linear programing.pdf - MATEMATIKO PROGRAMIRANJE I...

Info icon This preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

MATEMATI Č KO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA 4. Č AS Linearno programiranje Neka je [ ] ij mxn A a = matrica sa vrstama i neka su b i dati vektori. 1 2 , ,. V V .., m V m R 1 2 3 , , , i i i i i i c x b i I b i I b i I n c R Opšti oblik linearnog programiranja je: min 0, T T T T i V x V x V x x j J = (1) { } 1 2 3 I I I = gde su 1 I I ,..., m , 1 2 = ∅ , I I 1 3 = ∅ 2 3 I I , = ∅ { i } 1,..., J n . Dakle, tražimo najmanju vrednost funkcije cilja ( ) T f x c = x .., , 1,.., , 1,.., , k s m + + 1,.., i k = 0 i b = uz uslov da argumenti zadovoljavaju ograni č enja definisana navedenim linearnim jedna č inama i linearnim nejedna č inama. Problem linearnog programiranja smo mogli da zapišemo na slede ć i na č in: { 1 1 1 1 1 min | 0, 1, 0, 0, 0, n j j j n i j j i j n i j j i j n i j j i j c x a x b i a x b i k a x b i s x = = = = = = = = } ..., 0 n x (1’) Standardni oblik linearnog programiranja Ako svaku nejedna č inu problema (1’) zamenimo jedna č inom, dobi ć emo standarni oblik linearnog programiranja. Zamena jedna č ina se vrši na slede ć i na č in: Jedna č inu menjamo jedna č inom 1 0, n i j j i j a x b = 1 n i j j n i j a x x + = + za (“dopunimo jedna č inu do jednakosti”). Uvedena promenljiva 0 n i x + n i x + se naziva izravnaju ć a promenljiva . Jedna č inu menjamo j-nom 1 0, 1,.., n i j j i j a x b i k s = = + 0 i i b + = 1 n i j j n j a x x = uz uslov x . 0 n i + 1
Image of page 1

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

Kona č no po č etni problem dobija oblik: { } '' 1 '' 1 1 '' min '' '' | '' '' '' 0, 0,..., 0 n j j j n i j j i j n c x a x b i x x = = = 1,.., '', m = (2) Odnosno, ako u problemu (1) stavimo da je { } { } 1 1,..., , 1,. I m J = .., n = min 0 T c x Ax b x = ,.., k = tada se on svodi na standarni problem linearnog programiranja: (2’) Simetri č ni oblik Svako ograni č enje problema (1’) se može pomnožiti sa -1 č ime dobijamo ekvivalentno ograni č enje 1 0, 1 n i j j i j a x b i = 1 ( ) 0 n i j j i j a x b = + , Svako ograni č enje možemo ekvivalentno da zamenimo sa dve nejedna č ine 1 0, 1 n i j j i j a x b i = = = 1 n i j j i j a x b = ,..., s m + 0 0 i 1 n i j j i j a x b = . Ako izvršimo opisane zamene tada problem (1’) dobija oblik { } ' 1 '' 1 1 ' min ' ' | ' ' ' 0, 0,..., 0 n j j j n i j j i j n c x a x b i x x = = 1,.., ', m = (3) koji nazivamo simetri č nim oblikom. Sa druge strane, ako u problemu (1) stavimo da je { } { } 2 1,..., , I m = = 1,..., J n min 0 T c x Ax b x dobijamo simetri č ni problem linearnog programiranja: (3’) Vidimo da se problem u opštem obliku lako može transformisati u problem simetri č nog ili standarnog oblika. 2
Image of page 2