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Lógica Instituto de Computación Inducción - 1 INDUCCIÓN
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 2 Inducción - Plan • Conjuntos Inductivos – Inducción como mecanismo primitivo para definir conjuntos • Pruebas Inductivas Principios de inducción asociados a los conjuntos inductivos como mecanismo de prueba • Definiciones Recursivas Esquemas de recursión primitiva como mecanismo de definición de funciones sobre conjuntos inductivos Esquema de recursión general
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 3 1. Conjuntos Inductivos
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 4 Formas de Definir Conjuntos Hay dos formas típicas de definir conjuntos: Por extensión , o sea dando cada uno de los elementos del conjunto. Ej: A = {0, 2, 4} Por comprensión , o sea, dando una condición que deben cumplir los elementos del conjunto. Ej: B = { x | x es par y x < 5 } Cada forma tiene sus aplicaciones.
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 5 Definición Inductiva de Conjuntos La idea de la Definición Inductiva de Conjuntos es: – Agregar ciertos elementos individuales en el conjunto. – Construir nuevos elementos del conjunto combinando los elementos agregados anteriormente. Las definiciones suelen escribirse como reglas que debe cumplir el conjunto que se está definiendo.
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 6 Definición Inductiva de Conjuntos Cómo definir los Naturales? – Dando una regla que diga que 0 es un natural. – Dando otra regla que diga que si tenemos un natural n, se puede construir otro natural aplicando el operador sucesor ( o sumando 1). Definición Inductiva de los naturales. 0 N. Si n N, entonces n+1 N.
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 7 Diferentes Visiones de las Definiciones Inductivas Visión Constructiva: – Las reglas describen un proceso que permite construir los elementos de un conjunto a partir de otros elementos que ya están en el conjunto. Visión Declarativa: – Las reglas describen directamente un conjunto determinado de todos aquellos que cumplen con las reglas.
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 8 Visión Constructiva de una Definición Inductiva. Dado un conjunto inicial B Se aplican las reglas y se agranda B usando los elementos del conjunto. El conjunto que se define es el de todos los elementos que se pueden construir con la reglas. El conjunto resultante, cumple con las reglas dadas. N ... 2 (0+1+1) 1 (0+1) 0
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Lógica Instituto de Computación Inducción - 9 { 0, π } Visión Declarativa de las Definiciones Inductivas Dadas algunas reglas, hay varios conjuntos que cumplen con todas ellas.
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