Ejercicios_Lagrangiano.pdf - CAPITULO 1 ECUACIONES DE...

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48CAP´ITULO 1.ECUACIONES DE MOVIMIENTOPor ejemplo, consideremos una part´ıcula en un plano. Las ecuaciones de Lagrangepara la part´ıcula en coordenadas cartesianas{qi}={x, y}tienen la misma forma que lascorrespondientes ecuaciones en coordenadas polares{Qi}={r,'}, donde las relacionesqi=qi(Qj, t) sonx=rcos'y=rsin'.1.6.Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para variossistemas.1. P´endulo simple.Figura 1.34: Coordenada generalizadapara el p´endulo simple.Vimos que la coordenada generalizada es el ´angulo. Entonces,x=lsin,˙x=l˙cosy=-lcos,˙y=l˙sinExpresamosTyVen funci´on dey˙,T=12mv2=12m( ˙x2+ ˙y2) =12ml2˙2.(1.204)V=mgy=-mglcos.(1.205)Entonces, el Lagrangiano esL=T-V=12ml2˙2+mglcos.(1.206)La ecuaci´on de Lagrange paraesddt@L@˙-@L@✓= 0(1.207)
1.6.EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.49Calculamos los t´erminos@L@✓=-mglsin,@L@˙=ml2˙,ddt@L@˙=ml2¨.(1.208)Luego, la ecuaci´on de Lagrange queda comoml2¨+mglsin= 0,(1.209)¨+glsin(1.210)que es la conocida ecuaci´on del p´endulo simple.2. Oscilador arm´onico.Figura 1.35: Oscilador arm´onico simple.Usando la coordenada generalizadax, tenemosT=12m˙x2,V=12kx2,(1.211)L=T-V=12m˙x2-12kx2.(1.212)La ecuaci´on de Lagrange paraxesddt@L@˙x-@L@x= 0.(1.213)Calculamos@L@˙x=m˙x;@L@x=-kx.(1.214)Luego, obtenemosm¨x+kx= 0,¨x+!2x= 0,(1.215)donde!2k/m.3. Part´ıcula libre.La condici´on de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la part´ıcula,F=-rV= 0. Luego,V= constante para una part´ıcula libre.
50CAP´ITULO 1.ECUACIONES DE MOVIMIENTOa) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas esL=T=12m( ˙x2+ ˙y2+ ˙z2).(1.216)Las ecuaciones de Lagrangeddt@L@˙xi-@L@xi= 0,i= 1,2,3,(1.217)conducen a@L@˙xi=m˙xi= constante,(1.218)que expresan la conservaci´on de la componenteidel momento lineal de la part´ıcula.b) Lagrangiano en coordenadas esf´ericas.Figura 1.36: Coordenadas esf´ericas para una part´ıcula.Las coordenadas se expresan comox=rsincos'y=rsinsin'z=rcos.(1.219)Las velocidades son˙x=˙rsincos'+r˙coscos'-r˙'sinsin'˙y=˙rsinsin'+r˙cossin'+r˙'sincos'˙z=˙rcos-r˙sin.(1.220)Substituci´on enLdaL=12m( ˙r2+r2˙2+r2˙'2sin2).(1.221)
1.6.EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.514. Part´ıcula movi´endose sobre un cono invertido.Figura 1.37: Part´ıcula sobre un cono invertido.Coordenadas generalizadas sonq1='yq2=r. Entonces,x=rcos'y=rsin'z=rcot.(1.222)Las velocidades correspondientes son˙x=˙rcos'-r˙'sin'˙y=˙rsin'+r˙'cos'˙z=˙rcot.

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