C21.pdf - Linear Programming Introduction

C21.pdf - Linear Programming Introduction

This preview shows page 1 out of 14 pages.

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 14 pages?

Unformatted text preview: ‫ﺍﻟﺒﺎﺏ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﺍﻟﺒﺮﻣﺠﺔ ﺍﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪Linear Programming‬‬ ‫‪ ١-٢‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫‪ ٢-٢‬ﺑﻌﺾ ﻧﻤﺎذج اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪ ١-٢‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪Introduction‬‬ ‫ﻧﺪرس ﻓﻲ هﺬا اﻟﺒﺎب ﻋﺪدا ﻣﻦ اﻷﺳﺎﺳﻴﺎت اﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺏﺎﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‪ .‬ﻓﻔﻲ اﻟﺒﺪاﻳﺔ‬ ‫ﺳﻨﺪرس ﺏﺸﻜﻞ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﺏﻌﺾ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺕﻈﻬﺮ ﻓﻲ آﺜﻴﺮ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ وﺳﻨﺪرس ﺏﻌﺾ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ﺏﺸﻜﻞ ﻣﻮﺳﻊ ﻓﻲ اﻟﺒﺎب‬ ‫اﻟﺴﺎدس‪.‬‬ ‫إن ﻣﺴﺄﻟﺔ اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ ﻋﺎدة ﻣﺎ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺤﻮ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪f ( x) = c T x‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪Ax ≥ b‬‬ ‫‪x≥0‬‬ ‫ﺡﻴﺚ ‪ x‬ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻦ ‪ ℜ n‬وآﺬﻟﻚ ‪ . c‬أﻣﺎ ‪ A‬ﻓﻬﻲ ﻣﺼﻔﻮﻓﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪ m × n‬و ‪b‬‬ ‫ﻣﺘﺠﻪ ﻣﻦ ‪ . ℜ m‬إن )‪ f (x‬ﺕﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻬﺪف وهﻲ داﻟﻪ ﺥﻄﻴﻪ و ‪ Ax ≥ b‬هﻲ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻴﻮد ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ﻋﻼﻗﺎت رﻳﺎﺿﻴﺔ ﺥﻄﻴﻪ‪ ،‬ﺏﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذﻟﻚ هﻨﺎك‬ ‫ﺵﺮط ﻋﺪم ﺳﺎﻟﺒﻴﻪ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮات و اﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻨﻪ ﺏـ ‪. x ≥ 0‬‬ ‫‪ ٢-٢‬ﺑﻌﺾ ﻧﻤﺎذج اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪Some linear programming‬‬ ‫‪models‬‬ ‫ﻳﺘﻀﻤﻦ هﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺏﻌﺾ اﻟﻨﻤﺎذج اﻟﺘﻲ ﺕﺒﻴﻦ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‪ .‬وﺳﻮف‬ ‫ﺕﺘﻢ ﺹﻴﺎﻏﺘﻬﺎ ﺏﺸﻜﻞ رﻳﺎﺿﻲ ﻣﻤﺎ ﻳﺘﻴﺢ إﺏﺮاز اﻟﺼﻴﺎﻏﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﻻ ﺕﻄﺒﻴﻘﻴًﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺨﻄﻲ ﺙﻢ ﻧﻨﺘﻘﻞ إﻟﻰ‬ ‫ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‪ .