intalgebra_lna.pdf - LENIMAR NUNES DE ANDRADE A ` ALGEBRA...

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Unformatted text preview: LENIMAR NUNES DE ANDRADE ˜ A ` ALGEBRA: ´ INTRODUC¸AO ˜ QUESTOES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1a edic¸a˜ o ISBN 978-85-917238-0-5 Jo˜ao Pessoa Edic¸a˜ o do Autor 2014 Pref´acio ´ Este texto foi elaborado para a disciplina “Introduc¸a˜ o a` Algebra” que passou a ser ministrada na UAB/UFPB a partir de 2010. E´ um complemento de outro texto que contenha o desenvolvimento detalhado da teoria. Dedica-se principalmente a alunos dos cursos de Licenciatura ou Bacharelado em Matem´atica, F´ısica, Qu´ımica ou Engenha El´etrica (Telecomunicac¸o˜ es). No in´ıcio, fazemos um pequeno resumo dos assuntos vistos ao longo do semestre: operac¸o˜ es bin´arias, grupos, an´eis, corpos e polinˆomios. Depois, iniciamos a resoluc¸a˜ o de v´arios exerc´ıcios relacionados com os esses temas para ajudar na fixac¸a˜ o do conte´udo. No final, s˜ao apresentados alguns testes do tipo m´ultipla escolha. E´ importante observar que os exerc´ıcios foram colocados em ordem crescente de dificuldade. Os que iniciam com “A” (Ex.: A1, A2, etc.) s˜ao os mais f´aceis, os que iniciam com “B” (Ex.: B1, B2, etc.) s˜ao os “m´edios” e os que iniciam com “C” s˜ao os mais dif´ıceis. Jo˜ao Pessoa, 8 de janeiro de 2014 Lenimar Nunes de Andrade i Sum´ario 1 Resumo da teoria 1.1 Operac¸o˜ es bin´arias . . . . 1.2 Grupos . . . . . . . . . . . 1.3 Homomorfismo de grupos 1.4 Grupos c´ıclicos . . . . . . 1.5 Principais proposic¸o˜ es . . 1.6 An´eis . . . . . . . . . . . 1.7 Corpos . . . . . . . . . . . 1.8 Homomorfismos de an´eis . 1.9 An´eis-quocientes . . . . . 1.10 Polinˆomios . . . . . . . . 1.11 Grau de um polinˆomio . . 1.12 Notac¸a˜ o usual . . . . . . . 1.13 Polinˆomios irredut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 6 9 11 12 15 16 18 20 21 22 26 2 Operac¸o˜ es bin´arias 28 3 Grupos e subgrupos 38 4 Homomorfismos, isomorfismos, grupos c´ıclicos 48 5 Classes laterais, subgrupos normais, grupos-quocientes 58 6 An´eis, suban´eis, an´eis de integridade, corpos 64 7 Homomorfismos de an´eis, ideais, an´eis-quocientes 74 8 Polinˆomios 82 9 Exerc´ıcios de revis˜ao 92 10 Testes 100 10.1 Operac¸o˜ es bin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.2 Grupos e subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 ii 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Homomorfismos, isomorfismos, grupos c´ıclicos . . . . Classes laterais, subgrupos normais, grupos quocientes An´eis, suban´eis, an´eis de integridade, corpos . . . . . . Homomorfismos e isomorfismos de an´eis . . . . . . . Ideais e an´eis-quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . Polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 113 116 119 122 124 Cap´ıtulo 1 Resumo da teoria 1.1 Operac¸o˜ es bin´arias Uma operac¸a˜ o bin´aria ∗ (ou