alg_linr2_sol5.pdf - 2 5 1)f x = u x d x = gcd f x m A x...

This preview shows page 1 out of 3 pages.

You've reached the end of this preview.

Unformatted text preview: ‫אלגברה לינארית ‪ –2‬פתרון תרגיל ‪5‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪1‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫= )‪, u ( x‬‬ ‫יהי ))‪ d ( x) = gcd( f ( x), m A ( x‬ונניח בשלילה ‪ . deg( d ( x )) > 0‬נסמן‬ ‫)‪d ( x‬‬ ‫)‪m ( x‬‬ ‫‪ , v( x) = A‬וע"פ ההנחה )‪ . deg v( x) < deg m A ( x‬נתון כי קיימת מטריצה ‪ B‬עבורה‬ ‫)‪d ( x‬‬ ‫‪ f ( A) B = I‬מכאן כי ‪ d ( A)u ( A) B = I‬ובפרט )‪ d ( A‬הפיכה‪ .‬מצד שני‪,‬‬ ‫‪ d ( A)v( A) = m A ( A) = 0‬וכיוון ש‪ d ( A) -‬הפיכה‪ ,‬זה גורר ש‪ , v ( A) = 0 -‬בסתירה למינימליות של‬ ‫‪. mA‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪2‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נמצא את המטריצה המייצגת של ‪ T‬ביחס לבסיס הסטנדרטי של ) ‪ . M n ( F‬זהו הבסיס‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i , j =1‬‬ ‫) (‬ ‫‪ , Ei j‬כאשר ) ‪ Ei j ∈ M n ( F‬היא מטריצה שכל אבריה הם ‪ 0‬מלבד האיבר ה ‪ i, j‬ששווה ל ‪. 1‬‬ ‫נסמן ב ‪ A j‬את עמודות המטריצה ‪ , A‬ונשים לב ש ‪ TEi j‬היא המטריצה שעמודתה ה ‪ j‬היא ‪ Ai‬וכל שאר‬ ‫אבריה הם ‪ .0‬נקבל‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 A 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. [T ]St = TE11 , TE21 … , TEn n ‬‬ ‫‪St‬‬ ‫‪St‬‬ ‫‪St‬‬ ‫‪0 0 ⋱ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0 A‬‬ ‫א‪ .‬מהצורה של ‪ [T ]St‬ברור כי ‪ . cT = c A n‬נראה ש ‪ . mA = mT‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ m[T ]ST ( A) 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , ‬בפרט ‪, m[T ] ( A) = 0‬‬ ‫⋱‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= m[T ] ([T ]ST ) = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 m[T ] ( A) ‬‬ ‫‪ST‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שגם‬ ‫נובע‬ ‫ולכן ‪ . mA | mT‬מאידך‪ ,‬מהמבנה של ‪[T ]St‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ mA ( A) 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫⋱‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪0 =0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 mA ( A) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ mA [T ]St‬ולכן ‪ , mT | mA‬ומכאן השוויון‪.‬‬ ‫אם ‪ A‬ניתנת ללכסון‪ ,‬אז יש מטריצה הפיכה ) ‪ P ∈ M n ( F‬כך ש‪D , P −1 AP = D -‬‬ ‫‪P 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 P 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫מלכסנת את ‪. [T ]St‬‬ ‫אלכסונית‪ ,‬ואז ) ‪∈ M n2 ( F‬‬ ‫‪0 0 ⋱ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0 P‬‬ ‫ג‪ .