9c6c8fc5bd-p-282.pdf - entonces P(h1 h2 = h 2 2 2 f x0 y0 =...

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163 entonces ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 0 1 1 2 2 ( , ) ( , ) 2 P h h h f x y Ah Bh h Ch = ∇⋅ = + + . (5) Analicemos el signo de este trinomio de segundo grado para 1 2 ( , ) (0,0) h h h = . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que 2 0 h , entonces 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) 2 h h P h h h A B C h h = + + . El signo del polinomio P es el mismo que el del trinomio de segundo grado en 1 2 h h , cuyo discriminante es 2 B AC . Analicemos los tres casos posibles: a) Si 2 0 B AC < , P no se anulará y tendrá siempre el mismo signo, positivo cuando 0 A > y negativo cuando 0 A < (en este caso A no puede anularse). Luego, el punto 0 0 ( , ) x y es un extremo de f , mínimo en el primer caso y máximo en el segundo. b) Si 2 0 B AC > , entonces P toma valores positivos y también negativos, así que 0 0 ( , ) x y no será punto de extremo de la función f . c) Si 2 0 B AC = , el trinomio P es siempre 0 o 0 y el teorema 8 no se puede aplicar. En este caso solo cabe recurrir a la definición de extremo.
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  • Winter '15
  • Punto, Derivada, Polinomio, Positivo, Negativo

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