simplesmente uma operac¸a˜ o ∗) sobre um conjunto A , ∅ e´ uma func¸a˜ o de A × A em A que associa a cada par (x, y) ∈ A × A um u´ nico elemento de A que e´ denotado por x ∗ y. Comutatividade Uma operac¸a˜ o ∗ sobre A e´ comutativa quando x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ A Exemplos • A adic¸a˜ o de inteiros e´ comutativa, ou seja, x + y = y + x, ∀x, y ∈ š. • A multiplicac¸a˜ o de inteiros tamb´em e´ comutativa, ou seja, x·y = y· x, ∀x, y ∈ š. • A multiplicac¸a˜ o de matrizes n˜ao e´ uma operac¸a˜ o comutativa, isto e´ , existem matrizes A e B tais que AB , BA. 1 • A composic¸a˜ o de func¸o˜ es tamb´em n˜ao e´ uma operac¸a˜ o comutativa, isto e´ , existem func¸o˜ es f e g tais que f ◦ g , g ◦ f . Associatividade Uma operac¸a˜ o ∗ sobre A e´ associativa quando x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ∀x, y, z ∈ A Exemplos • A adic¸a˜ o de n´umeros reais e´ associativa, ou seja, x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ ’. • A multiplicac¸a˜ o de n´umeros reais e´ associativa, ou seja, x · (y · z) = (x · y) · z, ∀x, y, z ∈ ’. • A subtrac¸a˜ o de n´umeros reais n˜ao e´ uma operac¸a˜ o associativa. Por exemplo, 5 − (2 − 1) = 5 − 1 = 4 e (5 − 2) − 1 = 3 − 1 = 2 de onde temos que 5 − (2 − 1) , (5 − 2) − 1. Elemento neutro Um elemento e ∈ A e´ denominado elemento neutro para a operac¸a˜ o ∗ sobre A quando x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ A Exemplos • O 0 (zero) e´ o elemento neutro da adic¸a˜ o de inteiros. • O 1 (um) e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜ o de inteiros. • A matriz identidade n × n e´ o elemento neutro da operac¸a˜ o de multiplicac¸a˜ o de matrizes n × n. • A operac¸a˜ o de potenciac¸a˜ o x ∗ y = xy definida sobre os inteiros positivos n˜ao tem elemento neutro. Elemento inverso Se uma operac¸a˜ o ∗ sobre A possuir elemento neutro e, ent˜ao um elemento x ∈ A e´ denominado invert´ıvel (ou simetriz´avel) quando existir x−1 ∈ A tal que x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e 2 Exemplos • Todo x ∈ š possui um inverso com relac¸a˜ o a` operac¸a˜ o de adic¸a˜ o de inteiros: e´ o inteiro −x. Por exemplo, o inverso (aditivo) de 3 e´ o −3. • Na multiplicac¸a˜ o usual dos n´umeros racionais, todo x = qp ∈ ‘ possui um inverso (multiplicativo) que e´ o elemento x−1 = qp , com excec¸a˜ o apenas do 0 (zero) que n˜ao tem inverso com relac¸a˜ o a` multiplicac¸a˜ o. Distributividade Sejam ∗ e ⊕ duas operac¸o˜ es definidas sobre um conjunto A , ∅. Dizemos que ∗ e´ distributiva com relac¸a˜ o a ⊕ quando x ∗ (y ⊕ z) = x ∗ y ⊕ x ∗ z, ∀x, y, z ∈ A e (x ⊕ y) ∗ z = x ∗ z ⊕ y ∗ z, ∀x, y, z ∈ A. Exemplo No conjunto dos n´umeros inteiros, a multiplicac¸a˜ o e´ distributiva com relac¸a˜ o a` adic¸a˜ o porque: • x · (y + z) = x · y + x · z • (x + y) · z = x · z + y · z para quaisquer x, y, z ∈ š. Parte fechada Consideremos um conjunto A , ∅, X , ∅ um subconjunto de A e ∗ uma operac¸a˜ o definida sobre A. Dizemos que X e´ parte fechada de A com relac¸a˜ o a` operac¸a˜ o ∗ quando ∀x, y ∈ X ⇒ x ∗ y ∈ X. 3 T´abua de uma operac¸a˜ o A t´abua de uma operac¸a˜ o ∗ definida sobre um conjunto finito A = {a1 , a2 , · · · , an } e´ uma tabela onde o resultado da operac¸a˜ o ai ∗ a j e´ colocado na i-´esima linha e je´ sima coluna. ∗ a1 a2 a3 a4 a5 1.2 a1 a1 ∗ a1 a2 ∗ a1 a3 ∗ a1 a4 ∗ a1 a5 ∗ a1 a2 a1 ∗ a2 a2 ∗ a2 a3 ∗ a2 a4 ∗ a2 a5 ∗ a2 a3 a1 ∗ a3 a2 ∗ a3 a3 ∗ a3 a4 ∗ a3 a5 ∗ a3 a4 a1 ∗ a4 a2 ∗ a4 a3 ∗ a4 a4 ∗ a4 a5 ∗ a4 a5 a1 ∗ a5 a2 ∗ a5 a3 ∗ a5 a4 ∗ a5 a5 ∗ a5 Grupos Um grupo e´ um conjunto G , ∅ no qual est´a definida uma operac¸a˜ o ∗ que satisfaz a` s seguintes propriedades: • ∗ e´ associativa, ou seja, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, ∀x, y, z ∈ G • ∗ admite elemento neutro, ou seja, ∃e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ G • Para cada elemento x ∈ G, ∃x−1 ∈ G tal que x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e Al´em disso, se ∗ for comutativa, ent˜ao o grupo G e´ denominado comutativo ou abeliano. Exemplos • O conjunto dos inteiros š com a adic¸a˜ o usual e´ um grupo. • O conjunto dos n´umeros reais n˜ao nulos ’∗ com a operac¸a˜ o de multiplicac¸a˜ o usual e´ um grupo. Grupos de permutac¸o˜ es Sejam E um conjunto n˜ao vazio e S E o conjunto de todas as func¸o˜ es bijetoras f : E −→ E. Com a operac¸a˜ o ◦ de composic¸a˜ o de func¸o˜ es, (S E , ◦) e´ um grupo denominado grupo de permutac¸o˜ es sobre E. 4 Notac¸a˜ o Em particular, quando E = {1, 2, · · · , n}, onde n e´ um inteiro positivo fixado, S E e´ denotado por S n . Se f : E −→ E for tal que f (i) = ai , para todo i ∈ E, ent˜ao f costuma ser denotada na forma ( ) 1 2 3 ··· n f = a1 a2 a3 · · · an O total de func¸o˜ es que podem ser constru´ıdas dessa forma e´ de n!. Exemplo ( Sejam E = {1, 2, 3} e σ, ρ ∈ S 3 definidas por σ = ( ) 1 2 3 Ent˜ao ρ ◦ σ = ρσ = . 2 1 3 1 2 3 3 1 2 ) ( eρ= ) 1 2 3 . 1 3 2 Grupos de classes de restos ¯ 1, ¯ · · · , n − 1}, onde a¯ = {a+kn | k ∈ š}, ∀a ∈ š. Sejam n > 1 um inteiro e šn = {0, O conjunto šn e´ denominado conjunto das classes de restos m´odulo n. Definindo-se a seguinte operac¸a˜ o de adic¸a˜ o sobre šn x¯ + y¯ = x + y, ent˜ao (šn , +) e´ um grupo abeliano. 5 Exemplo Escolhendo n = 5, temos que em š5 s˜ao v´alidas as igualdades: ¯ 2¯ + 2¯ = 4, ¯ 0¯ + 3¯ = 3¯ • 1¯ + 2¯ = 3, ¯ 4¯ + 3¯ = 2, ¯ 3¯ + 3¯ = 1¯ • 2¯ + 3¯ = 0, Subgrupos Seja (G, ∗) um grupo. Um subconjunto n˜ao vazio H ⊂ G que seja fechado com relac¸a˜ o a` operac¸a˜ o ∗ e´ denominado um subgrupo de G quando (H, ∗) tamb´em for um grupo. Exemplos • H = (‘, +) e´ um subgrupo de G = (’, +) • O conjunto H dos inteiros pares com a operac¸a˜ o de adic¸a˜ o usual e´ um subgrupo de G = (š, +). • O conjunto H = (’∗+ , ·) dos n´umeros reais positivos com a operac¸a˜ o de multiplicac¸a˜ o usual e´ um subgrupo de G = (’∗ , ·) • O conjunto N = (’∗− , ·) dos reais negativos com a multiplicac¸a˜ o n˜ao e´ subgrupo de G = (’∗ , ·), porque N n˜ao e´ fechado com relac¸a˜ o a` multiplicac¸a˜ o. 1.3 Homomorfismo de grupos Uma func¸a˜ o f de um grupo (G, ∗) em um grupo (J, ∆) chama-se um homomorfismo quando f (x ∗ y) = f (x)∆ f (y), ∀x, y ∈ G. 6 Exemplos • Se G = J = (š, +), ent˜ao f : G −→ J, f (x) = 2x e´ um homomorfismo de grupos porque f (x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ G. • Se G = (‘∗ , ·) e J = (’∗ , ·), ent˜ao f : ‘ −→ ’, f (x) = x2 e´ um homomorfismo de grupos porque f (x · y) = (x · y)2 = x2 · y2 = f (x) · f (y), ∀x, y ∈ ‘. • Sejam G = (’ × ’, +), J = (’∗ , ·) e g : ’ × ’ −→ ’∗ , g(x, y) = 2 x−y . Para quaisquer (a, b), (c, d) ∈ ’ × ’, temos que: g((a, b) + (c, d)) = g(a + c, b + d) = 2(a+c)−(b+d) = 2(a−b)+(c−d) = 2a−b · 2c−d = g(a, b) · g(c, d). Logo, g e´ um homomorfismo de G em J. ´ Nucleo de um homomorfismo ´ Se f : G → J for um homomorfismo de grupos, o nucleo de f , denotado por N( f ), e´ o conjunto de todos os elementos do dom´ınio G cujas imagens atrav´es de f s˜ao iguais ao elemento neutro de J: N( f ) = {x ∈ G | f (x) = e J } Exemplos Vamos determinar o n´ucleo de cada um dos homomorfismos dos exemplos anteriores. • Seja f : (š, +) −→ (’, +), f (x) = 2x. O elemento neutro do contradom´ınio de f e´ o 0 (zero). Se x ∈ N( f ), ent˜ao f (x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0. Logo, o n´ucleo de f e´ formado apenas pelo 0 (zero), isto e´ , N( f ) = {0}. 7 • Sejam G = (‘∗ , ·), J = (’∗ , ·), f : G −→ J, f (x) = x2 . O elemento neutro de J e´ o 1 (um). Se x ∈ N( f ), ent˜ao devemos ter f (x) = 1, ou seja, x2 = 1 ⇒ x = ±1. Logo, N( f ) = {−1, 1}. • Sejam G = (’ × ’, +), J = (’∗ , ·), g : ’ × ’ −→ ’∗ , g(x, y) = 2 x−y . Se (x, y) ∈ N(g), ent˜ao g(x, y) = 1 = elemento neutro de J ⇒ 2 x−y = 1 ⇒ 2 x−y = 20 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y. Logo, N(g) = {(x, y) ∈ ’ × ’ | x = y} = {(x, x) | x ∈ ’}. Isomorfismo de grupos Um isomorfismo de um grupo G em um grupo J e´ um homomorfismo de G em J que tamb´em e´ uma func¸a˜ o bijetora. Se existir um isomorfismo de G em J ent˜ao dizemos que G e J s˜ao isomorfos e denotamos isso por G ≃ J. Exemplo A func¸a˜ o f (x) = log(x) e´ um isomorfismo de G = (’∗+ , ·) em J = (’, +) porque: • f : ’∗+ −→ ’, f (x) = log(x) e´ bijetora; • Para quaisquer x, y ∈ ’∗+ temos: f (x · y) = log(x · y) = log(x) + log(y) = f (x) + f (y). ´ Potˆencias e multiplos Em um grupo multiplicativo (G, ·) com elemento neutro e, dados x ∈ G e n ∈ š, definimos a potˆencia xn da seguinte forma: n−1 x · x, se n ≥ 1 n e, se n = 0 x = −1 −n (x ) , se n < 0 Pela definic¸a˜ o, x0 = e, xn = | x · x · {z x · · · · · }x se n > 0 e xn = | x−1 · x−1 · {z x−1 · · · · · x−1 } se n < 0. n fatores (−n) fatores ´ Multiplos Em um grupo aditivo (G, +) com elemento neutro 0, dados x ∈ G e n ∈ š, definimos o m´ultiplo nx da seguinte forma: (n − 1)x + x, se n ≥ 1 0, se n = 0 nx = (−n)(−x), se n < 0 8 Pela definic¸a˜ o, 0x = 0, nx = x + x + {z x + · · · + }x se n | nx = | (−x) + (−x) + {z (−x) + · · · + (−x) } se n < 0. > 0 e n parcelas (−n) parcelas A definic¸a˜ o de m´ultiplo e´ muito parecida com a de potˆencia. 1.4 Grupos c´ıclicos Grupo gerado por um elemento Seja x um elemento de um grupo multiplicativo (G, ·). O grupo gerado por x, denotado por [x] (ou por ⟨x⟩) e´ o conjunto de todas as potˆencias de expoente inteiro de x: [x] = {xk | k ∈ š} = {. . . , x−3 , x−2 , x−1 , x, e, x, x2 , x3 , . . . } Se (J, +) for um grupo aditivo e y ∈ J, ent˜ao [y] e´ o conjunto de todos os m´ultiplos de y: [y] = {ky | k ∈ š} = {. . . , −3y, −2y, −y, 0, y, 2y, 3y, . . . } Exemplo Em G = (‘∗ , ·), temos: [2] = {2k | k ∈ š} = {. . . , 81 , 14 , 12 , 1, 2, 4, 8, . . . } Grupos c´ıclicos Um grupo G e´ denominado c´ıclico se existir x ∈ G tal que G = [x]. Neste caso, todos os elementos de G s˜ao potˆencias (ou m´ultiplos) de x que e´ denominado um gerador de G. Exemplos • (š, +) e´ um grupo c´ıcliclo porque todo inteiro e´ m´ultiplo de 1, ou seja, š = [1]. Um grupo c´ıclico pode ter mais de um gerador. Note que neste caso temos tamb´em š = [−1]. ¯ = {2¯ 0 , 2¯ 1 , 2¯ 2 , 2¯ 3 } = {1, ¯ 2, ¯ 4, ¯ 3} ¯ = • (š∗5 , ·) e´ um grupo c´ıclico gerado por 2¯ porque [2] š∗5 . 9 • O grupo multiplicativo dos reais, (’∗ , ·), n˜ao e´ um grupo c´ıclico porque n˜ao existe um n´umero real x tal que todo n´umero real seja igual a alguma potˆencia de x. Classes laterais Consideremos um grupo (G, ∗), um subgrupo H ⊂ G e x ∈ G. • A classe lateral a` esquerda, m´odulo H, definida por x, denotada por x ∗ H, e´ o conjunto definido por x ∗ H = {x ∗ h | h ∈ H} • A classe lateral a` direita, m´odulo H, definida por x, denotada por H ∗ x, e´ o conjunto definido por H ∗ x = {h ∗ x | h ∈ H} As classes laterais a` esquerda podem coincidir ou n˜ao com as classes a` direita. Podemos ter x ∗ H = H ∗ x ou x ∗ H , H ∗ x, dependendo do x e do H. Exemplo 1 ¯ ¯ 2, ¯ 4, ¯ 6}. Sejam G = (š8 , +) e um subgrupo H = {0, ¯ = ¯ 2, ¯ 4, ¯ 6} • A classe lateral a` esquerda definida pelo elemento 1¯ e´ : 1¯ + H = 1¯ + {0, ¯ = {1, ¯ 7}. ¯ 1¯ + 2, ¯ 1¯ + 4, ¯ 1¯ + 6} ¯ 3, ¯ 5, ¯ {1¯ + 0, ¯ = ¯ 2, ¯ 4, ¯ 6} • A classe lateral a` esquerda definida pelo elemento 2¯ e´ : 2¯ + H = 2¯ + {0, ¯ = {2, ¯ 0}. ¯ 2¯ + 2, ¯ 2¯ + 4, ¯ 2¯ + 6} ¯ 4, ¯ 6, ¯ {2¯ + 0, Exemplo 2 Consideremos G = (’∗ , ·) e um subgrupo H = {3k | k ∈ š}, ou seja, √ H = 1 1 {· · · , 9 , 3 , 1, 3, 9, 27, · · · }. A classe lateral a` direita definida pelo elemento 2 ∈ G e´ : √ √ √ √ √ √ √ √ 2 k H · 2 = {3 · 2 | k ∈ š} = {· · · , 9 , 32 , 2, 3 2, 9 2, 27 2, · · · }. ´ Indice de H em G Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G. O ´ındice de H em G e´ o n´umero de classes laterais distintas m´odulo H em G e e´ denotado por (G : H). 