‬זה נובע מכך שהע"ע הם השורשים של ‪. cT ( x ) = c An‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫נסמן ב ‪ VλA ⊂ F n‬וב ) ‪ VλT ⊂ M n ( F‬את המרחבים העצמיים של ‪ A‬ושל ‪T‬‬ ‫‪ X1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫המתאימים ל ‪ . λ‬אם ) ‪ , X ∈VλT = Ker ( λ I − T‬אז ‪, λ I − [T ]St ⋮ = 0‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫כאשר ‪ X j‬היא העמודה ה ‪ j‬של המטריצה ‪ . X‬מן המבנה של ‪ [T ]St‬נובע ש‪-‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ . 1 ≤ j ≤ n , X j ∈VλA‬מאידך‪ ,‬אם ‪ X‬מטריצה כלשהי שכל עמודותיה ב ‪ , VλA‬אז‬ ‫ברור ש ‪ , X ∈ VλT‬לכן בסה"כ‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫‪) . VλT = X ∈ M n ( F ) | X j ∈ VλA‬הערה‪ :‬נזכור‬ ‫שגם ‪.( 0 ∈ VλA‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫אם } ‪ , {v1 ,…, vk‬בסיס של ‪) VλA‬ז"א‪ ,‬הריבוי הגיאומטרי של ‪ λ‬כע"ע של ‪ A‬הוא‬ ‫‪ ,( k‬אז המטריצות ‪, Bi , j‬שעמודתן ה ‪ j‬היא ‪ vi‬וכל שאר אבריהן הם ‪, 0‬הן בסיס ל‬ ‫‪) VλT‬כפי שראינו בסעיף קודם(‪ ,‬ויש ‪ n ⋅ k‬כאילו‪.‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪3‬‬ ‫א‪ .‬נניח הגוש ‪ Ai‬עומד בשורות‬ ‫‪ . ri ,1 ,..., ri ,ki‬לכל ‪ , 1 ≤ i ≤ n‬נבצע על שורות ‪ri ,1 ,..., ri ,ki‬‬ ‫פעולות אלמנטריות‪ .‬פעולות אלו לא משפיעות על שורות ‪ . j ≠ i , rj ,1 ,..., rj ,k j‬לכן כאשר‬ ‫לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬נקבל מטריצה משולשית עליונה בגוש ‪ Ai‬אז המטריצה כולה תהיה‬ ‫משולשית עליונה‪ .‬כעת הטענה נובעת מכך שהדטרמיננטה של מטריצה משולשית עליונה‬ ‫שווה למכפלת איברי האלכסון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נפעיל את סעיף א' על ‪. xI − A‬‬ ‫ג‪ .‬נדרג כל גוש בנפרד‪ .‬לאחר הדרוג‪ ,‬נקבל מטריצה ) ‪ E = diag ( E1 ,… , En‬כאשר ‪Ei‬‬ ‫צורה מדורגת קנונית של ‪ . Ai‬כעת ברור שמספר שורות האפסים ב‪ E -‬שווה לסכום מספר‬ ‫שורות האפסים בכל ‪. Ei‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , A = ‬אז ‪. lcm( x, x ) = x ≠ x = m A‬‬ ‫ד‪ .‬כן‪ ,‬למשל ניקח ‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪4‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫א‪ x = 0 .‬לכן ‪ m A | x‬אבל ‪ deg mA ≤ deg f A = n‬כלומר ‪ m A = x‬עבור ‪ u ≤ n‬ומכאן‬ ‫‪. An = An −u Au = 0‬‬ ‫ב‪ .‬מסעיף א' נקבל ‪ f A = x n‬כלומר מכפלת גורמים ליניאריים מעל ‪ F‬לכן ‪ A‬ניתנת לשילוש‬ ‫מעל ‪ . F‬האיברים על האלכסון בצורה המשולשית הם הע"ע כלומר אפסים‪.‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ . f A = ( x − 1) ( x − 5) .‬ניקח ‪ v1 = e2 + e3‬ו"ע השייך לע"ע ‪) 1‬מתקיים ‪ dim V1 = 1 < 2‬לכן‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫המטריצה לא לכסינה(‪ .