הבסיס ) ‪. A = [T ] = 1 1 1 . E = (1, x, x 2‬‬ ‫‪ 0 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ f A (λ ) = −(λ − 3)(λ − 2)(λ − 1‬לכן יש שלושה ע"ע שונים ומכאן ש‪ T -‬לכסינה‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נמצא מרחבים עצמיים‪ :‬באופן כללי‪ ,‬אם לאיזשהו ]‪ v ∈ ℝ 2 [ x‬מתקיים ‪ A[v]E = λ[v]E‬אז‬ ‫‪ [Tv]E = [T ]E [v]E = A[v]E = λ[v]E = [λ v]E‬כלומר ‪ . Tv = λ v‬גם להיפך נכון‪ ,‬אם ‪ Tv = λ v‬אז‬ ‫‪ . A[v]E = [Tv]E = [λ v]E = λ[v]E‬מכאן שהעתקת הקורדינטות לפי בסיס מסויים מגדירה‬ ‫איזומורפיזמים בין מרחבים עצמיים של העתקה לבין מרחבים עצמיים של המטריצה המייצגת שלה לפי‬ ‫אותו בסיס‪.‬‬ ‫לכן נמצא תחילה את המרחבים העצמיים של המטריצה ‪ A‬ואז נחזור למרחבים העצמיים של ההעתקה ‪T‬‬ ‫‪ −1 0 1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪ Ker 1 −2 1 = Sp{1} , λ = 3‬לכן } ‪. V3 = Sp{1 + x + x 2‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫עבור ‪ Ker 1 −1 1 = Sp{1 } , λ = 2‬לכן }‪. V2 = Sp{1 + x‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫עבור ‪ Ker 1 0 1 = Sp{1 } , λ = 1‬לכן }‪. V1 = Sp{x‬‬ ‫‪0 0 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫פתרון שאלה ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ . f A ( x) = x − 16 x + 54 .‬הע"ע הם ‪ . 8 ± 10‬יש שני ע"ע שונים לכן ‪ A‬לכסינה‪ .‬נמצא מרחבים‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . V‬נגדיר ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫{‪= Sp‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫עצמיים‪10 } , V8+ 10 = Sp{ 10 } :‬‬ ‫‪8 − 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫‪ 5 ‬‬ ‫הפיכה ומתקיים ‪ P −1 AP = D‬עבור )‪. D = diag (8 + 10,8 − 10‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪ f B ( x) = ( x − 24) 2‬לכן יש ע"ע אחד ‪ V24 = Sp{ } .24‬לכן אין בסיס של ו"ע למרחב )כי מימד‬ ‫‪ −6 ‬‬ ‫המרחב העצמי הוא ‪ 1‬ומימד המרחב הוא ‪ (2‬ולכן ‪ B‬איננה לכסינה‪ .‬דרך אחרת‪ :‬אם ‪ B‬היתה לכסינה‬ ‫היינו מקבלים ‪ P‬הפיכה כך ש‪ P −1 BP = 24 I -‬ואז ‪ B = 24 PP −1 = 24 I‬בסתירה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ P = 10‬אז ‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫)‪ fC ( x) = ( x − 6)( x − 12‬לכן יש לה שני ע"ע שונים ‪ 12 ,6‬ומטריצה ‪ C‬לכסינה‪ .‬מטריצה מלכסנת‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ . P −1CP = diag (6,12) . P = ‬מכאן ברורים גם המרחבים העצמיים‪.‬‬ ‫היא ‪‬‬ ‫‪ −3 / 4 −3 / 2 ‬‬ ‫)‪ f D ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3‬לכן יש לה שלושה ע"ע שונים‪ 3 ,2 ,1 ,‬ומטריצה ‪ D‬לכסינה‪ .‬מטריצה‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מלכסנת היא ‪. P DP = diag (1, 2,3) . P = 0 1/ 4 12 / 29 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪2 / 29 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ב‪ f A ( x) = ( x − 1)( x − 2) .‬לכן שני הע"ע שלה שונים והמטריצה לכסינה‪ .‬לאחר מציאת ע"ע וו"ע נקבל‬ ‫‪ 1 −1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ ,( P −1 = ‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ ) P AP = ‬‬ ‫‪ P = ‬מקיימת ‪ = D‬‬ ‫כי ‪‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪ 0 1‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪ 1 1 1 −1 1 2n − 1‬‬ ‫‪. An = PD n P −1 = ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪2n ‬‬ ‫‪ 0 1 0 2 0‬‬ ‫‪5+i 7‬‬ ‫‪5−i 7‬‬ ‫‪)( x −‬‬ ‫ג‪) .