geomdif_ed3.pdf - GEOMETRIA DIFERENCIAL UMA INTRODUO...

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Unformatted text preview: GEOMETRIA DIFERENCIAL UMA INTRODUÇÃO FUNDAMENTAL (Versão provisória da 3a Edição) Armando Machado UNIVERSIDADE DE LISBOA Faculdade de Ciências Departamento de Matemática 2009 ii Classificação A.M.S. (1991): 53-01, 57-01 ISBN: 972-8394-08-X ÍNDICE Introdução v Capítulo I. Revisão de Álgebra Linear e Cálculo Diferencial §1. Algumas propriedades dos espaços vectoriais de dimensão finita 1 §2. Espaços euclidianos e hermitianos 9 §3. Os produtos internos de Hilbert-Schmidt 24 §4. Orientação de espaços vectoriais reais 31 §5. Cálculo Diferencial em espaços vectoriais de dimensão finita 42 §6. Aplicações de classe G 5 52 §7. Derivadas parciais 62 §8. Teoremas da função implícita e da função inversa 66 §9. Integral de funções vectoriais de variável real 72 §10. Diferenciabilidade do integral paramétrico 74 Exercícios 77 Capítulo II. Vectores Tangentes e Variedades §1. Vectores tangentes a um conjunto num ponto §2. Funções diferenciáveis em conjuntos não abertos §3. Partições da unidade §4. Variedades sem bordo §5. Alguns exemplos importantes de variedade §6. Variedades com bordo §7. Teorema de Sard Exercícios 89 92 102 111 136 143 163 176 Capítulo III. Fibrados Vectoriais e o Ambiente Euclidiano §1. Fibrados vectoriais §2. Orientação de fibrados vectoriais reais §3. Derivação covariante e segunda forma fundamental §4. Aplicação ao estudo elementar das curvas §5. Hipersuperfícies. Aplicação linear de Weingarten §6. Tensor de curvatura §7. Invariância por isometria. Teorema Egrégio §8. Morfismos entre fibrados vectoriais §9. Estruturas quase complexas e aplicações holomorfas Exercícios 193 204 210 227 241 252 261 267 295 316 Capítulo IV. Equações Diferenciais Ordinárias em Variedades §1. Solução geral e fluxo de um campo vectorial §2. Continuidade da solução geral §3. Propriedades da solução geral quando o domínio é aberto §4. Equações diferenciais dependentes do tempo 355 360 364 368 iv Índice §5. Equações diferenciais lineares §6. Diferenciabilidade da solução geral §7. Equações diferenciais em variedades §8. Equações diferenciais totais. Teorema de Frobenius §9. Versão geométrica local do teorema de Frobenius Exercícios 371 376 379 383 393 399 Capítulo V. Aplicações Geométricas das Equações Diferenciais §1. Transporte paralelo §2. Consequências da nulidade do tensor de curvatura §3. Geodésicas e aplicação exponencial Exercícios 413 416 419 428 Capítulo VI. Estruturas Diferenciáveis e Variedades Abstractas §1. Estruturas diferenciáveis e aplicações suaves §2. Variedades abstractas §3. A colagem de variedades: O teorema de Whitney §4. Variedades quociente §5. Subvariedades imersas e teorema de Frobenius global §6. Espaço vectorial tangente Exercícios 443 457 469 481 489 512 539 Índice de Símbolos 553 Índice Remissivo 559 Bibliografia 565 INTRODUÇÃO Este texto teve a sua origem num curso de Geometria Diferencial dado pelo autor aos estudantes do terceiro ano das licenciaturas em Matemática e Ensino da Matemática da Faculdade de Ciências de Lisboa e desenvolve duas versões anteriores, a primeira publicada em 1985 na colecção Textos e Notas do CMAF e a segunda [14] editada conjuntamente em 1991 pela Editora Cosmos e pela Fundação da Universidade de Lisboa. Em quase todos os pontos o texto vai bastante mais longe do que tem sido possível estudar no curso e vários capítulos não foram sequer aflorados neste. De um modo geral procurou-se realizar um texto ao mesmo tempo introdutório e fundamental que, mantendo-se a um nível tanto quanto possível elementar, constituísse uma exposição coerente e razoavelmente completa dos conceitos e técnicas mais frequentemente utilizados no estudo da geometria das variedades diferenciáveis. O carácter introdutório do texto não nos inibiu de apresentar demonstrações detalhadas de todos os resultados expostos, mesmo quando estas são tecnicamente mais sofisticadas. Procurou-se assim garantir que o conteúdo fosse tão auto-suficiente quanto possível de modo a que o trabalho pudesse também servir como texto de referência. Essa mesma preocupação levou-nos a incluir o tratamento de vários pontos que saiem do âmbito de Geometria Diferencial, entre os quais se incluem revisões de certos pontos de Álgebra Linear e das noções básicas do Cálculo Diferencial, em ambos os casos no quadro dos espaços vectoriais de dimensão finita e privilegiando os enunciados que não dependem da fixação de uma base, e o exame sistemático dos resultados sobre equações diferenciais ordinárias, que tivémos necessidade de utilizar, incluindo os resultados globais que envolvem a dependência das condições iniciais e de eventuais parâmetros. Pressupomos, de qualquer modo, que o leitor, para além de uma certa destreza matemática, possui conhecimentos básicos de Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear e Topologia Geral. Ao longo da maior parte do trabalho as variedades são estudadas sob o ponto de vista concreto, isto é, uma variedade será um subconjunto de um espaço vectorial ambiente, de dimensão finita, e o espaço vectorial tangente em cada ponto aparece então como subespaço vectorial desse espaço vectorial ambiente. Este ponto de vista, seguido também, por exemplo, nos livros de Milnor [19] e de Guillemin e Pollack [10], permite trabalhar desde o início num quadro geométrico intuitivo em que se podem estudar rapidamente resultados interessantes e não triviais. A introdução precoce das variedades abstractas pode ter, na nossa opinião, um carácter desmotivador, ao atrasar o aparecimento dos resultados geométricos importantes, por implicar a construção prévia de um imponente edifício abstracto, constituído na maioria por definições e resultados triviais, embora essenciais. Se é de aceitação pacífica a importância pedagógica vi Introdução de estudar os rudimentos da teoria das variedades concretas antes da introdução das variedades abstractas, já não há unanimidade quanto ao momento em que esta última deve ser feita. Neste texto as variedades abstractas são estudadas apenas no último capítulo e organizamos o seu estudo de forma a tirar o maior partido possível dos resultados já estudados nos capítulos anteriores, incluindo aqueles com carácter global. Esse objectivo, assim como o desejo de diminuir o formalismo inicial, levou-nos a optar por definir a noção de variedade abstracta à custa duma classe de equivalência de cartas globais (com contradomínios, em geral, não abertos) em vez duma classe de equivalência de atlas constituídos por cartas locais, como é mais habitual. Esta opção teve naturalmente um preço a pagar, para podermos dispor da possibilidade de colar estruturas de variedade em subconjuntos abertos, e, em particular, de fazer a ponte com as variedades definidas por cartas locais, tivémos que estabelecer um resultado não elementar, que se pode considerar essencialmente o teorema do mergulho de Whitney, olhado pelo avesso. Uma diferença, em relação ao conteúdo usual de livros com o âmbito deste, está na definição e utilização sistemática do conceito de fibrado vectorial, conceito que só costuma ser introduzido a um nível mais avançado. Naturalmente, em consonância com a opção de trabalhar no quadro das variedades concretas, também estudamos os fibrados vectoriais enquanto subfibrados vectoriais de um fibrado vectorial constante. Este estudo parece-nos ser justificado pela simplicidade e naturalidade do métodos utilizados e pela riqueza das suas aplicações. Para além, evidentemente, do fibrado vectorial tangente a uma variedade, teremos ocasião de utilizar, por exemplo, o fibrado osculador de uma curva, que ajuda a compreender o significado da torção, ou o fibrado vectorial normal de uma variedade, importante para a construção de vizinhaças tubulares, assim como os fibrados vectoriais obtidos como imagens recíprocas. Passamos agora a apresentar algumas observações mais concretas sobre o conteúdo de cada captulo. O primeiro capítulo tem como objectivo a revisão de algumas propriedades básicas dos espaços vectoriais de dimensão finita, reais e complexos, e dos conceitos e resultados do Cálculo Diferencial que são usualmente estudados num curso de Análise Real. No que diz respeito à Álgebra Linear, o objectivo principal é o de fixar notações e relembrar enunciados que serão utilizados mais tarde; supomos naturalmente que o leitor está habituado a trabalhar com espaços vectoriais, aplicações lineares, matrizes, etc… Para além disso, serão referidos com um pouco mais de detalhe alguns pontos que o leitor porventura ainda não encontrou, como as relações entre espaços vectoriais reais e complexos, através da noção de estrutura complexa dum espaço vectorial real, os produtos internos de Hilbert-Schmidt nos espaços de aplicações lineares, a orientação de espaços vectoriais reais ou a possibilidade de representar uma aplicação linear por uma matriz de aplicações lineares, quando se está em presença de decomposições em soma directa do domínio e do codomínio. A exposição dos assuntos de Álgebra Linear acabou por resultar um pouco longa pelo que será porventura mais útil ao leitor saltá-la numa primeira leitura e voltar atrás quando tiver necessidade. No que diz respeito ao Cálculo Diferencial, a palavra revisão é aqui utilizada no Introdução vii sentido generalizado na medida em que pretendemos trabalhar, no quadro dos espaços vectoriais de dimensão finita, com enunciados que não dependam da fixação de um sistema de coordenadas (é o que se faz usualmente no quadro mais geral do Cálculo Diferencial em espaços normados de dimensão infinita — ver, por exemplo, os livros de Dieudonné [6] e Lang [13] ou o nosso trabalho [15]). Muitas demonstrações mais simples são omitidas, esperando-se que o leitor, que esteja habituado a trabalhar apenas no quadro dos espaços cartesianos ‘8 , adapte facilmente as que conhece nesse contexto. A opção aqui tomada é essencial para se poder trabalhar naturalmente com os espaços de aplicações lineares e permite olhar de um modo unificado o que se passa no estudo das variedades, onde as derivadas das aplicações lineares estão definidas em espaços vectoriais tangentes que não possuem bases naturalmente fixadas. Supomos de qualquer modo, aqui como no resto do curso, que o leitor possui os conhecimentos elementares de Topologia Geral e de espaços vectoriais normados e que conhece, em particular, as propriedades especiais dos espaços vectoriais normados de dimensão finita (cf., por exemplo, [15]). Apesar de, como referimos, a revisão do Cálculo Diferencial se enquadrar no que é usualmente estudado no quadro da Análise Real, não deixamos de referir o conceito de diferenciabilidade no sentido complexo, no caso em que os espaços vectoriais em questão são complexos. Essa referência limita-se no entanto às generalizações triviais do que se passa no caso real e não abordamos as propriedades especiais que se estudam no quadro da Análise Complexa. No segundo capítulo inicia-se o estudo das variedades num espaço vectorial ambiente de dimensão finita. Começa-se por introduzir as noções de cone tangente e cone tangente alargado de um subconjunto arbitrário em cada um dos seus pontos, a segunda das quais na base da definição de espaço vectorial tangente que utilizamos. Estas noções, embora muito antigas (foram introduzidas no livro de Bouligand [3]) não são utilizadas normalmente em textos da natureza deste, mas parecem-nos úteis, tanto pelo seu evidente conteúdo geométrico como por nos permitirem trabalhar por vezes com conjuntos que não sabemos a priori serem variedades. Estudamos em seguida a generalização da noção de aplicação de classe G 5 ao caso em que o domínio não é obrigatoriamente um conjunto aberto, a partir da existência de prolongamentos locais de classe G 5 ß assim como as derivadas de tais aplicações, que vão ser aplicações lineares definidas nos espaços vectoriais tangentes. São estudados os teoremas de partição da unidade, que se aplicam em muitas situações para passar de resultados de natureza local para outros com carácter global e que são utilizados na prova de que toda a aplicação de classe G 5 admite um prolongamento de classe G 5 a um aberto contendo o domínio, e não só prolongamentos locais de classe G 5 . Estes teoremas são também utilizados para estabelecer resultados de aproximação de funções contínuas por funções de classe G _ . Definem-se então as variedades sem bordo, como sendo os subconjuntos que são localmente difeomorfos a abertos de espaços vectoriais de dimensão finita, e estudam-se, no quadro destas, algumas consequências importantes do teorema da função inversa, como os resultados que caracterizam localmente as imersões e as submersões, os que viii Introdução permitem construir as variedades como imagens recíprocas, mediante condições de transversalidade convenientes, e, em particular, os que estudam a intersecção de duas subvariedades. Para além dos resultados que permitem construir variedades como imagens recíprocas, é estabelecido também um resultado que permite identificar variedades associadas a imagens directas de aplicações suaves, resultado que é aplicado, em particular, na construção das variedades de Grassmann, encaradas como conjuntos de projecções ortogonais sobre subespaços vectoriais. Generalizam-se em seguida as definições e alguns dos resultados estudados, de modo a englobar mais geralmente o caso das variedades com bordo e, eventualmente, com cantos. O capítulo termina com a demonstração do teorema de Sard, numa versão que não utiliza o conceito de medida, resultado que é essencial em várias aplicações geométricas e que é, em particular, utilizado na demonstração do teorema de Whitney, abordada no último capítulo. O capítulo III constitui a parte central do curso. São introduzidos os fibrados vectoriais, como famílias de subespaços vectoriais de um certo espaço vectorial (as fibras) indexadas por um subconjunto de outro espaço vectorial (a base), famílias para as quais se deve verificar uma condição de suavidade conveniente. Essa condição de suavidade é apresentada através da exigência de existência de campos de referenciais locais e prova-se que, no caso em que o espaço vectorial ambiente das fibras está munido de um produto interno, ela é equivalente à suavidade da aplicação que a cada ponto da base associa a projecção ortogonal sobre a respectiva fibra. A derivada desta última aplicação permite-nos definir a segunda forma fundamental de um fibrado vectorial, que vai ser uma aplicação bilinear, definida no produto cartesiano do espaço vectorial tangente à base pela fibra e com valores no complementar ortogonal desta. Esta segunda forma fundamental, que caracteriza o modo como as fibras variam de ponto para ponto, é utilizada, por um lado, no estudo da geometria do espaço total do fibrado vectorial, aplicado, por exemplo, na construção de vizinhanças tubulares, e, por outro lado, na abordagem da teoria clássica das curvas e das hipersuperfícies num espaço euclidiano, abordagem que inclui o exame da curvatura e da torção das primeiras e, no contexto das segundas, o estudo da aplicação linear de Weingarten (operador de forma, na terminologia de O'Neill [22]), tal como o das curvaturas e direcções principais e o dos pontos focais. É também no quadro mais geral dos fibrados vectoriais que é estudada a questão da orientabilidade das variedades. Em relação estreita com o estudo da segunda forma fundamental, aparece-nos a noção de derivada covariante de uma secção de um fibrado vectorial com as fibras contidas num espaço euclidiano, derivada essa que é introduzida como uma modificação conveniente da derivada usual, de modo a obter valores na fibra correspondente. As secções paralelas, isto é, aquelas cuja derivada covariante é identicamente nula, são apresentadas como a generalização natural das secções constantes. É definido o tensor de curvatura de Riemann, cuja não nulidade é uma obstrução à existência de secções paralelas de um fibrado vectorial, e é estabelecida a fórmula de Gauss, que relaciona este tensor de curvatura com a segunda forma fundamental. Prova-se a propriedade fundamental de invariância por isometria do tensor de curvatura do fibrado tangente duma variedade, resultado que é aplicado na demonstração do Teorema Introdução ix Egrégio de Gauss. São abordados os morfismos entre fibrados vectoriais e as respectivas derivadas covariantes e, como aplicação, é feito um estudo elementar das estruturas quase complexas numa variedade e das variedades holomorfas. O capítulo IV, na sua maior parte de natureza mais analítica do que geométrica, justifica-se pela importância das suas aplicações à Geometria. Trata-se de estabelecer os resultados fundamentais sobre as soluções de uma equação diferencial ordinária com condições iniciais dadas. Inspirando-nos nos métodos utilizados no livro de Pontriaguine [23], obtemos resultados globais sobre o modo como as soluções dependem da variável independente, das condições iniciais e de eventuais parâmetros. As equações diferenciais paramétricas são aplicadas, em particular, para demonstrar, pelo método utilizado no livro de Dieudonné [6], o teorema de Frobenius sobre as soluções de equações diferenciais totais, equações diferenciais em que a variável independente real é substituída por uma variável multidimensional. Este último teorema é utilizado para obter a chamada versão geométrica do teorema de Frobenius, sobre as variedades integrais de um subfibrado vectorial do fibrado tangente, neste capítulo apenas no seu aspecto local. No quinto capítulo examinamos algumas aplicações geométricas das equações diferenciais ordinárias, estudadas no capítulo precedente. O transporte paralelo, no quadro dos fibrados vectoriais cuja base é um intervalo de ‘, aparece como um corolário da teoria das equações diferenciais lineares, sendo aplicado para mostrar que, quando a base dum fibrado vectorial é uma variedade conexa, não pode existir mais que uma secção paralela com um valor dado numa das fibras. A existência local de uma tal secção, no caso em que o tensor de curvatura é identicamente nulo, aparece como uma consequência do teorema de Frobenius. As geodésicas duma variedade contida num espaço euclidiano são apresentadas do ponto de vista das trajectórias de velocidade paralela, o que conduz ao seu estudo no quadro duma equação diferencial sobre o espaço total do fibrado vectorial tangente à variedade. Os resultados estudados sobre a dependência das soluções das equações diferenciais em relação aos valores iniciais são então aplicados ao estudo das propriedades da aplicação exponencial. No último capítulo abordamos finalmente o estudo das variedades abstractas, procurando, sempre que possível, tirar partido do que foi estudado nos capítulos anteriores. Começamos por examinar uma noção um pouco mais geral que a de variedade abstracta, a de estrutura diferenciável, definida como uma classe de equivalência de cartas globais cujos contradomínios são subconjuntos arbitrários de espaços vectoriais de dimensão finita. Esta noção é uma versão simplificada da que foi introduzida por Aronszajn [1], sob o nome de “espaço subcartesiano”, e desenvolvida posteriormente por Marshall [17]; ela abarca ao mesmo tempo as variedades, eventualmente com bordo, e os subconjuntos arbitrários de espaços vectoriais de dimensão finita. As noções e resultados básicos, envolvendo as aplicações suaves e os difeomorfismos, são estudados no quadro geral das estruturas diferenciáveis e as variedades são definidas em seguida como estruturas diferenciáveis localmente difeomorfas a abertos de ‘8 , ou de sectores de ‘8 , ou, equivalentemente, como estruturas diferenciáveis cujas cartas têm como contradomínio variedades concretas. Seguindo a via de Guillemin e x Introdução Pollack [10], o teorema de Sard é utilizado para demonstrar a versão do teorema de Whitney que garante que, para uma variedade de dimensão 8, existe sempre uma carta global para um subconjunto de um espaço vectorial de dimensão #8 ". Seguidamente, utilizando uma ideia atribuida a Spanier e baseando-nos nu...
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  • Summer '18
  • h6h
  • The Land, Frobenius, Equações Diferenciais, Variedades

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