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Unformatted text preview: ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO Licenciatura em Engenharia Informática Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas Colectânea de Exercícios Resolvidos Prof. Doutor João Canto (1) Prof. Doutor Marko Beko (1) Janeiro de 2012 Prefácio 1 Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML; (ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das aulas teóricas (doravante definidos como AT). Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos, da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação x n representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao conjunto dos números inteiros), e x t um sinal definido no tempo contínuo (onde t pertence ao conjunto dos números reais). Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem como o estudo dos livros referenciados na bibliografia. 1 Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior Técnico 3 4 Índice Prefácio .......................................................................................................................... 3 Índice............................................................................................................................... 5 Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos ............................. 11 Problema 1.1. (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos. .................................................................................................................................... 11 Problema 1.2. (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais. .......................................................................................................................... 14 Problema 1.3. (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, x n e y n , tais que ... 17 Problema 1.4. (HSU 1.23) O sinal discreto x n está desenhado na Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais. .................................................................. 21 Problema 1.5. (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 24 Problema 1.6. (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 25 Problema 1.7. (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ......................................... 26 Problema 1.8. (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 29 Problema 1.9. Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam calcule o seu período. ................................................................................................. 34 Problema 1.10. (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 36 Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39 Problema 2.1. (HSU 2.30) Avalie y n h n x n , onde x n e h n estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. ................................................................... 39 Problema 2.2. (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional h n nu n para 0 1 e o sinal de entrada x n u n . Determine a resposta do sistema através de: (a) y n x n h n ; (b) y n h n x n . .... 45 Problema 2.3. (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema LIT é dada por: yu n nu n para 0 1 . Determine a resposta impulsional do sistema. ....................................................................................................................... 50 Problema 2.4. (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: h n nu n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade. ............................................................................................................... 51 5 Problema 2.5. (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: h n 1 2 u n . n Calcule y 1 e y 4 para o sinal de entrada x n 2 n n 3 . ........................................................................................... 53 Problema 2.6. (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta impulsional: h n 2n u n 4 . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada x n 2 n 4 n 1 . ......................................................................................... 54 Problema 2.7. (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário é dada por: .................................................................................................................. 56 Capítulo 3. Transformada Z ........................................................................................ 59 Problema 3.1. (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) x n u n ; b) x n n . ......................................................................................................... 59 Problema 3.2. (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal x n e j0nu n . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência...... 63 Problema 3.3. (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte sinal x n n ........................................................................................................... 65 Problema 3.4. (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 66 Problema 3.5. (AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de........................ 71 Problema 3.6. (HSU 4.19a) Calcule a transformada inversa de ................................. 75 Problema 3.7. (HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ............................. 77 Problema 3.8. (HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 81 Problema 3.9. (HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 84 Problema 3.10. (HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 86 Problema 3.11. (HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 88 Problema 3.12. (HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 90 Problema 3.13. (HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de x n para cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema: ...................... 93 Problema 3.14. (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às diferenças .................................................................................................................... 95 Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos ........................... 97 Problema 4.1. Seja ...................................................................................................... 97 Problema 4.2. Seja ...................................................................................................... 98 Problema 4.3. Seja ...................................................................................................... 99 Problema 4.4. Sejam ................................................................................................. 100 Problema 4.5. Sabe-se que........................................................................................ 103 Problema 4.6. (IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ............... 104 6 Problema 4.7. (IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Escreva a expressão que os relaciona. ...................................................................... 105 Problema 4.8. (IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinal representado na Figura 4.8. ...................................................................................... 106 Problema 4.9. (IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por .................. 108 Problema 4.10. (IML 1.9) Seja x t um sinal contínuo considere-se ..................... 109 Problema 4.11. (IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos. Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ................................... 111 Problema 4.12. (IML 1.12) Determine o período fundamental de ........................... 112 Problema 4.13. (IML 1.13) Seja ............................................................................... 113 Problema 4.14. (IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ..................................... 114 Problema 4.15. (IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117 Problema 4.16. (IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120 Problema 4.17. (IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ..... 123 Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos ... 127 Problema 5.1. (IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada por ............................................................................................................................. 127 Problema 5.2. (AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC .................... 130 Problema 5.3. (HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada por ............................................................................................................................. 133 Problema 5.4. (IML 2.13) Considere o seguinte sistema ......................................... 136 Problema 5.5. (IML 2.19) Seja ................................................................................. 139 Capítulo 6. Transformada de Laplace ...................................................................... 141 Problema 6.1. (AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal: x t eat u t ....................................................................................................... 141 Problema 6.2. Determine a transformada de Laplace do sinal ................................. 147 Problema 6.3. (AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal: x t e j0t u t . ........................................................................................................ 148 Problema 6.4. (HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal: x t e2t u t e3t u t . ........................................................................................ 149 Problema 6.5. (IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo, x t , cuja transformada de Laplace é: ............................................................................................................. 150 Problema 6.6. (IML 3.3a,d) Seja .............................................................................. 154 Problema 6.7. (IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função de transferência de um SLIT. ........................................................................................ 155 Problema 6.8. (IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros se representa na Figura 6.5 . ......................................................................................... 158 7 Problema 6.9. (IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITs cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta. ............ 162 Problema 6.10. (HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordem .................................................................................................................................. 164 Problema 6.11. (IML 3.10) Seja ............................................................................... 166 Problema 6.12. (IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equação diferencial de coeficientes constantes....................................................................... 170 Capítulo 7. Transformada de Fourier ...................................................................... 177 Problema 7.1. (IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma das seguintes funções no tempo: ..................................................................................... 177 Problema 7.2. Encontre x t , sabendo que.............................................................. 183 Problema 7.3. Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintes sinais ......................................................................................................................... 185 Problema 7.4. Calcular x t sabendo que ............................................................... 189 Problema 7.5. (IML 3.31) Considere o sinal x t cujo espectro de frequência está representado na Figura 7.3 ....................................................................................... 191 Problema 7.6. (IML 3.32) Sejam x t e y t , respectivamente, os sinais de entrada e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equação:...................................................................................................... 193 Problema 7.7. (IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ........ 194 Problema 7.8. (IML 3.34) Seja ................................................................................. 195 Anexo A. Fundamentos Matemáticos ....................................................................... 197 A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ........................................................ 197 A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ............................................ 199 A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ......................................... 202 A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas ................................................................. 203 A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu módulo, inverso e conjugado. ................................................................................... 205 A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo............................ 208 A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana. ..................... 211 A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ............................................... 213 A.9. Calcule as seguintes expressões........................................................................ 215 A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ..................................... 218 Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2......................................................... 219 B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ....................... 219 B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais. ......................... 223 Anexo C. Testes Resolvidos ....................................................................................... 227 8 C.1. Processamento de Sinal: Teste 1. ...................................................................... 227 C.2. Processamento de Sinal: Teste 2. ...................................................................... 237 C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1. ................................................................................ 243 C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2. ................................................................................ 250 Anexo D. Formulários ................................................................................................ 259 D.1. Formulário para processamento de sinal. ......................................................... 259 D.2. Formulário para sinais e sistemas. .................................................................... 263 9 10 Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos Problema 1.1. (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos. Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições respectivas dos sinais pares e ímpares x n x n , (1.1) x n x n . (1.2) 1 ; n0 a) x n n 0 ; n 0 Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2) , ou seja, é necessário calcular x n e verificar se este se relaciona com x n , através de uma relação de paridade. Directamente da definição de x n e (1.2) obtém-se 1 ; n 0 x n n x n . 0 ; n 0 (1.3) O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 1.1a. 1 n 2 b) x n 3 0 2 ;n0 ;n0 Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 11 2 1 n 1 n ; n 0 2 ; n 0 2 x n 3 3 x n . ; n 0 ; n 0 0 0 2 (1.4) O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b. 3 n 1 ; n 0 c) x n ;n0 0 Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 3 n 1 ; n 0 . x n ; n 0 0 (1.5) O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, como pode ser observado pela Figura 1.1c. 4 1n ; n 0 d) x n ;n0 0 Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 1 n 4 1 n ; n 0 4 n ; n 0 4 1 ; n 0 1 x n x n . ;n0 ; n 0 0 ;n0 0 0 (1.6) O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d. 12 a b c d Figura 1.1. Representação de x n . 13 Problema 1.2. (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais. Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário considerar as seguintes definições 1 x p n x n x n , 2 (1.7) 1 xi n x n x n , 2 (1.8) que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos 1 1 x p n x n x n x n x n x p n , 2 2 (1.9) 1 1 1 xi n x n x n x n x n x n x n xi n . (1.10) 2 2 2 c) x n e j0n 2 O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em x n e j 0n 2 cos 0n j sin 0n . 2 2 (1.11) Através do círculo trigonométrico é possível identificar cos x sin x , sin x cos x , 2 2 (1.12) que aplicado em (A.67) permite obter x n sin 0n j cos 0n . (1.13) A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas: i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma 14 x n xi n x p n , (1.14) xi n sin 0n , (1.15) x p n j cos 0n , (1.16) onde são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal. ii) Pela definição (1.7) podemos então obter 1 x p sin 0n j cos 0n sin n0 j cos n0 . 2 (1.17) Finalmente, considerando o...
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  • Spring '18
  • AT Ex, LIT causal

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