geometria_diferencial.pdf - Notas de Aula Geometria...

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Unformatted text preview: Notas de Aula Geometria Diferencial Rodney Josu´ e Biezuner 1 Departamento de Matem´atica Instituto de Ciˆencias Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Geometria Diferencial do Programa de P´ os-Gradua¸ca ˜o em Matem´ atica. 13 de outubro de 2016 1 E-mail: [email protected]; homepage: . Sum´ ario 1 Teoria Local das Curvas 1.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Reparametriza¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Curvas Regulares e Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Curvas Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Comprimento de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 O Parˆ ametro Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 F´ ormulas de Frenet para Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Derivada em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Isometrias de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Teorema Fundamental das Curvas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Tor¸c˜ ao e Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 F´ ormulas de Frenet para Curvas Espaciais . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 C´ alculo da Curvatura e Tor¸c˜ao para Parametriza¸c˜oes Arbitr´arias 1.8 Teorema Fundamental das Curvas no Espa¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 6 6 6 7 10 12 12 16 18 19 19 22 23 27 29 29 32 33 36 2 Teoria Global das Curvas 2.1 N´ umero de Rota¸c˜ ao de uma Curva Fechada . . . . . . . 2.1.1 N´ umero de Rota¸c˜ ao e Curvatura Total . . . . . . 2.1.2 N´ umero de Rota¸c˜ ao de Curvas Fechadas Simples 2.2 Curvas Fechadas Simples Convexas . . . . . . . . . . . . 2.3 Teorema dos Quatro V´ertices para Curvas Convexas . . 2.4 Teorema dos Quatro V´ertices: Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 41 45 49 51 53 3 Superf´ıcies Regulares 3.1 Superf´ıcies Parametrizadas Regulares e Superf´ıcies Regulares . . . 3.1.1 Defini¸c˜ ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Superf´ıcies como Imagens Inversas de Valores Regulares . . 3.2 Mudan¸ca de Coordenadas e Fun¸co˜es Diferenci´aveis em Superf´ıcies 3.3 Plano Tangente, Vetor Normal e Diferencial . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Plano Tangente e Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 55 61 63 65 65 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rodney Josu´e Biezuner 3.4 2 3.3.2 Diferencial de uma Aplica¸c˜ao Diferenci´avel entre Superf´ıcies Regulares . . . . . . . . . Superf´ıcies Orient´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 68 4 As Formas Fundamentais e Curvaturas 4.1 A Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Comprimento de Curvas em Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.1.2 Area de Regi˜ oes de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 A Aplica¸c˜ ao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Segunda Forma Fundamental e Operador Forma em Coordenadas 4.3 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Curvatura Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Curvaturas Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Curvatura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Curvatura M´edia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Classifica¸c˜ ao dos Pontos de uma Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Superf´ıcies de Curvatura Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Superf´ıcies de Revolu¸c˜ ao com Curvatura Constante . . . . . . . . . 4.5 Superf´ıcies M´ınimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 . 73 . 76 . 77 . 78 . 78 . 80 . 82 . 85 . 85 . 86 . 87 . 88 . 88 . 93 . 98 . 99 . 103 5 Geometria Intr´ınseca das Superf´ıcies 5.1 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equa¸c˜ oes de Compatibilidade e Teorema Egr´egio de Gauss . 5.4 Teorema Fundamental Local das Superf´ıcies . . . . . . . . . 5.5 O Teorema de Rigidez da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Parametriza¸c˜ oes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Curvas Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Existˆencia de Parametriza¸c˜oes Ortogonais . . . . . . 5.5.4 O Teorema de Rigidez da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 112 117 119 124 124 126 129 131 6 Geod´ esicas 6.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Aplica¸c˜ ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Coordenadas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Coordenadas Geod´esicas Polares . . . . . . . . . . 6.4 Propriedades Minimizantes das Geod´esicas . . . . . . . . . 6.5 Vizinhan¸cas Totalmente Normais e Vizinhan¸cas Convexas 6.6 Fun¸c˜ ao Distˆ ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Superf´ıcies Completas e Teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 134 136 139 139 141 141 147 148 151 152 . . . . . . . . . . Cap´ıtulo 1 Teoria Local das Curvas 1.1 1.1.1 Curvas Parametrizadas Defini¸c˜ ao Denotaremos por I qualquer subconjunto conexo de R, isto ´e, qualquer intervalo aberto, fechado, semiaberto, raio de R ou o pr´ oprio R; chamaremos I simplesmente de intervalo. Diremos que uma fun¸c˜ao vetorial f : I −→ Rn satisfaz localmente uma certa propriedade, se para todo t ∈ I existe um intervalo aberto Jt 3 t tal que f |Jt satisfaz a propriedade. 1.1 Defini¸ c˜ ao. Uma curva parametrizada diferenci´ avel ´e uma fun¸c˜ao vetorial localmente injetiva, continuamente diferenci´ avel, α : I −→ Rn . Dizemos que α ´e uma curva parametrizada de classe C k se α ´e k vezes continuamente diferenci´ avel. Se α ´e de classe C ∞ tamb´em dizemos que α ´e uma curva parametrizada suave.  O tra¸ co de uma curva parametrizada α : I −→ Rn ´e sua imagem α (I). Muitas vezes identificamos o tra¸co de uma curva com a pr´ opria curva, abusando a linguagem, e nos referimos `a parametriza¸c˜ ao da curva (ao inv´es de “a parametriza¸c˜ ao do tra¸co da curva”). A exigˆencia de diferenciabilidade elimina exemplos patol´ogicos, tais como o de curvas cont´ınuas que preenchem um quadrado ou um cubo (curvas de Hilbert). Mas n˜ao evita o aparecimento de quinas (veja os Exemplos 1.8 e 1.9 a seguir). O requerimento de injetividade apenas local permite autointerse¸c˜ oes: α : I −→ Rn ser localmente injetiva significa que para todo t ∈ I existe um intervalo Jt 3 t tal que α|Jt ´e injetiva, mas α n˜ ao precisa ser globalmente injetiva, isto ´e, n˜ao precisa ser injetiva em todo o intervalo I. O requerimento de injetividade local pro´ıbe no entanto que uma curva volte sobre si mesma (veja o Exemplo 1.7 a seguir). 1.1.2 Exemplos 1.2 Exemplo (Retas). α : R −→ R2 definida por α (t) = (x0 + v1 t, y0 + v2 t) = (x0 , y0 ) + t (v1 , v2 ) = p0 + tv ´e uma parametriza¸c˜ ao de uma reta no plano, enquanto que β : R −→ R3 definida por β (t) = (x0 + v1 t, y0 + v2 t, z0 + v3 t) = (x0 , y0 , z0 ) + t (v1 , v2 , v3 ) = p0 + tv ´e uma parametriza¸c˜ ao de uma reta no espa¸co. Em geral, γ : R −→ Rn definida por γ (t) = (x1 + v1 t, . . . , xn + vn t) = (x1 , . . . , xn ) + t (v1 , . . . , vn ) = p0 + tv ´e uma parametriza¸c˜ ao de uma reta em Rn . Note que α ´e uma curva suave, globalmente injetiva.  3 Rodney Josu´e Biezuner 4 1.3 Exemplo (C´ırculos). α : R −→ R2 definida por α (t) = (x0 + R cos t, y0 + R sen t) = (x0 , y0 ) + R (cos t, sen t) ´e uma parametriza¸c˜ ao do c´ırculo de raio R e centro no ponto (x0 , y0 ). De fato, kα (t) − (x0 , y0 )k = R para todo t. Note que α ´e uma curva suave, localmente injetiva.  1.4 Exemplo (Elipses). α : R −→ R2 definida por α (t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t) = (x0 , y0 ) + (a cos t, b sen t) ´e uma parametriza¸c˜ ao da elipse de semieixos a, b e centro no ponto (x0 , y0 ). De fato, se x (t) = a cos t, y (t) = b sen t, ent˜ ao 2 2 [y (t) − y0 ] [x (t) − x0 ] + =1 2 a b2 para todo t. Note que α ´e uma curva suave, localmente injetiva.  1.5 Exemplo (Hip´erboles). α : R −→ R2 definida por α (t) = (x0 + a cosh t, y0 + b senh t) = (x0 , y0 ) + (a cosh t, b senh t) ´e uma parametriza¸c˜ ao de um ramo de uma hip´erbole centrada no ponto (x0 , y0 ). De fato, se x (t) = a cosh t, y (t) = b senh t, ent˜ ao 2 2 [x (t) − x0 ] [y (t) − y0 ] − =1 a2 b2 para todo t; como o cosseno hiperb´ olico ´e uma fun¸c˜ao positiva, a imagem de α corresponde apenas a um u ´nico ramo desta hip´erbole. Note que α ´e uma curva suave, globalmente injetiva.  1.6 Exemplo (Gr´ aficos de Fun¸c˜ oes). Se f : I −→ R ´e uma fun¸c˜ao de classe C k , ent˜ao α : I −→ R2 definida por α (t) = (t, f (t)) ´e uma curva parametrizada de classe C k .  1.7 Exemplo. α, β : R −→ R2 definidas por α (t) = (t, t) ,  β (t) = t3 , t3 , s˜ ao curvas parametrizadas suaves, parametriza¸c˜oes da diagonal principal do plano cartesiano. A fun¸c˜ ao suave γ : R −→ R2 definida por  γ (t) = t2 , t2 tem como imagem a semidiagonal principal positiva do plano cartesiano, mas n˜ao ´e uma curva parametrizada porque n˜ ao ´e localmente injetiva em t = 0. Se restringirmos o dom´ınio de qualquer uma destas trˆes fun¸c˜ oes ao intervalo [0, +∞), obtemos uma parametriza¸c˜ao suave da semidiagonal principal positiva.  Rodney Josu´e Biezuner 5 1.8 Exemplo (Parametriza¸c˜ ao Suave de uma Quina). α : (−1, 1) −→ R2 definida por α (t) = (t, |t|) ´e globalmente injetiva, mas n˜ ao ´e uma curva porque n˜ao ´e diferenci´avel na origem. Note que sua imagem ´e uma quina. Por outro lado, β : (−1, 1) −→ R2 definida por   −t2 , t2 se t 6 0, β (t) = t2 , t2 se t > 0, tem esta quina como imagem, mas ´e uma curva parametrizada de classe C 1 , globalmente injetiva. Observe que β 0 (0) = 0. γ : (−1, 1) −→ R2 definida por   3 γ (t) = t3 , |t| tamb´em ´e uma parametriza¸c˜ ao desta quina, mas de classe C 2 , globalmente injetiva, com γ 0 (0) = γ 00 (0) = 0. Em geral,   −tk , tk se t ∈ (−1, 0], αk (t) = tk , tk se t ∈ [0, 1), se k ´e par, e   k αk (t) = tk , |t| , t ∈ (−1, 1) se k ´e ´ımpar, ´e uma parametriza¸c˜ ao da quina de classe C k−1 , globalmente injetiva, com αk0 (0) = . . . = (k−1) αk (0) = 0. Podemos obter uma parametriza¸c˜ao suave globalmente injetiva da quina definindo   −1/t2 −1/t2 ,e se t < 0, −e 0, se t = 0, α∞ (t) =   e−1/t2 , e−1/t2 se t > 0. (k) Note que α∞ (0) = 0 para todo k.  1.9 Exemplo (Parametriza¸c˜ ao Suave de um Quadrado). Podemos parametrizar o quadrado unit´ario de cantos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) pela parametriza¸c˜ao continuamente diferenci´avel α : [0, 4] −→ R2 definida por     2 t t3 −6 − ,0 se 0 6 t 6 1, 2 3     t3 3 +5 se 1 6 t 6 2, 1, −6 2t − t2 + 2 3    α (t) = 3 6 6t − 5 t2 + t − 27, 1 se 2 6 t 6 3, 2 3     7 t3 0, 6 12t − t2 + − 80 se 3 6 t 6 4. 2 3 Note que (−6t (t − 1) , 0) (0, −6 (t − 1) (t − 2)) α0 (t) = (6 (t − 2) (t − 3) , 0) (0, 6 (t − 3) (t − 4)) se se se se 0 6 t 6 1, 1 6 t 6 2, 2 6 t 6 3, 3 6 t 6 4, de modo que α0 (0) = α0 (1) = α0 (2) = α0 (3) = α0 (4) = 0 Rodney Josu´e Biezuner 6 e lim α0 (t) = lim+ α0 (t) = 0, t→1− t→1 lim α0 (t) = lim α0 (t) = 0, t→2− t→2+ 0 lim α (t) = lim+ α0 (t) = 0. t→3− t→3 De fato, ´e f´ acil ver que podemos definir uma parametriza¸c˜ao de classe C k para qualquer k ou at´e mesmo suave para o quadrado.  1.1.3 Reparametriza¸co ˜es 1.10 Defini¸ c˜ ao. Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada de classe C k . Se J ´e um intervalo e f : J −→ I ´e um difeomorfismo de classe C k , ent˜ ao β : J −→ Rn definida por β =α◦f ´e uma curva parametrizada de classe C k que tem o mesmo tra¸co de α. Dizemos que β ´e uma reparametriza¸ c˜ ao de α e a fun¸c˜ ao f ´e chamada uma mudan¸ ca de parˆ ametro.  Abusando a linguagem, dizemos que α e β s˜ao parametriza¸c˜oes da mesma curva (ao inv´es de parametriza¸c˜ oes do mesmo tra¸co). 1.11 Exemplo. α : [0, 2π] −→ Rn e β : [0, 1] −→ Rn definidas por α (s) = (cos s, sen s) , β (t) = (cos 2πt, sen 2πt) , s˜ ao duas parametriza¸c˜ oes do c´ırculo unit´ ario centrado na origem. Cada uma ´e uma reparametriza¸c˜ ao da outra. Por exemplo, a mudan¸ca de parˆ ametro de t para s ´e a fun¸c˜ao f : [0, 1] −→ [0, 2π] definida por f (t) = 2πt. A mudan¸ca de parˆ ametro de s para t ´e a inversa de f .  1.2 1.2.1 Curvas Regulares e Comprimento de Arco Curvas Regulares Queremos estudar curvas onde a tangente est´a definida em todo ponto, pois elas possuem uma riqueza de propriedades geom´etricas. Certamente n˜ ao ´e poss´ıvel definir a reta tangente em quinas, pois h´a dois vetores tangentes com dire¸c˜ oes diferentes. Observe que nos Exemplos 1.8 e 1.9 a derivada se anulava nas quinas. Para evitar o aparecimento de quinas e consequentemente podermos definir o conceito de reta tangente, basta ent˜ ao considerar curvas parametrizadas em que a derivada nunca se anula. 1.12 Defini¸ c˜ ao. Uma curva regular ´e uma curva parametrizada suave α : I −→ Rn tal que α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ I.  Curvas regulares n˜ ao podem ter cantos ou quinas, pois a tangente `a curva est´a definida em todo ponto: a reta tangente ` a curva α no ponto α (t) ´e simplesmente a reta passando por α (t) com dire¸c˜ao α0 (t). Rodney Josu´e Biezuner 7 1.13 Proposi¸ c˜ ao. Se α : I −→ Rn ´e uma fun¸c˜ ao de classe C 1 tal que α0 (t) 6= 0 para todo t, ent˜ ao α ´e localmente injetiva. Em particular, α ´e uma curva regular de classe C 1 . Prova: Escreva α (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) . 0 Seja t0 ∈ I. Como α (t0 ) 6= 0, temos (t0 ) 6= 0 para algum i. Se x0i (t0 ) > 0, como por hip´otese a derivada x0i ´e continua, existe um intervalo aberto Jt0 ⊂ I contendo t0 tal que x0i (t) > 0 para todo t ∈ Jt0 ; segue que xi ´e crescente neste intervalo, em particular injetiva, logo α tamb´em ´e. Se x0i (t0 ) < 0, o mesmo argumento implica a existˆencia de um intervalo aberto Jt0 ⊂ I contendo t0 onde xi ´e decrescente, em particular injetiva, logo α tamb´em ´e.  1.2.2 x0i Comprimento de uma Curva A primeira no¸c˜ ao geom´etrica que definiremos ´e a de comprimento de uma curva. 1.14 Defini¸ c˜ ao. Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada e t0 ∈ I. A fun¸ c˜ ao comprimento de arco de α a partir de t0 ´e a fun¸c˜ ao s : I −→ R definida por Z t s (t) = kα0 (r)k dr t0 Dados t0 , t1 ∈ I, t0 6 t1 , o comprimento do arco da curva de t0 a t1 ´e o n´ umero n˜ao negativo (positivo se t0 < t1 ) Z t1 ` (α ([t0 , t1 ])) = kα0 (t)k dt. t0 O comprimento da curva ´e simplesmente ` (α (I)) e ser´a denotado simplesmente por ` (α).  1.15 Proposi¸ c˜ ao. O comprimento de uma curva n˜ ao depende da parametriza¸c˜ ao. Prova: Sejam α : I −→ Rn , I = [a, b] e β : J −→ Rn , J = [c, d] parametriza¸c˜oes da mesma curva, com f : J −→ I a mudan¸ca de parˆ ametro, de modo que β = α ◦ f . Pela regra da cadeia, β 0 (t) = α0 (f (t)) f 0 (t) , com f 0 6= 0, pois f ´e um difeomorfismo. Consideraremos o caso f 0 > 0, j´a que o outro caso tem demonstra¸c˜ ao an´ aloga. Segue da f´ ormula da mudan¸ca de coordenadas para integrais (i.e., integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao) que Z d ` (β) = ` (β ([c, d])) = kβ 0 (t)k dt c Z d kα0 (f (t))k f 0 (t) dt = c Z b kα0 (s)k ds = ` (α ([a, b])) = ` (α) . = a  1.16 Exemplo (Comprimento do C´ırculo). Utilizando a parametriza¸c˜ao α : [0, 2π] −→ Rn para o c´ırculo de raio R α (t) = (x0 , y0 ) + R (cos t, sen t) , de modo que α0 (t) = R (cos t, sen t) , obtemos Z 0 Z kα (t)k dt = ` (α) = 0  2π 2π R dt = 2πR. 0 Rodney Josu´e Biezuner 8 1.17 Exemplo (Comprimento da Espiral de Arquimedes). A espiral de Arquimedes ´e a trajet´oria de um ponto que se move com velocidade constante em uma reta enquanto esta reta gira em torno de um de seus pontos fixado com velocidade angular constante. Uma parametriza¸c˜ao para a espiral de Arquimedes, considerando o ponto em torno do qual a reta gira como sendo a origem, ´e α (t) = c (t cos t, t sen t) , t > 0, para alguma constante c 6= 0. Temos α0 (t) = c (cos t − t sen t, sen t + t cos t) , de modo que 1/2 kα0 (t)k = c cos2 t − 2t sen t cos t + t2 sen2 t + sen2 t + 2t sen t cos t + t2 cos2 t p = c 1 + t2 . Logo, ` (α ([0, t])) = c Z tp 1 + s2 ds 0  it p ch p = s 1 + s2 + ln s + 1 + s2 2h  i 0 p c p 2 2 = t 1 + t + ln t + 1 + t . 2 Evidentemente, a espiral toda tem comprimento infinito.  1.18 Exemplo (Comprimento da Espiral Logar´ıtmica). A espiral logar´tmica ´e a trajet´oria de um ponto que se move em uma reta com velocidade proporcional `a distˆancia j´a percorrida nesta reta enquanto esta reta gira em torno de um de seus pontos fixado com velocidade angular constante. Em coordenadas polares (r, θ) temos dr = kr, dθ de forma que r (θ) = cekθ . Assim, uma parametriza¸c˜ ao para a espiral logar´ıtmica ´e  α (t) = c ekt cos t, ekt sen t , t ∈ R, para algumas constantes c, k 6= 0. Temos α0 (t) = c kekt cos t − ekt sen t, kekt sen t + ekt cos t  = cekt (k cos t − sen t, k sen t + cos t) , de modo que kα0 (t)k = cekt k 2 cos2 t − 2k sen t cos t + sen2 t + k 2 sen2 t + 2k sen t cos t + cos2 t p = cekt k 2...
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Christopher Reinemann
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— Christopher R., University of Rhode Island '15, Course Hero Intern

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