‬ﺳﻨﻌﻄﻲ اﻵن ﻣﺜﺎ ً‬ ‫اﻟﻨﻤﺎذج اﻟﺨﻄﻴﺔ ﺏﻌﺪ ذﻟﻚ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪١-٢-٢‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻌﻴﻨﻪ ﻣﻦ اﻷرض ﻧﻮد أن ﻧﺒﻨﻲ ﻋﺪة ﻣﺴﺎآﻦ‪ ،‬وﻧﻮد أن ﺕﻜﻮن ﺏﻌﺾ‬ ‫هﺬﻩ اﻟﻤﺒﺎﻧﻲ ذات أدوار ﺥﻤﺴﻪ واﻟﺒﻌﺾ اﻵﺥﺮ ذات دورﻳﻦ‪ .‬ﻓﻜﻢ ﻳﻨﺒﻐﻲ أن ﻳﻜﻮن‬ ‫ﻋﺪد اﻟﻨﻮع اﻷول ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻤﺒﺎﻧﻲ وآﻢ ﻳﻨﺒﻐﻲ أن ﻳﻜﻮن ﻋﺪد اﻟﻨﻮع اﻵﺥﺮ آﻲ‬ ‫ﺕﺴﺘﻮﻋﺐ اآﺒﺮ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺴﻜﺎن‪ ،‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت ﻣﺒﻴﻨﻪ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺡﺔ‬ ‫ﺳﺎﻋﺎت‬ ‫ﻋﺪد ﺕﻜﻠﻔﺔ اﻟﻤﺒﻨﻰ‬ ‫اﻟﻼزﻣﺔ‬ ‫اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫اﻟﻮاﺡﺪ‬ ‫اﻷدوار‬ ‫اﻟﻼزﻣﺔ ﻟﻜﻞ ﻟﻜﻞ ﻣﺒﻨﻰ‬ ‫ﻣﺒﻨﻰ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪600,000‬‬ ‫‪200,000‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪600‬‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫اﻟﺴﻜﺎن ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﺒﻨﻰ‬ ‫اﻟﻮاﺡﺪ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫اﻟﻤﺒﺎ‬ ‫ﻧﻲ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫ﺙﻢ إن اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺘﻮﻓﺮ هﻮ‪ 18,000,000 :‬دوﻻرًا وﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ اﻟﻤﺘﻴﺴﺮة ‪4500‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺔ وﻣﺴﺎﺡﺔ اﻷرض اﻟﻜﻠﻴﺔ ﺕﺒﻠﻎ ‪ 42,000‬ﻣﺘﺮًا ﻣﺮﺏﻌًﺎ‪.‬‬ ‫إن اﻟﺼﻴﺎﻏﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ هﻲ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪30 x + 12 y‬‬ ‫‪800 x + 600 y ≤ 42,000‬‬ ‫‪120 x + 60 y ≤ 4500‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪600,000 x + 200,000 y ≤ 18,000,000‬‬ ‫‪ y , x‬ﻋﺪدان ﺹﺤﻴﺤﺎن ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺒﻴﻦ‬ ‫وﻋﻨﺪ ﺡﻞ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻳﺘﺒﻴﻦ أن اﻟﺤﻞ اﻷﻣﺜﻞ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪y = 45, x = 15‬‬ ‫وﻳﺘﺒﻘﻰ ‪ 300m2‬دون أن ﺕﺒﻨﻰ‪.‬‬ ‫‪ ١-٢-٢‬اﻟﻨﻤﻮذج اﻷول )ﻣﺴﺄﻟﺔ اﻟﺘﻐﺬیﺔ(‬ ‫ﺕﻮد إدارة اﻟﺨﺪﻣﺎت ﻓﻲ إﺡﺪى اﻟﻤﺆﺳﺴﺎت ﺕﺄﻣﻴﻦ وﺝﺒﻪ ﻏﺬاﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻗﺎﺋﻤﻪ ﺕﺤﺘﻮي‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻧﻮع ﻣﻦ أﻻﻃﻌﻤﺔ ﺏﺤﻴﺚ ﺕﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ آﻤﻴﺎت ﻣﻌﻴﻨﻪ ﻣﻦ ‪ m‬ﻧﻮع ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻨﺎت وﺕﻜﻮن ﺕﻜﻠﻔﺔ اﻟﻮﺝﺒﺔ اﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪ .‬ﻟﻨﺮﻣﺰ ﺏـ ‪ aij‬ﻟﻜﻤﻴﺔ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻦ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﻮع ‪ i‬ﻓﻲ وﺡﺪة اﻟﻄﻌﺎم ‪ ، j‬وﻟﻨﺮﻣﺰ ﺏـ ‪ bi‬ﻟﻜﻤﻴﺔ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ‪ i‬اﻟﺘﻲ‬ ‫ﻳﺠﺐ أن ﺕﺤﺘﻮﻳﻬﺎ اﻟﻮﺝﺒﺔ‪ ،‬و ﻟﻨﺮﻣﺰ ‪ c j‬ﻟﺘﻜﻠﻔﺔ اﻟﻮﺡﺪة ﻣﻦ اﻟﻄﻌﺎم ‪ . j‬واﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫هﻮ ﺕﺤﺪﻳﺪ اﻟﻜﻤﻴﻪ ‪ x j‬ﻣﻦ ﻧﻮع اﻟﻄﻌﺎم ‪ j‬ﺏﺤﻴﺚ ﺕﻜﻮن ﺡﻼ ﻟﻠﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫‪The Diet Problem‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑c x‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪i = 1," , m‬‬ ‫‪j = 1," , n‬‬ ‫‪≥ bi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑a x‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪xj ≥ 0‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜﺎل اذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت آﻤﺎ هﻲ ﻣﺒﻴﻨﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻦ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺕﻜﻠﻔﺔ اﻟﻮﺡﺪة‬ ‫‪١١‬‬ ‫آﻤﻴﺔ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻦ اﻟﻤﺘﻮﻓﺮﻩ وﺡﺪة اﻟﻄﻌﺎم‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﺏﻴﺾ‬ ‫ﻟﺤﻢ‬ ‫ﺡﻠﻴﺐ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪3‬‬ ‫آﻤﻴﺔ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻦ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻳﺠﺐ‬ ‫ﺕﻮﻓﺮهﺎ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إن اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺨﻄﻲ اﻟﺨﺎص ﺏﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ هﻮ ‪:‬‬ ‫‪2 x1 + 3x2 + x3‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪10 x1 + 15x2 + 10 x3 ≥ 20‬‬ ‫‪100 x1 + 10 x2 + 10 x3 ≥ 50‬‬ ‫‪10 x1 + 100 x2 + 10 x3 ≥ 10‬‬ ‫‪x1 , x2 , x3 ≥ 0‬‬ ‫ﺡﻴﺚ ‪ x1‬ﺕﻤﺜﻞ ﻋﺪد اﻟﻠﺘﺮات ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻴﺐ و ‪ x2‬ﺕﻤﺜﻞ آﻤﻴﺔ اﻟﻠﺤﻢ ﺏﺎﻟﻜﻴﻠﻮﻏﺮام‬ ‫و ‪ x3‬ﺕﻤﺜﻞ ﻋﺪد اﻟﺒﻴﺾ‪.‬‬ ‫‪ ٢-٢-٢‬اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺜﺎﻧﻲ )ﻣﺴﺄﻟﺔ اﻹﻧﺘﺎج( ‪The Production Problem‬‬ ‫ﻣﺼﻨﻊ ﻳﻨﺘﺞ ‪ n‬ﺹﻨﻔﺎ و ﻳﺤﺘﺎج ﻓﻲ ﺳﺒﻴﻞ ذﻟﻚ إﻟﻰ ‪ m‬ﻣﻦ اﻟﻤﻮاد اﻟﺨﺎم‪ .‬آﻞ‬ ‫ﺹﻨﻒ ﻳﺤﺘﺎج إﻟﻰ آﻤﻴﺔ ﻣﻌﻴﻨﻪ ﻣﻦ آﻞ ﻣﺎدة ﺥﺎم‪ .‬ﻟﻨﺮﻣﺰ ﺏـ ‪ aij‬إﻟﻰ آﻤﻴﺔ اﻟﻤﺎدة‬ ‫اﻟﺨﺎم ‪ i‬اﻟﺘﻲ ﺕﺤﺘﺎﺝﻬﺎ اﻟﻮﺡﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ ‪ . j‬وﻟﺘﻜﻦ ‪ bi‬هﻲ اﻟﻜﻤﻴﺔ اﻟﻤﺘﻮﻓﺮة‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﺎدة ‪ i‬وﻟﻨﻔﺘﺮض أ ن ‪ c j‬هﻮ رﺏﺢ اﻟﻮﺡﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨ ﻒ ‪ j‬واﻟﻤﻄﻠﻮب هﻮ‬ ‫ﺕﻌﻴﻴﻦ اﻟﻜﻤﻴﻪ‬ ‫ﺏﺤﻴﺚ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻣﺎﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺼﻨﻒ اﻟﻤﻨﺘﺞ‬ ‫‪xj‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑c x‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪max‬‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪i = 1," , m‬‬ ‫‪≤ bi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑a x‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪j = 1," , n‬‬ ‫‪xj ≥ 0‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜﺎل ﻟﻨﺄﺥﺬ اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت اﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺎدة اﻟﺨﺎم‬ ‫اﻟﺼﻨﻮﺏﺮ‬ ‫اﻟﺴﻨﺪﻳﺎن‬ ‫ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫اﻟﺮﺏﺢ ﻓﻲ‬ ‫وﺡﺪة اﻟﺼﻨﻒ‬ ‫آﻤﻴﺔ اﻟﻤﺎدة‬ ‫اﻟﺨﺎم‬ ‫اﻟﻜﺮﺳﻲ‬ ‫اﻟﻼزم‬ ‫ﻹﻧﺘﺎج‬ ‫اﻟﻄﺎوﻟﺔ‬ ‫وﺡﺪة ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺼﻨﻒ‬ ‫اﻟﺪوﻻب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪160‬‬ ‫‪210‬‬ ‫آﻤﻴﺔ اﻟﻤﺎدة‬ ‫اﻟﺨﺎم‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﻓﺮة‬ ‫‪100‬‬ ‫إن اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺨﻄﻲ اﻟﺨﺎص ﺏﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ هﻮ ‪:‬‬ ‫‪160 x1 + 210 x2 + 100 x3‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪3x1 + 4 x 2 + 2 x 3 ≤ 57‬‬ ‫‪2 x1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 27‬‬ ‫‪4 x1 + 5x 2 + 4 x 3 ≤ 73‬‬ ‫ﺡﻴﺚ ‪x1‬‬ ‫‪ x1 , x 2 , x 3‬أﻋﺪاد ﺹﺤﻴﺤﺔ ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺒﻪ‬ ‫ﺕﻤﺜﻞ ﻋﺪد اﻟﻜﺮاﺳﻲ و ‪ x2‬ﺕﻤﺜﻞ ﻋﺪد اﻟﻄﺎوﻻت و ‪ x3‬ﺕﻤﺜﻞ ﻋﺪد‬ ‫اﻟﺪواﻟﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪ ٣-٢-٢‬اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺜﺎﻟﺚ )ﻣﺴﺄﻟﺔ اﻟﻨﻘﻞ(‬ ‫‪The Transportation problem‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ﻓﻲ اﺡﺪى اﻟﺪول ﻳﻮﺝﺪ ‪ m‬ﻓﺮع ﻟﻤﺼﻨﻊ ﺳﻜﺮ‪ .‬اﻟﻔﺮع ‪ i‬ﻳﻨﺘﺞ ‪ ai‬ﻃﻨﺎ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺴﻜﺮ‪ .‬ﺕﻮزع آﻤﻴﺎت اﻟﺴﻜﺮ هﺬﻩ ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻣﻨﻄﻘﻪ‪ .‬اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ j‬ﺕﺤﺘﺎج إﻟﻰ‬ ‫ﻃﻨﺎ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﺮ ﻓﻲ اﻟﺸﻬﺮ اﻟﻮاﺡﺪ‪ .‬وﻟﻨﻔﺘﺮض أن آﻤﻴﺎت اﻟﺴﻜﺮ‬ ‫‪bj‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺘﺠﺔ ﺕﺴﺘﻬﻠﻚ ﺝﻤﻴﻌﻬﺎ أي أن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪∑ ai = ∑ b j‬‬ ‫ﻟ ﻴﻜﻦ ‪ cij‬ه ﻲ ﺕﻜﻠﻔ ﺔ ﻧﻘ ﻞ ﻃ ﻦ واﺡ ﺪ ﻣ ﻦ اﻟﻔ ﺮع ‪ i‬إﻟ ﻰ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﺔ ‪. j‬‬ ‫واﻟﻤﻄﻠ ﻮب ه ﻮ ﺕﺤﺪﻳ ﺪ آﻤﻴ ﺔ اﻟ ﺴﻜﺮ ‪ xij‬اﻟﺘ ﻲ ﻳﻨﺒﻐ ﻲ ﻧﻘﻠﻬ ﺎ ﻣ ﻦ اﻟﻤ ﺼﻨﻊ ‪i‬‬ ‫إﻟ ﻰ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﺔ ‪ j‬ﺏﺤﻴ ﺚ ﺕﻜ ﻮن ﺕﻜﻠﻔ ﺔ اﻟﻨﻘ ﻞ اﻟﻜﻠﻴ ﺔ أﻗ ﻞ ﻣ ﺎ ﻳﻤﻜ ﻦ‪ .