Leithold, Louis El C\u00e1lculo.pdf - Traduccin FIDENCIO MATA GoNZLE Z Facultad de Ciencias UNAM Revisin tcnica M EN C C1.AUD1A Pi\\TIO RoMAN Facultad de

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El profesor Douke C\lhierta: alentada por los utópicos de la sociedad del Oeste "El enorme avance de la tecnologia e11 la década final del siglo XX, especialmente creada para EC7, la cual surge pintura esta motiv6 a, que creen en un paralso de información electrónic mostrar un encuentro con la imagen y directamente de m, trabajo reciente sobre objetos futuristas. En este cuadro busco el trabajo tenga un aspecto extrallamente la imaginación al borde de la idea fugaz hacia una forma tangible. Deseo que a la vez que parezca usad:>. El cuadro es familiar, tal vez como parte de algo más grande, más poderoso y futurista, pero ntar la adquisición del conocimiento" experime y buscar de individuo del deseo el representa que metáfora u11a de llecho Edición: Producción: Super,,isión. Formación. Fidencio Mata González Alfredo Pérez Guameros Antonio Figueredo Hurtado Rosario López Santiago E. G. Corporación de Servicios Editoriales y Gráficos EL CÁLCULO. Séptima Edición r medio, sin penniso expreso y por escrito del Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquie editor. por: DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la séptima edición OXFORD UNIVERSITY PRESS - HARLA MÉXICO, S.A. de C.V. 06470, México, D.F. Tel. 5 92 42 77 Antonio Caso 142, Col. San Rafael, Delegación Cuauhtémoc, C. P. número de registro 723. a, Mexican l Editoria Miembro de la Cámara Nacional de la Industria ISBN 970-613-182-5 Traducido de la séptima edición en inglés"de: THE CALCULUS 7 Copyrlght 1994, by Louis Leithold. Inc. Publicado por acuerdo con Louis Leithold e Inten:sts Intemational, ISBN 0-673-46913-1 Impreso en México ~ Printed in Mexico 10987 65432 Esta obra se tenninó de imprimir en mayo de 1998 en GRUPO MEXICANO MAPASA, S.A. de C.V. Emiliano Zapata No. 93 Col. San Juan lxhuatepec Tlalnepantla, Edo. de México C.P. 54180 Se imprimieron 21,000 ejemplares. A mi hijo Gordon More, sus hijos Justin y Matthew, y su abuelo David CONTENIDO , 1 r PROLOGO ~ XV Funciones, límites y continuidad 1 1.1 Funciones y sus gráficas 2 1.2 Operaciones con funciones y tipos de funciones 12 Funciones como modelos. matemáticos 20 1.3 1.4 Introducción gráfica a los límites de funciones 28 Definición de límite de una función y teoremas de límites 38 1.6 límites laterales 49 1.7 Límites infinitos 55 1.8 Continuidad de una función en un número 67 Continuidad de una función compuesto y continuidad en un intervalo 76 1.5 1.9 1.10 Continuidad de las funciones trigonométricos y teorema de estricción 85 Revisión del capítulo 1 93 .......... Derivada y diferenciación 100 2.1 Recta tangente y derivado 101 2.2 Diferenciobilidod y continuidad 109 2.3 Derivado numérica 118 2.4 Teoremas sobre diferenciación de funciones algebraicas y derivados de orden superior 123 2.5 Movimiento rectilíneo 132 2.6 Derivada como tasa de variación 145 viii CONTENIDO 2,7 2,8 2.9 2, 1O Derivadas de las funciones trigonométricas 152 Derivada de una función compuesta y regla de la cadena 162 Derivada de la función potencia para exponentes racionales y diferenciación implícita 172 Tasas de variación relacionadas 182 Revisión del capítulo 2 ............ Comportamiento de las funciones ~ y de sus. grá~icas, valores extremos y aprox1mac1ones 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 190 197 Valores máximos y mínimos de funciones 198 Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado 207 Teorema de Rolle del valor medio y teorema 215 Funciones crecientes y decrecientes, y criterio de la primera derivada 223 Concavidad, puntos de inflexión y criterio de la segunda derivada 231 Trozo de las gráficas de funciones y de sus derivadas 242 3,7 Límites al infinito 249 3,8 Resumen para el trazo de las gráficas de funciones 260 Aplicaciones adicionales sobre extremos absolutos 266 3,6 3.9 3.1 O Aproximaciones mediante el método de Newton, de la recta tangente y de diferenciales Revisión del capítulo 3 275 287 296 4.1 Anti derivación 297 4.2 Algunas técnicas de antiderivacJón 310 4.3 Ecuaciones diferenciales y movimiento rectilíneo 319 CONTENIDO i ~ ~ ~ ix 4.4 Área 328 4.5 Integral definida 338 4.6 Teorema del valor medio para integrales 352 4.7 Teoremas fundamentales del Cálculo 360 4.8 Área de una región plana 372 4.9 Volúmenes de sólidos mediante los métodos de rebanado, de discos y de arandelas 381 Volúmenes de sólidos mediante el método de capas cilíndricas 391 Revisión del capítulo 4 397 4.10 ~ Funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas inversas e hiperbólicas 5.1 Inversa de una función 404 5.2 Función logarítmica natural 418 5.3 Diferenciación logarítmica e integrales que producen funciones logarítmicas naturales 430 5.4 Función exponencial natural 437 5.5 Otras funciones exponenciales y logarítmicos 448 Aplicaciones de la función exponencial natural 456 5.7 Funciones trigonométricas inversas 469 5.8 Integrales que producen funciones trigonométricas inversas 485 Funciones hiperbólicas 490 Revisión del capítulo 5 503 5.6 ' 5.9 • 403 Aplicaciones adicionales de la integral definida 6.1 6.2 6.3 6.4 508 Longitud de orco de la gráfica de una función 509 Centro de maso de una barra 516 Centro de masa de una lámina y centroide de una región plana 522 Trabajo 530 x CONTENIDO 6.5 ~ ~ 536 Revisión del capítulo 6 542 Técnicas de integración, formas indeterminadas e integrales impropias 544 7.1 Integración por partes 545 7.2 Integrales- trigonométricas 555 7.3 Integración de funciones algebraicas mediante sustitución trigonométrica 565 Integración de funciones racionales y crecimiento logístico 572 7.5 Integración mediante otras técnicas de sustitución y tablas 584 7.6 Integración numérica 591 7.4 7.7 ~•••111"'" Fuerza ejercida por la presión de un líquido Forma indeterminada 0/0 y teorema , del valor medio de Cauchy 604 7.8 Otras formas indeterminadas 612 7.9 Integrales impropias con límites de integración infinitos 618 7.10 Otras integrales impropias 627 Revisión del capítulo 7 632 Aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas 638 8.1 Aproximaciones polinomiales mediante la fórmula de Taylor 639 8.2 Sucesiones 647 8.3 Series infinitas de términos constantes 659 8.4 Series infinitas de términos positivos 671 8.5 Series infinitas de términos positivos y negativos 684 8.6 Resumen de criterios sobre la convergencia y divergencia de series infinitas 695 8.7 Series de potencias 698 8.8 Diferenciación e integración de. series de potencias 707 8.9 Series de Taylor 718 ~ CONTENIDO i 8.10 9.1 ¡ J • • ..._ J Series de potencias paro logaritmos naturales y serie binomial 727 Revisión del capítulo 8 735 Ecuaciones paramétricas, curvas planas y gráficas polares ¡ • • 739 Ecuaciones paramétricas y curvas planas 740 9.2 Longitud de arco de una curva plana 747 9.3 Coordenadas polares y gráficas polares 752 9.4 Longitud de arco y área de una región para gráficas polares 765 9.5 • xi Tratamiento unificado de las secciones cónicas y ecuaciones polares de las cónicas 774 Revisión del capítulo 9 782 Vectores, rectas, planos y superficies en el espacio 786 10.1 Vectores en el planó 787 10.2 Vectores en el espacio tridimensional 799 10.3 Producto punto 811 10.4 Planos y rectas en 10.5 Producto cruz 833 10.6 Superficies 846 Revisión del capítulo l O 860 3 R 822 Funciones vectoriales 864 11.1 Funciones vectoriales y curvas en R3 865 11.2 Cálculo de las funciones vectoriales 872 11.3 Vectores tangente unitario y normal unitario, y longitud de arco como parámetro 882 11.4 Curvatura 888 11.5 Movimiento curvilíneo 897 Revisión del capítulo l l 909 Cálculo diferencial de funciones de más de una variable 913 12.1 Funciones de más de una '{ariable 914 12.2 Límites y continuidad de funciones de más de una variable 926 xii CONTENIDO • • 12.3 Derivadas parciales 942 12.4 Diferenciabilidad y diferencial total 955 12.5 Regla de la cadena para funciones de más de una variable 965 12.6 Derivadas direccionales y gradientes 975 12.7 Planos tangentes y rectas normales a superficies 985 12.8 Extremos de funciones de dos variables 990 12.9 Multiplicadores de Lagrange 1004 Revisión del capítulo 12 1014 Integración múltiple 1021 13.1 Coordenadas cilíndricas y esféricas 1022 13.2 Integrales dobles 1028 13.3 Aplicaciones de las integrales dobles 1041 13.4 Integrales dobles en coordenadas polares 1052 13.5 Integrales triples 1061 13.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1067 Revisión del capítulo 13 1074 Introducción al Cálculo de campos vectoriales 1077 14.1 Campos vectoriales 1078 14.2 Integrales de línea 1089 14.3 Integrales de línea independientes de la trayectoria 1098 14.4 Teorema de Green 1108 14.5 Integrales de superficie 1121 14.6 Teorema de la divergencia de Gauss y teorema de Stokes 1128 Revisión del capítulo 14 1135 Apéndice: Temas de matemáticas previas al Cálculo 1138 A.1 Números reales y desigualdades 1139 A.2 Coordenadas y gráficas de ecuaciones 1150 CONTENIDO 1 xiii A.3 Rectas 1158 A.4 Parábolas 1168 A.5 Circunferencias 1173 A.6 Traslación de ejes 1178 A.7 Elipses 1183 A.8 Hipérbolas 1192 A.9 Funciones trigonométricas 1201 A.10 Ecuación general de segundo grado en dos variables y rotación de ejes 1209 Fracciones parciales 1216 A.11 ~ Secciones suplementarias ~ 1223 Suplemento 1.5 1224 Suplemento 1.7 1231 Suplemento 1. 1O 1232 Suplemento 2.8 1233 Suplemento 4.5 1235 Suplemento 5. 1 1237 Suplemento 8.2 1241 Suplemento 8.5 1242 Suplemento 8.8 1243 Suplemento 12.3 1247 Suplemento 12.4 1249 Suplemento 12.8 1250 Tablas y formularios Tabla de derivadas . Tabla de integrales 1253 1253 1253 Fórmulas de álgebra 1259 Fórmulas de geometría 1260 Fórmulas de trigonometría 1261 Fórmulas de trigonometría hiperbólica 1263 Fórmulas de geometría analítica 1264 Alfabeto griego 1274 Respuestas de los ejercicios impares 1275 Índice 1345 í , PROLOGO "Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero sin excederse en ello." Albert Einstein El Cálculo 7 (de aquí en adelante abreviado como EC7) es una obra diseñada tanto para los cursos de especialización en matemáticas como para los estudiantes cuyo interés primario radica en la ingenieáa, las ciencias física y sociales, o los campos no técnicos. La exposición está adecuada a la experiencia y madurez del principiante. Las explicaciones detalladas, los abundantes ejemplos desarrollados así como la gran variedad de ejercicios, continúan siendo las caracteásticas distintivas del texto. En ningún º1!º tiempo entre ediciones sucesivas han ocurrido tantos cambios en la enseñanza del Cálculo como en el periodo entre las ediciones sexta y séptima de este texto. Muchos de estos cambios son el resultado de la disponibilidad de la tecnología moderna en la forma de calculadora gráfica o graficadora manual. Algunos otros cambios se deben al movimiento denominado reforma del Cálculo. He invitado a seguir este movimiento observando el principio: REFORMA CON RAZÓN. Con el fin de apegarme a este principio;he aplicado las siguientes guías: l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. La tecnología debe incorporarse para mejorar la enseñanza y el apren- _ dizaje del Cálculo, no para reemplazar las matemáticas o restar importancia a los temas teóricos. Las definiciones y teoremas deben establecerse formalmente, no informalmente. Los estudiantes deben estar concientes de que las demostraciones de los teoremas son necesarias. Cuando se presenta una demostración, debe ser bien motivada y cuidadosamente explicada, de modo que sea entendible para cualquiera que haya alcanzado un dominio promedio de las secciones anteriores del libro. Cuando se establece un teorema sin demostración, la discusión debe aumentarse mediante figuras y ejemplos; en tales casos, debe enfatizarse el hecho de que lo que se presenta es un ejemplo ilustrativo de la proposición del teorema y no una demostración del mismo. Debe darse importancia a los modelos matemáticos de las aplicaciones de la vida real. Debe destacarse la redacción en matemáticas. Los catorce capítulos de EC7 pueden clasificarse en dos partes: capítulos 1-9, en los que se estudian funciones de una variable y series infinitas; capítulos 10-14, en los que se tratan vectores y funciones de más de una variable. En EC7 se han realizado cambios en las dos partes. En todo el libro se mantiene un sano equilibrio entre un estudio riguroso y un punto de vista intuitivo, incluso en las modificaciones. Con objeto de alcanzar los objetivos planteados, se han incorporado las siguientes caracteásticas: xvi PRÓLOGO GRAFICADORA II ACTIVA" A lo largo de la presentación, EC7 utiliza la calculadora gráfica o graficadora manual no sólo como un poderoso y fascinante instrumento para el aprendizaje, sino como un instrumento fundamental en la solución de problemas. Se ha integrado la graficadora directamente a la exposición de acuerdo a la filosofía que he aprendido en mis tres veranos con TICAP (Technology lntensive Calculus for Advanced Placement) la cual se resume como sigue: l. 2. 3. Trabajar analíticamente (con papel y lápiz); después apoyar numérica y gráficamente (con la graficadora). Trabajar numérica y gráficamente; después confirmar analíticamente. Trabajar numérica y gráficamente debido a que otros métodos no son prácticos o posibles. MODELOS MATEMÁTICOS Y PROBLEMAS VERBALES Los modelos matemáticos de situaciones prácticas presentadas como problemas verbales surgen en diversos campos como física, química, ingeniería, administración, economía, psicología, sociología, biología y medicina. Las funciones como modelos matemáticos se introducen primero en la sección 1.3 y aparecen con frecuencia en el resto del texto. La sección 1.3 contiene sugerencias para obtener una función como modelo matemático paso a paso. REDACCIÓN EN MATEMÁTICAS A fin de completar la solución de cada ejemplo de un problema verbal, se presenta una conclusión que responde a las preguntas de éste. El estudiante debe redactar una conclusión semejante, que consista en una o más oraciones completas, para cada ejercicio similar. Al final de cada grupo de ejercicios hay uno o dos de redacción los cuales pueden preguntar sobre cómo o por qué funciona un procedimiento determinado, o bien, pueden pedirle al estudiante que describa, explique o justifique un proceso particular. EJERCICIOS Los ejercicios, revisados de las ediciones anteriores y ordenados por grados de dificultad, proporcionan una gran variedad de tipos de problemas que van desde cálculos y aplicaciones hasta problemas teóricos para la calculadora y ejercicios de redacción, como los mencionados anteriormente. Éstos aparecen al final de cada sección y como ejercicios de repaso al final de cada capítulo. EJEMPLOS Y EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Los ejemplos, cuidadosamente seleccionados, habilitan a los estudiantes en la resolución de los ejercicios, y además sirven como modelos para sus soluciones. Se utiliza un ejemplo ilustrativo a fin de mostrar un concepto, definición o teorema particular; es un prototipo de la idea expuesta. PROGRAMA DE ARTE VISUAL (FIGURAS) Todas las figuras se han vuelto a trazar para- EC7. Las gráficas trazadas en la graficadora se muestran en una pantalla de graficadora enmarcada por un borde de color más oscu.ro a diferencia de las gráficas dibujadas a mano. Todas 1 PRÓLOGO xvii las figuras tridimensionales se han generado mediante computadora con el fin de obtener precisión matemática. Estas figuras, que son más vívidas que en las ediciones anteriores, fueron creadas con la ayuda de Matemática® y Adobe Illustrato!i-. ASPECTOS PEDAGÓGICOS Cada capítulo comienza con una introducción titulada VISIÓN PRELIMINAR. Al final de cada capítulo se muestra una lista de sugerencias para su revisión. Juntos, estos aspectos sirven como una reseña, de principio a fin del capítulo, cuando el estudiante se prepara para un examen. DESCRIPCIÓN DE CADA CAPÍTULO Capítulo 1 Funciones, límites y continuidad Los tres temas del título de este capítulo conforman la base de cualquier primer curso de Cálculo. Se exponen todos los teoremas de límites incluyendo algunas demostraciones en el texto, mientras que otras se esbozan en los ejercicios. La sección 1.3, nueva en esta edición, presenta las funciones como modelos matemáticos anticipadamente de su uso posterior en aplicaciones. En consecuencia, estos modelos proporcionan al estudiante una vista preliminar de cómo se aplica el Cálculo en situaciones reales. La sección 1.4, también nueva, utiliza la graficadora para introducir el concepto de límite de una función. Capítulo 2 Derivada y diferenciación En la sección 2.1 se define la recta tangente a la gráfica de una función antes de estudiar la derivada, esto con el propósito de mostrar un avance de la interpretación geométrica de este concepto. Las aplicaciones físicas de la derivada en el estudio del movimiento rectilíneo se presentan sólo después de haber demostrado los teoremas sobre diferenciación, de modo que dichos teoremas pueden emplearse en estas aplicaciones. En la sección 2. 7 se estudian las derivadas de las seis funciones trigonométricas y después se emplean como ejemplos para la presentación inicial de la regla de la cadena en la siguiente sección. La derivada numérica, tema nuevo en esta edición y presentado en la sección 2.3, se utiliza junto con la graficadora para aproximar derivadas y para trazar sus gráficas. En la sección 2.4 se simula el movimiento de una partícula sobre una línea recta. Capítulo 3 Comportamiento de las funciones y sus gráficas, valores extremos y aproximaciones En este capítulo se presentan las aplicaciones tradicionales de la derivada que implican máximos y mínimos así como el trazado de una curva. Los límites al infinito y sus aplicaciones para determinar asíntotas horizontales se han cambiado a este capítulo donde se aplican a fin de dibujar gráficas. La graficadora se utiliza frecuentemente con el objeto de apoyar los resultados obtenidos de forma analítica así como para conjelurar propiedades de las funciones, las cuales se confirman después analíticamente. Un aspecto nuevo de esta edición está relacionado con los ejercicios, donde se Je pide al estudiante que dibuje xviii PRÓLOGO la gráfica de una función a partir de la gráfica de su derivada y viceversa. En la sección final del capítulo se presenta la aproximación mediante la recta tangente junto con el método de Taylor y el de diferenciales. Capítulo 4 Integral definida e integración Las dos primeras secciones tratan sobre antiderivación (o antidiferenciación). Se utiliza el término antiderivación en lugar de integración indefinida, sin embargo, se conserva la notación estándar Íf(x) dx. Esta notación sugerirá que debe existir alguna relación entre integrales definidas y antiderivadas, pero no veo perjuicio alguno en lo anterior, en tanto la presentación proporcione un panorama teóricamente apropiado de la definición de la integral definida como un límite de sumas. Dichos límites se aplican primero para definir el área de una región plana y después se utilizan en la definición de la integral definida. La capacidad de la graficadora para aproximar el valor de una integral definida se presenta antes de la demostración del segundo teorema fundamental del Cálculo, utilizado para obtener valores de integrales analíticamente. Esta capacidad permite demostrar propiedades de la integral definida en una graficadora tal como se desarrollan. La sección 4.3, sobre ecuaciones diferenciales separables, presenta aplicaciones sobre el movimiento rec...
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  • Spring '16
  • RUBEN CARDENAS
  • The American, The Land, Integración, Volumen, Curva, Derivada, LIBRO CALCULO

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