10 Exemplo ¯ 3}. ¯ As classes laterais m´odulo H s˜ao: Sejam G = (š6 , +) e H = {0, ¯ 0¯ + 3} ¯ = {0, ¯ 3} ¯ • 0¯ + H = {0¯ + 0, ¯ 1¯ + 3} ¯ = {1, ¯ 4} ¯ • 1¯ + H = {1¯ + 0, ¯ ¯ 2¯ + 4} ¯ = {2, ¯ 5} • 2¯ + H = {2¯ + 0, ¯ 0}, ¯ 4¯ + H = {4, ¯ 1}, ¯ etc. coincidem com as anteriores. As outras classes 3¯ + H = {3, Dessa forma, temos um total de 3 classes laterais distintas e, consequentemente, (G : H) = 3. Subgrupo normal e grupo quociente Sendo (G, ∗) um grupo, um subgrupo N de G e´ denominado normal quando x ∗ N = N ∗ x para todo x ∈ G. Neste caso, denotaremos N normal em G por N ▹ G. Grupo quociente Consideremos N ▹ G. O conjunto de todas as classes laterais m´odulo N e´ um grupo com a operac¸a˜ o definida por (aN)(bN) = (ab)N, ∀a, b ∈ G e e´ denominado grupo quociente de G por N. O grupo quociente de G por N e´ denotado por G/N. 1.5 Principais proposic¸o˜ es Teorema de Lagrange Se G for um grupo finito e H um subgrupo de G, ent˜ao a ordem de H e´ um divisor da ordem de G e o quociente da divis˜ao e´ igual ao ´ındice de H em G. Em s´ımbolos: o(G) = o(H) · (G : H). Teorema do Homomorfismo Seja f : G −→ J um homomorfismo de grupos sobrejetor. Se N for o n´ucleo de f , ent˜ao N ▹ G e G/N ≃ J. 11 1.6 An´eis Seja A , ∅ um conjunto com duas operac¸o˜ es: uma adic¸a˜ o (+) e uma multiplicac¸a˜ o (·). Dizemos que (A, +, ·) e´ um anel quando • A e´ um grupo abeliano com relac¸a˜ o a` adic¸a˜ o: ◦ ∀x, y, z ∈ A, x + (y + z) = (x + y) + z ◦ ∀x, y ∈ A, x + y = y + x ◦ Existe 0 ∈ A tal que x + 0 = x, ∀x ∈ A ◦ Para todo x ∈ A, existe (−x) ∈ A tal que x + (−x) = 0 • A multiplicac¸a˜ o e´ associativa: ∀x, y, z, (x · y) · z = x · (y · z) • A multiplicac¸a˜ o e´ distributiva com relac¸a˜ o a` adic¸a˜ o: x · (y + z) = x · y + x · z e (x + y) · z = x · z + y · z para quaisquer x, y, z ∈ A. Exemplos • O conjunto dos n´umeros inteiros š e´ um anel com relac¸a˜ o a` s operac¸o˜ es de adic¸a˜ o e multiplicac¸a˜ o de inteiros usuais. • Tamb´em s˜ao an´eis os seguintes conjuntos num´ericos: (‘, +, ·), (’, +, ·) e (ƒ, +, ·). • Sendo n um inteiro positivo, O conjunto dos m´ultiplos de n nš = {nk | k ∈ š} e´ um anel com as operac¸o˜ es de adic¸a˜ o e multiplicac¸a˜ o usuais dos inteiros. • Dado n > 1 um inteiro, o conjunto Mn×n (š) das matrizes quadradas n × n com elementos em š e´ um anel com relac¸a˜ o a` adic¸a˜ o e a` multiplicac¸a˜ o de matrizes definidas de forma usual. Exemplo • Dado n um inteiro positivo, o conjunto das classes de restos m´odulo n, ¯ 1, ¯ · · · , n − 1}, šn = {0, e´ um anel com relac¸a˜ o a` s operac¸o˜ es de adic¸a˜ o e multiplicac¸a˜ o definidas da seguinte forma: x¯ + y¯ = x + y e x¯ · y¯ = x · y, para quaisquer x¯, y¯ ∈ šn . 12 Suban´eis Seja (A, +, ·) um anel e S , ∅ um subconjunto de A. Dizemos que S e´ um subanel de A quando (S , +, ·) tamb´em for um anel com as operac¸o˜ es de A restritas ao conjunto S. Exemplos • O conjunto dos m´ultiplos de 2, 2š, e´ um subanel de š com as operac¸o˜ es de adic¸a˜ o e multiplicac¸a˜ o de inteiros usuais. • Em geral, (nš, +, ·) e´ um subanel de (š, +, ·) para qualquer inteiro positivo n. Suban´eis A proposic¸a˜ o a seguir fornece um crit´erio bastante u´ til para se determinar se um conjunto S , ∅ e´ subanel de um anel A. Proposic¸a˜ o Sejam (A, +, ·) e S , ∅ um subconjunto de A. Ent˜ao, S e´ um subanel de A se, e somente se, S for fechado com relac¸a˜ o a` subtrac¸a˜ o e a` multiplicac¸a˜ o de A, ou seja, se, e somente se, x − y ∈ S e x · y ∈ S para quaisquer x, y ∈ S . Observac¸a˜ o Em um anel A, a diferenc¸a x − y de dois elementos x, y ∈ A e´ definida como sendo x − y = x + (−y). Suban´eis Exemplo {[ Consideremos no anel A = (M2×2 (’), +, ·) o conjunto S = } x 0 | x, y ∈ ‘ . y 0 1 0 • E´ claro que S , ∅ porque, por exemplo, ∈ S. 2 0 [ [ z 0 x 0 , eN= • Al´em disso, dados dois elementos quaisquer de S , M = t 0 y 0 [ [ x·z 0 x−z 0 ∈ S. ∈S eM·N = temos que M − N = y·z 0 y−t 0 [ 13 • Usando a Proposic¸a˜ o anterior, conclu´ımos que S e´ um subanel de A. An´eis comutativos Um anel (A, +, ·) e´ denominado comutativo se a sua multiplicac¸a˜ o for comutativa, ou seja, se x · y = y · x, ∀x, y ∈ A. Exemplos • O anel dos inteiros (š, +, ·) e´ um anel comutativo porque x · y = y · x, ∀x, y ∈ š. • Tamb´em s˜ao comutativos os seguintes an´eis: ‘, ’, ƒ, šm com as operac¸o˜ es usuais de adic¸a˜ o e multiplicac¸a˜ o definidas em cada um desses conjuntos. • Dado n > 1 um inteiro, o anel (Mn×n (’), +, ·) das matrizes quadradas n × n com elementos em ’ n˜ao e´ comutativo. An´eis com unidade Um anel com unidade e´ um anel A cuja multiplicac¸a˜ o possui elemento neutro, denotado por 1A ou simplesmente por 1, e denominado a unidade do anel. Exemplos • O n´umero 1 e´ a unidade dos an´eis (š, +, ·), (‘, +, ·),(’, +, ·) e (ƒ, +, ·). Logo, esses s˜ao exemplos de an´eis com unidade. • Dado m ≥ 2 inteiro, (šm , +, ·) e´ um anel com unidade. Neste caso, a unidade e´ ¯ a classe 1. • Sendo n um inteiro maior do que 1, o anel (nš, +, ·) n˜ao possui unidade. An´eis de integridade Um anel comutativo com unidade A e´ denominado anel de integridade quando ∀x, y ∈ A, x · y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0. Definic¸a˜ o Dizemos que x , 0 e y , 0 em um anel A s˜ao divisores pr´oprios de zero quando x · y = 0. 14 Observac¸a˜ o De acordo com as definic¸o˜ es anteriores, um anel de integridade e´ um anel comutativo com unidade que n˜ao tem divisores pr´oprios do zero. Exemplos • No anel dos inteiros...
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  • Summer '18
  • h6h
  • ·, n´umeros reais n˜ao, conjunto šn e´, NUNES DE ANDRADE

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Christopher Reinemann
"Before using Course Hero my grade was at 78%. By the end of the semester my grade was at 90%. I could not have done it without all the class material I found."
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