‬ﺏﻤﻌﻨ ﻰ أﻧ ﻪ‬ ‫ﻋﻠﻴﻨﺎ أن ﻧﺤﻘﻖ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪∑ ∑c x‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪ij ij‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪i = 1," , m‬‬ ‫‪= ai‬‬ ‫‪j = 1," , n‬‬ ‫‪= bj‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪∑x‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪i = 1," , m, j = 1," , n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪∑x‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪xij ≥ 0‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﺕﻢ ﺕﻄﺒﻴﻖ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻓﻌﻼ ﻓﻲ إﺡﺪى اﻟﺪول و أدى ذﻟﻚ إﻟﻰ ﺕﻮﻓﻴﺮ ﻓﻲ ﺕﻜﻠﻔﺔ‬ ‫اﻟﻨﻘﻞ ﺕﻌﺎدل ‪.%١٠‬‬ ‫‪ ٤-٢-٢‬اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺮاﺑﻊ )ﻣﺴﺄﻟﺔ اﻟﺘﻮﻇﻴﻒ(‬ ‫هﺬا اﻟﻨﻤﻮذج ﻳﺸﺒﻪ ﻧﻤﻮذج اﻟﻨﻘﻞ إﻻ أن ﻗﻴﻢ ‪ bi , ai‬هﻨﺎ ﺕﺴﺎوي اﻟﻮاﺡﺪ‪ .‬ﻓﻌﻠﻲ‬ ‫ﺳﺒﻴﻞ اﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬هﻨﺎك ﺙﻼﺙﺔ أﺳﺎﺕﺬة ﻳﺪرﺳﻮن ﺙﻼﺙﺔ ﻣﻘﺮرات آﻞ واﺡﺪ ﻣﻦ هﺆﻻء‬ ‫‪The Assignment Problem‬‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٤‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺕﺬة ﻳﺼﺤﺢ أوراق اﺥﺘﺒﺎر أﺡﺪ هﺬﻩ اﻟﻤﻘﺮرات‪ ،‬وﻟﻨﻔﺮض أن ‪ cij‬هﻮ اﻟﺰﻣﻦ‬ ‫اﻟﻼزم ﻟﻸﺳﺘﺎذ ‪ i‬آﻲ ﻳﺼﺤﺢ أوراق اﻟﻤﻘﺮر ‪ j‬وﻓﻘﺎ ﻟﻠﺠﺪول اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺮر‬ ‫اﻷﺳﺘﺎذ‬ ‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪2‬‬ ‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺮر‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺮر‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫واﻟﺴﺆال هﻮ آﻴﻒ ﻳﺠﺐ أن ﺕﻨﻈﻢ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﺼﺤﻴﺢ هﺬﻩ آﻲ ﻳﻜﻮن زﻣﻦ اﻟﺘﺼﺤﻴﺢ‬ ‫اﻟﻜﻠﻲ أﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ اذا آﺎن‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻘﻮم اﻻﺳﺘﺎذ ‪ i‬ﺏﺘﺼﺤﻴﺢ اﻟﻤﻘﺮر‬ ‫‪⎧1‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨ = ‪xij‬‬ ‫‪⎪0‬‬ ‫⎩‬ ‫‪j‬‬ ‫ﻓﻴﻤﺎ ﻋﺪا ذﻟﻚ‬ ‫ﻓﺈن اﻟﺼﻴﺎﻏﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺕﺄﺥﺬ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫اﻵﺕﻲ‪:‬‬ ‫‪6 x11 + 4 x12 + 8 x13 + 9 x21 + 3x22 +‬‬ ‫‪6 x23 + 5x31 + 2 x32 + 7 x33‬‬ ‫‪s. t.‬‬ ‫‪x11 + x12 + x13‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x21 + x22 + x23‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪x31 + x32 + x33 = 1‬‬ ‫‪+ x31‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪+ x33 = 1‬‬ ‫‪+ x21‬‬ ‫‪+ x32‬‬ ‫‪x11‬‬ ‫‪+ x22‬‬ ‫‪+ x23‬‬ ‫‪x12‬‬ ‫‪x13‬‬ ‫‪x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ≥ 0‬‬ ‫‪min‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ﺕﻤﺎریﻦ اﻟﺒﺎب اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪ ١-٢‬ﺵﺮآﻪ ﻹﻧﺘﺎج ﻣﻮاد اﻟﺒﻼﺳﺘﻴﻚ ﺕﺮﻳﺪ إﻧﺘﺎج ﻣﻨﺘﺞ ﺝﺪﻳﺪ ﻣﻦ أرﺏﻌﺔ ﻣﺮآﺒﺎت‬ ‫آﻴﻤﻴﺎﺋﻴﻪ‪ .