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון שאלה ‪5‬‬ ‫‪ . f A ( x) = ( x − 5)( x −‬יש שלושה ע"ע שונים לכן ‪ A‬לכסינה‪.‬‬ ‫‪ an +1 an + 2 ‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪ . A = ‬אז‬ ‫‪=‬‬ ‫כפי שראינו בתרגול‪ ,‬רושמים ‪‬‬ ‫‪ A ‬ולפי הגדרת הרקורסיה מקבלים ‪‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪ an an +1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ an +1 ‬‬ ‫‪4 0 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ D = ‬ש‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P = ‬ו‪ -‬‬ ‫‪ . A = ‬נמצא את ‪ A‬ע"י לכסון‪ .‬מתקיים עבור ‪‬‬ ‫‪ 0 −1‬‬ ‫‪ 1/ 4 −1‬‬ ‫‪ 1 an ‬‬ ‫‪ 4n‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , An = P ‬ומקבלים ) ‪. an = (4n +1 − (−1) n−1‬‬ ‫‪ , P −1 AP = D‬ואז ‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 0 (−1) ‬‬ ‫פתרון שאלה ‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P = ‬מקיימת‬ ‫‪ A . A = ‬ו‪ B -‬דומות כי ‪‬‬ ‫‪, B = ‬‬ ‫א‪ .‬הטענה לא נכונה‪ :‬ניקח ‪‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ . P −1 BP = A‬אולם הווקטור ‪ v = ‬מקיים ‪ Bv = , Av = ‬כלומר זה ו"ע של ‪) B‬שייך‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לע"ע ‪ ( 0‬שאיננו ו"ע של ‪) A‬כי ל‪ A -‬רק ‪ 0‬הוא ע"ע‪ ,‬או כי באופן כללי ‪ ≠ λ ‬לכל סקלר ‪( λ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪ . A = ‬אז ‪ B‬הפיכה‪ ,‬‬ ‫‪, B = ‬‬ ‫ב‪ .‬הטענה לא נכונה‪ :‬ניקח ‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪ 2 0‬‬ ‫של ‪ AB‬אבל לא של ‪) . A‬הפולינומים האופייניים הם‪f AB ( λ ) = λ ( λ − 2) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 , AB = ‬הוא ע"ע‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(. f A ( λ ) = λ 2 ,‬‬ ‫פתרון שאלה ‪7‬‬ ‫)‪ . f A (λ ) = λ 3 − 1 = (λ − 1)(λ 2 + λ + 1‬השורשים של ‪ λ 2 + λ + 1‬אינם ממשיים ולכן ‪ A‬איננה‬ ‫לכסינה מעל ‪) ℝ‬כי לא כל הע"ע שלה נמצאים ב‪ .( ℝ -‬השורשים של ) ‪ f A (λ‬הם‬ ‫‪−1 + i 3 −1 − i 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫}‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ריבועית(‪ ,‬אלה שלושה שורשים שונים לכן ‪ A‬לכסינה מעל ‪ . ℂ‬נמצא מרחבים עצמיים‪:‬‬ ‫‪ −1 1 0 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫}‪ , V1 = Ker 0 −1 1 = Spℂ {1‬ולאחר חישוב מקבלים‪:‬‬ ‫‪ 1 0 −1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ −1 + i 3 ‬‬ ‫‪ −1 − i 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . V1‬מכל מרחב עצמי ניקח וקטור‬ ‫‪== Spℂ { −1 − i 3 },V1‬‬ ‫}‪= Spℂ { −1 + i 3 ‬‬ ‫) ‪( −1+ i 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ 2 ( −1−i 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 −1 + i 3 −1 − i 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עצמי אחד שונה מאפס‪ ,‬ונקבל שהמטריצה ‪ P = 1 −1 − i 3 −1 + i 3 ‬הפיכה ומתקיים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ P AP = 0 −1 + i 3‬אלכסונית כנדרש‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1 − i 3 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪) {1,‬את שורשי ‪ λ 2 + λ + 1‬מוצאים ע"י שימוש בנוסחה לפיתרון משוואה‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern