CadExAlgebraI(M)04-05.pdf - Caderno de exerccios de lgebra...

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Caderno de exercícios de Álgebra I Curso: Matemática Ano Lectivo 2004/2005 15 de Setembro de 2004 (versão 1.0)
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Índice Notas Prévias ii Notações e terminologia iii 1 Introdução 1 1.1 Conjuntos e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Estruturas algébricas básicas 8 2.1 Grupóides, semigrupos e monóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Mor fi smos entre estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Relações de congruência. Coconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Estruturas monogénicas e geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Estruturas normais. Estruturas quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Teoremas do homomor fi smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Estruturas actuando sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Grupos- p e grupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Estruturas livres e apresentações 32 Bibliogra fi a 33 i
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Notas Prévias Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas for- mam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente um conjunto de exercícios soltos. Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nas referências [1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, que alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento de Matemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sinceros e profundos agradecimentos. N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, este caderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções 1 . 1 apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentários e correcções, de preferência, enviados para [email protected] ii
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Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio N = f 0 , 1 , 2 , 3 , ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números naturais Z = f¢ ¢ ¢ , ¡ 2 , ¡ 1 , 0 , 1 , 2 , ¢ ¢ ¢g o conjunto dos números inteiros Q = n x y 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f 0 g o o conjunto dos números racionais R o conjunto dos números reais C o conjunto dos números complexos Sendo X 2 f N , Z , Q , R g , representaremos por X > 0 , X 0 e X 6 =0 , respectivamente, os seguintes conjuntos: X > 0 := f x 2 X : x > 0 g X 0 := f x 2 X : x ¸ 0 g X 6 =0 := f x 2 X : x 6 = 0 g . Como exemplos, o conjunto R 0 := f x 2 R : x ¸ 0 g = [0 , + 1 [ , representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6 =0 := f x 2 R : x 6 = 0 g = R n f 0 g , representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero.
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  • Summer '18
  • h6h
  • Mostre, mod n

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Christopher Reinemann
"Before using Course Hero my grade was at 78%. By the end of the semester my grade was at 90%. I could not have done it without all the class material I found."
— Christopher R., University of Rhode Island '15, Course Hero Intern

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