Calcu_TrascendenTempranas94.pdf - SECCIN 12.3 Lmites y continuidad 911 EJEMPLO 1 Los datos numricos de la tabla de la figura 12.3.1 sugieren que los

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EJEMPLO 1 Los datos numéricos de la tabla de la figura 12.3.1 sugieren que los valores de la función f ( x , y ) xy tienden a 6 conforme x 2 y y 3 de manera simultánea —es decir, conforme ( x , y ) se aproxima al punto (2, 3). Por tanto, resulta natural escribir L¤M . X ; Y / ! . 2 ; 3 / XY H 6 : Z F . X ; Y / D XY X Y (REDONDEADO) 2.2 2.5 5.50000 1.98 3.05 6.03900 2.002 2.995 5.99599 1.9998 3.0005 6.00040 2.00002 2.99995 5.99996 1.999998 3.000005 6.00000 # # # 2 3 6 FIGURA 12.3.1 Datos numéricos del ejemplo 1. Ésta es nuestra idea intuitiva del límite de una función de dos variables. Decimos que el número L es el límite de la función f ( x , y ) conforme ( x , y ) se acerca al punto ( a , b ) y escribimos L¤M . X ; Y / ! . A ; B / F . X ; Y / H , , (1) una vez demostrado que el número f ( x , y ) se acerca a L tanto como queramos con sólo elegir el punto ( x , y ) lo suficientemente próximo —pero no igual— al punto ( a , b ). Para precisar esta idea intuitiva debemos especificar qué tan cerca de L —diga- mos que dentro de la distancia > 0— queremos que esté f ( x , y ), y después lo cercano que debe estar ( a , b ) al punto ( x , y ) a fin de lograr lo anterior. Consideramos que el punto ( x , y ) está cerca de ( a , b ), probado que se halla dentro de un pequeño disco circu- lar (ver la figura 12.3.2) con centro en ( a , b ) y radio δ , donde δ es un número positivo pequeño. El punto ( x , y ) está dentro de este disco si y sólo si . X A / 2 C . Y B / 2 < 0: (2) Esta observación sirve como motivación para conformar la definición formal, con dos condiciones adicionales. La primera es que definimos el límite de f ( x , y ) como ( x , y ) ( a , b ) sólo con la condición de que el dominio de definición de f contenga puntos ( x , y ) H ( a , b ) que estén arbitrariamente cerca de ( a , b ) —es decir, dentro de todo disco de la clase que se muestra en la figura 12.3.2, y por tanto dentro de todas y cada una de las distancias positivas preasignadas a ( a , b )—. Por ello, no hablamos del límite de f en un punto ais- lado de su dominio D . Por último, no requerimos que f esté definida en el punto ( a , b ) en sí, con lo que excluimos en forma deliberada la posibilidad de que ( x , y ) ( a , b ). DEFINICIÓN El límite de f ( x , y ) Decimos que el límite de f ( x , y ) cuando ( x , y ) tiende a ( a , b ) es L , si se demuestra que para todo número > 0 existe un número δ > 0 con la propiedad siguiente: si ( x , y ) es un punto del dominio de f tal que si 0 < . X A / 2 C . Y B / 2 < 0; ( 2 ) ENTONCES SE SIGUE QUE j F . X ; Y / , j : (3) COMENTARIO La desigualdad “adicional” 0 < ( x a ) 2 + ( y b ) 2 en la ecua- ción (2 ) sirve para garantizar que ( x , y ) H ( a , b ). FIGURA 12.3.2 El disco circular con centro en ( a , b ) y radio δ . X Y D ( A , B ) SECCIÓN 12.3 Límites y continuidad 911
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912 CAPÍTULO 12 Diferenciación parcial EJEMPLO 2 La gráfica generada por computadora que aparece en la figura 12.3.3 sugiere que L¤M . X ; Y / ! . 0 ; 0 / SEN . X 2 C Y 2 / X 2 C Y 2 D 1 : Demuestre que esto es verdadero. Solución Aquí, a b 0 y L 1, en la definición de límite. Dado > 0, se debe encontrar un valor δ > 0 tal que 0 < X 2 C Y 2 < 0 IMmLIQUE QUE SEN . X 2 C Y 2 / X 2 C Y 2 1 : Pero el límite para una sola variable que nos es familiar L¤M ` ! 0
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  • Summer '17
  • juan alberto
  • Punto, Derivada, Recta, Tridimensional

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