‬נגדיר ‪0 1 ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪f A* = ( x − 1)( x − 5) , A* = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 4‬‬ ‫‪ 1 −3 −2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P1 = 1‬אז ‪, P AP1 = 0 2 1 ‬‬ ‫‪0 3 4 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ניקח ‪ v2 = ‬ו"ע )של *‪ ( A‬השייך לע"ע ‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0 1 0 1 0 0 ‬‬ ‫‪ 1 3‬‬ ‫‪ −1 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P2 −1 A* P2 = ‬ואם ‪ P = 1 0 1 0 −1 1 ‬אז‬ ‫‪ P2 = ‬אז ‪‬‬ ‫ונגדיר ‪‬‬ ‫‪ 0 5‬‬ ‫‪ 1 0‬‬ ‫‪ 1 0 0 0 1 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 * *‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪. P AP = 0 1 3 ‬‬ ‫‪ 0 0 5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ב‪ , f B = ( x − 2)3 .‬ניקח ‪ v1 = −2 ‬ו"ע )מתקיים ‪ dim V2 = 1 < 3‬לכן המטריצה לא לכסינה(‪.‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2 −4 3 ‬‬ ‫‪ −2 1 0 ‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫*‬ ‫‪,A =‬‬ ‫נגדיר ‪ , P1 = −2 0 1 ‬אז ‪ , P1 AP1 = 0 1 1 ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 −1 3 ‬‬ ‫‪ 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫*‬ ‫‪ P2 = ‬אז‬ ‫)‪ f A* = ( x − 2‬ניקח ‪ v2 = ‬ו"ע )של ‪ ( A‬ונגדיר ‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 * *‬‬ ‫‪ −2 1 0 1 0 0 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P2 −1 A* P2 = ‬ואם ‪ P = −2 0 1 0 1 0 ‬אז ‪. P AP = 0 2 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪ 0 0 2‬‬ ‫‪ 1 0 00 1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪6‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫א‪ V3 = Sp{1 , 0 } , V1 = Sp{ −1} , f A = ( x − 1)( x − 3) 2 .‬לכסינה כי ריבוי גיאו' של כל ע"ע‬ ‫‪ 0 1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫שווה לריבוי אלגברי שלו‪) mA = ( x − 1)( x − 3) ,‬כי ‪.( ( A − I )( A − 3 I ) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ב‪ V4 = Sp{1 } , V−2 = Sp{1 } , f B = ( x − 4)( x + 2) 2 .‬אינה לכסינה כי ריבוי גיאו' של ע"ע‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ −2‬שווה ‪ 1‬וזה קטן מהריבוי האלגברי של ‪ −2‬שהוא ‪. m A = ( x − 4)( x + 2) 2 . 2‬‬ ‫ג‪ f C = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) .‬לכסינה כי כל הע"ע שונים )ומעל המרוכבים בהכרח יש שלושה ע"ע(‪.‬‬ ‫} ‪. mC = f C , V1 = Sp{e1},V2 = Sp{2e1 + e2 },V3 = Sp{9e1 + 6e2 + 2e3‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪7‬‬ ‫בעזרת הטענה שהוכחתם בשיעור לגבי מטריצת בלוקים אלכסונית ובעזרת שאלה ‪ 3‬ב' מקבלים‬ ‫)‪. f A = ( x − 2)3 ( x − 3), m A = ( x − 2) 2 ( x − 3‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪8‬‬ ‫א‪ .‬מתקייים עבור )‪ p = x − 4 x − 4 = ( x − 2‬ש‪ p ( A) = 0 -‬לכן ‪ mA | p‬ובפרט ‪( x + 1, mA ) = 1‬‬ ‫לכן מטענה בתרגול ‪ A + I‬הפיכה‪.‬‬ ‫ב‪ f A = ( x − 1)( x − 3) 2 .‬לכן ‪ ( x, mA ) = ( x, f A ) = 1‬ושוב מטענה בתרגול ‪ A‬הפיכה‪ .‬נכתוב‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ax + bf A = 1‬ונקבל )‪ . A−1 = a( A‬כאן ‪ ( x 2 − 7 x + 15) x − f A = 1‬כלומר‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪. A−1 = ( A2 − 7 A + 15 I‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern