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Unformatted text preview: RESISTENCIA DE MATERIALES ______________________________________________ Ph.D. Genner Villarreal Castro PREMIO NACIONAL ANR 2006, 2007, 2008 Lima – Perú 2015 1 PROLOGO La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y estabilidad a la capacidad de mantener su condición original de equilibrio. Por lo general, los textos base de Resistencia de Materiales, son muy voluminosos y, principalmente, se centran en la descripción teórica, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje a través de trabajos domiciliarios e investigación, conducentes a un mejor dominio de la materia. El presente libro nació, después de comprobar las grandes dificultades mostradas por los alumnos en la realización de sus trabajos domiciliarios. Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio individual, describiendo, para ello, la teoría en forma sucinta, seria y con el rigor científico, resolviendo en forma detallada 155 problemas tipo, propiciando de manera más amena la convivencia con la Resistencia de Materiales. En el presente libro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las universidades se analizan y que son muy importantes en la formación profesional de los ingenieros civiles. Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Mecánica de Materiales en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas y Resistencia de Materiales en la Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego. En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de su descripción teórica, como en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es una repetición de otros textos, editados anteriormente. El presente libro consta de 10 capítulos y bibliografía. En el primer capítulo se analizan estructuras determinadas e indeterminadas, sometidas a tracción y compresión, efectos de temperatura y errores de fabricación o montaje estructural. En el segundo capítulo se estudian los esfuerzos en los estados lineal, plano y espacial; así como la aplicación de la Ley de Hooke generalizada y las teorías o criterios de resistencia como forma de comprobación de destrucción de los materiales. En el tercer capítulo se analiza el efecto de torsión para estructuras determinadas e indeterminadas de sección circular y no circular; así como resortes helicoidales de paso pequeño. En el cuarto capítulo se analiza la flexión de vigas determinadas, calculando los esfuerzos normal y tangencial para vigas de uno y dos materiales, como es el caso de vigas de madera reforzadas con planchas de acero y vigas de concreto armado. En el quinto capítulo se calcula la pendiente y deflexión para vigas determinadas e indeterminadas por el método de la doble integración, método de los parámetros iniciales, método del área de momentos y método de la viga conjugada. En el sexto capítulo se estudian los métodos energéticos del trabajo virtual y teoremas de Castigliano, resolviendo armaduras, vigas, pórticos y arcos. En el sétimo capítulo se resuelven estructuras indeterminadas por la ecuación de los tres momentos para vigas continuas y método de las fuerzas para vigas continuas, pórticos y armaduras. 2 En el octavo capítulo se analizan los efectos de flexión desviada; flexión y carga axial; carga axial excéntrica; flexión, torsión y carga axial, comprobando la resistencia de los elementos estructurales sometidos a los efectos combinados. En el noveno capítulo se analiza la estabilidad de barras, sometidas a flexión longitudinal y el efecto combinado de flexión longitudinal y transversal. En el décimo capítulo se calculan los esfuerzos y deformaciones para estructuras sometidas a las cargas dinámicas de impacto. El presente texto está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y docentes que imparten los cursos de Resistencia de Materiales; así como a ingenieros civiles, postgraduandos e investigadores en el área de estructuras. Este libro se lo dedico a mis alumnos de Mecánica de Materiales de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas y Resistencia de Materiales de la Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego; quienes con sus consultas me motivaron a escribir el presente libro y con su energía renovada me permitieron culminar con éxito este trabajo. De manera muy especial, dedico el presente libro a mi cuñada Susana, por haber sido un digno ejemplo de lucha diaria por alcanzar los ideales familiares y desde lo alto, le pido siempre me guíe por el camino del éxito, para seguir aportando al desarrollo integral de la sociedad. Ph.D. Genner Villarreal Castro [email protected] Lima, Julio de 2015 3 CAPITULO 1 TRACCION Y COMPRESION 1.1 DEFINICIONES Y DEPENDENCIAS PRINCIPALES En la figura 1.1 se muestra un caso sencillo de tracción y en la figura 1.2 el caso de compresión. En tracción y compresión, las fuerzas internas son elásticas y surgen en las secciones transversales de las barras. Las fuerzas internas son conocidas como fuerzas axiales o normales y se los denota por Nx o N . P x L1 L L1 L a a a1 a1 P P Fig. 1.1 P P a L L1 a a1 L1 a1 L P Fig. 1.2 La fuerza axial N x se determina por medio del método de las secciones, por la cual numéricamente es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre el eje longitudinal (OX) de las fuerzas externas, ubicadas a un lado del corte (figura 1.3). Se considera que las fuerzas axiales son positivas en tracción y negativas en compresión. 4 P2 P1 X P3 = P2 P2 Nx = P1 + 2P2 cos P1 P3 = P2 Fig. 1.3 En las secciones transversales de las barras cargadas en tracción o compresión, solo surgen esfuerzos normales, los cuales se determinan por la fórmula 1.1. Nx A (1.1) Donde: A - área de la sección transversal de la barra Los signos para los esfuerzos normales son los mismos que para N x y las unidades de medida son kgf / cm 2 , lb / p lg 2 o N / m 2 . Al alargamiento relativo en tracción (o acortamiento relativo en compresión) de la barra, se le conoce como deformación longitudinal y se determina por la fórmula 1.2. L (1.2) Donde: (L1 L) - alargamiento o acortamiento absoluto de la barra L - longitud inicial de la barra L1 - longitud final de la barra A la deformación relativa de las dimensiones transversales de la barra, se le conoce como deformación transversal y se determina por la fórmula 1.3. ' a1 a a (1.3) Donde: a - ancho inicial de la barra a 1 - ancho final de la barra En tracción se considera que > 0 , en consecuencia < 0 y en compresión sucede lo opuesto. ' A las magnitudes y también se les conoce como deformaciones lineales. ' 5 A la relación entre y se le conoce como coeficiente de deformación transversal o coeficiente de ' Poisson y su valor es adimensional, calculándose por la fórmula 1.4. ' (1.4) El coeficiente de Poisson para materiales isótropos es 0 0,5 . Entre el esfuerzo normal y la deformación, existe una dependencia lineal, llamada Ley de Hooke y se lo determina por la fórmula 1.5. E (1.5) Donde: E - módulo de elasticidad longitudinal o módulo de elasticidad de primer género La unidad de medida de E es la misma que para el esfuerzo normal. El alargamiento o acortamiento absoluto, cuando A const y N x const , se determina por la fórmula 1.6. NxL EA (1.6) Cuando N x y A varían por la longitud de la barra o una de estas magnitudes, entonces el alargamiento o acortamiento absoluto se determina por la fórmula 1.7. N x dx EA x L (1.7) Para el caso de barras escalonadas o cuando la fuerza axial es constante en cada tramo analizado, se recomienda utilizar la fórmula 1.8, para determinar el alargamiento o acortamiento absoluto. in N x ,i L i i 1 EiAi (1.8) Cuando A y N x son constantes, la energía potencial de deformación se determina por la fórmula 1.9. N 2x L U 2EA (1.9) En el caso, que N x y A varíen a lo largo de la barra, entonces la energía potencial de deformación se determinará por la fórmula 1.10. N 2x dx 2EA x L U (1.10) Para el caso de barras escalonadas o cuando la fuerza axial es constante en cada tramo analizado, se recomienda utilizar la fórmula 1.11, para determinar la energía potencial de deformación. in N 2x ,i L i i 1 2E i A i U 6 (1.11) La condición de resistencia es: N máx A máx (1.12) Donde: máx - esfuerzo normal máximo en la sección más peligrosa N máx - fuerza axial máxima en la sección más peligrosa A - área de la sección transversal más peligrosa - esfuerzo normal permisible o admisible Cuando se trata de barras escalonadas, se recomienda analizar cada tramo, ya que el esfuerzo normal máximo puede surgir donde la fuerza axial no es máxima, pero el área la menor. Para determinar la fuerza axial permisible N o el área mínima requerida A min , se obtienen despejando dichos valores de la fórmula 1.12. 1.2 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS PROBLEMA 1.1 Una varilla de acero de 100cm de longitud y 5mm de diámetro está sometida a tracción y se mide que su alargamiento es 0,3mm y el incremento de volumen V 2,28mm . 3 Determinar el coeficiente de Poisson . Solución: Se sabe que para barras prismáticas se cumple: N x L PL EA EA Donde: P - carga de tracción a la que está sometida la varilla Reemplazamos valores y obtenemos: P.1 E. .5 2.10 6 4 0,3.10 3 De donde: P 5,89.10 9 E Luego, aplicamos la fórmula de variación de volumen: V Vo (1 2) E Donde: Vo - volumen inicial Reemplazamos valores: 2,28.10 9 A.L. 7 P (1 2) EA 2,28.10 9 1.5,89.10 9.(1 2) De donde: 0,306 PROBLEMA 1.2 Se diseñará un tirante de acero para resistir una fuerza de tracción de 50 toneladas, siendo la longitud del tirante 50 metros y la sección transversal rectangular con proporción de lados en relación 2/3. Considerar que el esfuerzo de fluencia del acero es y 4200kgf / cm , el factor 2 de seguridad n 2 , el módulo de elasticidad E 2,1.10 kgf / cm 6 2 y el coeficiente de Poisson 0,25 . Determinar las deformaciones longitudinal y transversal. Solución: Esquematizamos al tirante sometido a la fuerza de tracción y su sección transversal. SECCIÓN TRANSVERSAL P = 50T P 3a L = 50m 2a Fig. 1.4 Se sabe que: y n 4200 2100kgf / cm 2 2 Como, por condición de resistencia se debe de cumplir que: 50.10 3 2100 6a 2 De donde. a 1,99cm Asumimos: a 2cm En consecuencia, la sección transversal será: 6cm 4cm Fig. 1.5 8 Calculamos el alargamiento: PL 50.10 3.50.10 2 4,96cm EA 2,1.10 6.24 La deformación longitudinal será 4,96 9,92.10 4 2 L 50.10 La deformación transversal lo obtenemos a través de Poisson: ' ' 0,25.9,92.10 4 2,48.10 4 PROBLEMA 1.3 Se tiene la siguiente estructura, cuyo cimiento y sobrecimiento está construido con concreto ciclópeo, el muro de albañilería con ladrillo sólido macizo y la viga de concreto armado. Sabiendo que el peso de la estructura es de 9142kgf, determinar el radio “r” del agujero circular y la capacidad portante del terreno. MATERIAL PESO ESPECIFICO Concreto ciclópeo 2300 kgf/m3 Muro de albañilería sólido – macizo 1800 kgf/m3 Concreto armado 2400 kgf/m3 0,35 m 0.25 m VIGA 2m r 0,5 m SOBRECIMIENTO 0,8 m CIMIENTO 0,5 m 4m Fig. 1.6 9 Solución: Calculamos los pesos de cada parte de la estructura, conocido como metrado de cargas. En este caso se trata de la carga muerta, es decir, el peso propio de la estructura. Pcimiento c .A cimiento .h cimiento 2300.0,5.4.0,8 3680kgf Psobrecimiento 2300.0,5.4.0,25 1150kgf Pmuro 1800.0,25.(4.2 .r 2 ) 450.(8 .r 2 )kgf Pviga 2400.0,25.0,35.4 840kgf Sumamos todos los pesos y obtenemos: 3680 1150 450.(8 .r 2 ) 840 9142 r 0,3m Ahora, calculamos la capacidad portante del terreno, que viene a ser la resistencia mínima del suelo: qa P A contacto 9142 4571kgf / m 2 0,457kgf / cm 2 (SUELO FLEXIBLE) 4.0,5 PROBLEMA 1.4 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el acortamiento de la barra mostrada, si E 2.10 MPa y A 2cm . 5 2 B P3= 30KN A 0,4 m C P2= 20KN 0,4 m P1= 10KN D 0,2 m Fig. 1.7 Solución: 10 + N 10 (kN) 20 50 + 50 (MPa) 100 Fig. 1.8 Previamente graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos para cada tramo de la barra. 10 AB N AB 20.10 3 100MPa A AB 2.10 4 BC N BC 10.10 3 50MPa A BC 2.10 4 CD N CD 10.10 3 50MPa A CD 2.10 4 Luego, calculamos el acortamiento de la barra como una sumatoria, ya que las fuerzas axiales varían a lo largo de la misma. i 3 i 1 Ni Li 10.10 3.0,2 10.10 3.0,4 20.10 3.0,4 1,5.10 4 m 0,15mm 5 6 4 11 4 11 4 EA 2.10 .10 .2.10 2.10 .2.10 2.10 .2.10 El signo (-) corrobora que se trata de un acortamiento total de la barra. PROBLEMA 1.5 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el alargamiento total. Considerar E al 0,7.10 MPa , E c 10 MPa , E a 2.10 MPa. 5 5 5 ACERO N (kN) A3=4 cm2 (MPa) 150 60 1m A2=3 cm2 + 1m P2=20kN ALUMINIO COBRE P3=30kN A1=1 cm2 30 + 100 1m 10 P1 =10kN Fig. 1.9 Solución: Graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos en cada parte de la barra escalonada, por ser de áreas diferentes. al 10.10 3 100MPa 10 4 30.10 3 c 100MPa 3.10 4 a 60.10 3 150MPa 4.10 4 11 Luego, determinamos el alargamiento de la barra escalonada, analizando cada material por separado, en virtud de tener diferentes fuerzas axiales y material. 10.10 3.1 30.10 3.1 60.10 3.1 3,178.10 3 m 3,178mm 0,7.10 5.10 6.10 4 10 5.10 6.3.10 4 2.10 5.10 6.4.10 4 PROBLEMA 1.6 El cable de acero AB tiene un área A 5cm y sostiene a la viga CD. Determinar 2 el esfuerzo normal en el cable, así como su alargamiento y graficar el diagrama de fuerza axial para la viga CD. Considerar E 2.10 kgf / cm . 6 2 A D B 45º 1T m 0,5 C 1m 6T 25º 2m Fig. 1.10 Solución: Hacemos un corte en el cable AB y determinamos el equilibrio en la viga CD. PAB D 45º B 65º 1T 65º C 1m 25º 6T 0 ,5 m 1 ,5 m Fig. 1.11 M C 0 (6.sen65 )(1,5) (1.sen650 )(3) (PABsen 450 )(2) 0 0 De donde: PAB 7,69T (TRACCION) Luego, determinamos el esfuerzo en el cable: AB 7,69.10 3 1538kgf / cm 2 (TRACCION) 5 12 Ahora calculamos el alargamiento, para ello, utilizamos la ley de senos para determinar la longitud del cable AB. L AB 2 0 sen 65 sen 70 0 L AB 1,929m Luego: AB 7,69.10 3.1,929.100 0,148cm 2.10 6.5 A L AB 70º B 45º 2m 65º C Fig. 1.12 Posteriormente, graficamos el diagrama de fuerza axial o normal en la viga CD. N DB 1. cos 650 0,422T N BE 1. cos 650 7,69. cos 450 5,86T N EC 1. cos 650 7,69. cos 450 6. cos 650 8,396T D B E N (T ) C Fig. 1.13 PROBLEMA 1.7 La figura muestra un cartel publicitario rectangular de espesor constante, cuyo peso específico es "" y volumen " V" . Dicho cartel está sostenido por tres cables (1), (2) y (3) que tienen la misma área de sección transversal " A" y son del mismo material con módulo de elasticidad " E" . De las siguientes afirmaciones, diga cuales son verdaderas y justifique su respuesta: 13 a) El módulo de tracción en el cable (1) es V 3 b) El módulo de tracción en el cable (3) es 2V cos 3(cos sen cos sen) VLtg 6EA c) La deformación longitudinal en el cable (1) es (2) (1) (3) 3L/4 L/4 Fig. 1.14 Solución: Efectuamos un corte y analizamos su equilibrio: P1 C P2 P3 D L/2 P=V L/4 L/4 Fig. 1.15 a) M D 0 3L L P1 V 0 4 4 P1 14 V (VERDADERO) 3 b) F x 0 P3 cos P2 cos P2 P3 F y 0 cos cos P1 P2 sen P3sen V V cos P3 sen P3sen V 3 cos P3 2V cos (VERDADERO) 3(cos sen cos sen) c) Calculamos el alargamiento del cable (1): V Ltg . P1 L1 3 4 VLtg (FALSO) 1 EA EA 12EA Siendo: tg L1 L/4 L1 Ltg 4 L1 L/4 Fig. 1.16 PROBLEMA 1.8 Determinar el alargamiento de la barra, si es de espesor constante t 0,4cm y su ancho varía de 2cm en la parte inferior hasta 4cm en la parte superior. Considerar E 2.10 6 kgf / cm 2 . 4cm t=0,4cm 2m 2cm P P=1T Fig. 1.17 15 Solución: A una distancia x del extremo libre, se tendrá: 4cm m 2 m bx x 2cm Fig. 1.18 x x b x 2 2m 2 2 2 100 200 Siendo: m 1 x 200 m x 200 Luego, su área de sección transversal será: x x Ax bx t 2 0,8 0,004x .0,4 0,8 100 250 De esta manera, el alargamiento se obtendrá como una integración: L 0 N x dx 200 10 3 dx ln 2 0,0866cm 0,866mm 6 EA x 8 2 . 10 ( 0 , 8 0 , 004 x ) 0 PROBLEMA 1.9 Determinar el desplazamiento del nudo D, si los módulos de elasticidad del acero y cobre son E a 2.10 kgf / cm , E c 10 kgf / cm . 2 6 2 ACERO 1,6m E BR CO A 2=2 cm 2 1 =4 A 25º 25º 2 B m 4c A1= cm 2 A 1,5 CO m BR E 6 C D P=2T Fig. 1.19 16 Solución: Por ser la estructura simétrica, las reacciones en B y C son iguales a 1T. Analizamos el equilibrio del nudo B de la estructura: P1 65º B 1T Fig. 1.20 F Y 0 P1sen650 1 De donde: P1 1,103T (COMPRESION) Ahora, analizamos el diagrama de desplazamientos, sin considerar la barra AD. A 1 25º 25º 1 A A´ Fig. 1.21 1 P1L1 1,103.10 3.1,5.100 0,0413cm (ACORTAMIENTO) E c A1 10 6.4 De la relación de triángulos, se tendrá: A cos 250 1 A 0,0455cm Luego: D A 2 0,0455 2.10 3.1,6.10 2 0,1255cm 0,126cm 2.10 6.2 PROBLEMA 1.10 Una barra uniforme AB de longitud “L” se suspende en una posición horizontal, mediante dos cables verticales fijos a sus extremos. Ambos cables están hechos del mismo material y tienen la misma área de sección transversal, pero las longitudes son L1 y L2. Obtenga una fórmula para la distancia “x” (desde el extremo A) al punto sobre la barra donde debe de aplicarse una carga “P”, para que la barra permanezca horizontal. 17 D C L2 L1 A B x P L Fig. 1.22 Solución: Ejecutamos un corte en las barras AC y BD y analizamos su equilibrio: P1 P2 A B x P L Fig. 1.23 F 0 M 0 y A P1 P2 P Px P2 L x P2 L P Por dato del problema AC BD De donde: P1 L1 P2 L 2 EA EA P1 P2 L 2 L1 Reemplazamos en la primera ecuación de equilibrio: P2 L 2 P2 P L1 De donde: P2 PL1 L1 L 2 Luego: 18 x LL1 L1 L 2 PROBLEMA 1.11 Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo B del sistema estructural mostrado en la figura, debido a la fuerza P 400lb , si el miembro AB es una cable de acero (E a 30.10 psi) de 0,125plg de diámetro y el miembro BC es un puntal de madera 6 (E m 1,5.10 6 psi) de sección transversal cuadrada de 1plg de lado. 3pie B A P=400lb 4pie C Fig. 1.24 Solución: Analizamos el equilibrio del nudo B. Pab B 53º Pbc P=400lb Fig. 1.25 F y 0 Pbcsen53o 400 Pbc 500lb (COMPRESION) F x 0 Pab 500 cos 53o Pab 300lb (TRACCION) En consecuencia: ab Pab L ab E ab A ab 300.3.12 0,0293p lg (ALARGAMIENTO) 6 2 30.10 . .0,125 4 19 bc Pbc L bc 500.5.12 0,02p lg (ACORTAMIENTO) E bc A bc 1,5.10 6.12 Por lo tanto, el diagrama de desplazamiento del nudo B será: ab B B1 bc 53º B2 B3 37º B4 B´ Fig. 1.26 BH ab 0,0293p lg BV bcsen53o bc cos 53o ab 0,02.0,6 0,0293 0,02.0,8 0,0470p lg o 4/3 ctg37 PROBLEMA 1.12 Dos barras AC y BC del mismo material se unen para formar un sistema estructural, como se muestra en la figura. La barra AC tiene una longitud L1 y área de sección transversal A1; la barra BC tiene una longitud L2 y área de sección transversal A2. Las cargas P1 y P2 actúan en el nudo C en las direcciones de los miembros AC y BC, respectivamente. ¿Cuál debe ser la relación P1/P2 de las cargas para que el nudo C no presente deflexión vertical? A L1 B C L2 Fig. 1.27 Solución: Si analizamos el equilibrio del nudo C obtenemos: Pac P1 (TRACCION) 20 P2 P1 Pbc P2 (TRACCION) Luego: ac P1 L1 (ALARGAMIENTO) EA 1 bc P2 L 2 (ALARGAMIENTO) EA 2 En consecuencia, el diagrama ficticio de desplazamiento será: C3 C C2 ac C4 C´ C1 Fig. 1.28 Por dato del problema: CV 0 ac sen bc ac cos 0 tg ac sen.tg bc ac cos ac (sen.tg cos ) bc 2 2 P1 L1 L1 L 2 EA 1 L1 L21 L22 L2 L2 L1 PL 2 2 EA 2 P1 L1 L21 L22 L 2 P2 L 2 A1 L1 L 2 L1 A2 P1 L1 L21 L22 L22 P2 L 2 A1 L1 L 2 A2 De donde se obtiene: P1 A1 L22 P2 A 2 L21 21 comp 900kgf / cm 2 . PROBLEMA 1.13 Determinar el espesor de la pared del tubo, si P=80 T D=300mm t d Fig. 1.29 Solución: Se sabe que: N comp A Reemplazamos valores y obtenemos: 80.10 3 2 30 d 2 4 900 Efectuando cálculo tenemos: d 28,04cm Luego: d máx 28,04cm Entonces, el espesor de pared del tubo será: 22 t D d 30 28,04 0,98cm 2 2 PROBLEMA 1.14 Determinar el diámetro del cable, si el esfuerzo de f...
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