‬هﺬﻩ اﻟﻤﺮآﺒﺎت ﻣﻜﻮﻧﻪ ﻣﻦ ﺙﻼث ﻣﻮاد هﻲ ‪ B, A‬و‪ .C‬ﻧﺴﺐ‬ ‫اﻟﻤﻮاد ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﻤﺮآﺒﺎت وﺕﻜﻠﻔﺘﻬﺎ ﻣﻌﻄﺎة ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺮآﺐ اﻟﻜﻴﻤﻴﺎﺋﻲ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ‪ A‬ﻓﻲ اﻟﻤﺮآﺐ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﻤﺮآﺐ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ ‪ C‬ﻓﻲ اﻟﻤﺮآﺐ‬ ‫اﻟﺘﻜﻠﻔﻪ‪ /‬اﻟﻜﻴﻠﻮ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫اﻟﻤﻨﺘﺞ اﻟﺠﺪﻳﺪ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ %20‬ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ A‬وﻳﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ‪%30‬‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ B‬وﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ‪ %20‬ﻣﻦ ﻣﺎدﻩ ‪ .C‬وﺏﺴﺒﺐ اﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎت‬ ‫اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻓﺈن ﻧﺴﺒﺔ اﻟﻤﺮآﺒﺎت ‪ 1‬و‪ 2‬ﻳﺠﺐ أن ﻻﺕﺘﻌﺪى ‪ %٢٠‬و‪%٣٠‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺘﺞ اﻟﺠﺪﻳﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪ .‬أآﺘﺐ اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ﻷﻧﺘﺎج اﻟﻤﻨﺘﺞ اﻟﺠﺪﻳﺪ ﺏﺄﻗﻞ ﺕﻜﻠﻔﻪ‪.‬‬ ‫‪ ٢-٢‬ﻣﺼﻨﻊ ﻳﻨﺘﺞ ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺮوﺏﺎت ﻧﻮع ‪ 1,2‬آﻞ ﻧﻮع ﻣﻦ هﺬﻩ‬ ‫اﻟﻤﺸﺮوﺏﺎت ﻳﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻣﺎدﺕﻴﻦ ‪ .A,B‬ﻹﻧﺘﺎج ﺹﻔﻴﺤﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺸﺮوب ‪١‬‬ ‫ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ 5‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ A‬و‪ 5‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ B‬وﻹﻧﺘﺎج ﺹﻔﻴﺤﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺮوب ‪ 2‬ﻧﺤﺘﺎج إﻟﻰ ‪ 3‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ A‬و‪ 11‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪،B‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻨﻊ ﻳﺴﺘﻄﻴﻊ ﺕﻮﻓﻴﺮ ‪ 30‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ A‬و‪ 55‬ﻟﺘﺮًا ﻣﻦ ﻣﺎدة ‪ B‬ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻴﻮم وآﺬﻟﻚ اﻟﻤﺼﻨﻊ ﻗﺮر ﺏﻨﺎءًا ﻋﻠﻰ ﻃﻠﺐ ﺵﺮآﺎت اﻟﺘﻮزﻳﻊ أن ﻻﻳﻨﺘﺞ‬ ‫أآﺜﺮ ﻣﻦ أرﺏﻊ ﺹﻔﺎﺋﺢ ﻳﻮﻣﻴ ًﺎ ﻟﻠﻤﺸﺮوب‪ .‬إذا آﺎن رﺏﺢ اﻟﻤﺸﺮوب ‪ 1‬هﻮ ‪3‬‬ ‫رﻳﺎل ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ ورﺏﺢ اﻟﻤﺸﺮوب ‪ 3‬هﻮ ‪ 4‬رﻳﺎل ﻟﺼﻔﻴﺤﺔ‪ .‬آﻢ ﺹﻔﻴﺤﺔ‬ ‫ﻳﻨﺘﺠﻮن ﻟﻴﺤﺼﻠﻮا ﻋﻠﻰ أآﺒﺮرﺏﺢ‪.‬‬ ‫اآﺘﺐ ﺏﺮﻧﺎﻣﺞ ﺥﻄﻲ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٦‬‬ ‫‪ ١-٢‬ﻣﺰارع ﻳﻤﻠﻚ ﻣﺰرﻋﺔ ﻣﺴﺎﺡﺘﻬﺎ ‪ 1200‬ﻓﺪان ﺕﻨﺘﺞ هﺬﻩ اﻟﻤﺰرﻋﺔ ﻗﻤﺢ‪،‬‬ ‫ﺏﻄﺎﻃﺲ وﺏﺎزﻻء آﻞ ﻧﻮع ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻤﺤﺎﺹﻴﻞ ﻳﻌﻄﻲ رﺏﺢ ﻣﺤﺪد‪ ،‬وﻳﺤﺘﺎج‬ ‫إﻟﻰ ﺳﺎﻋﺎت ﻋﻤﻞ وﺕﻨﻘﻴﺔ وﺕﺴﻤﻴﺪ وﺏﺬر ﺡﺴﺐ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮ ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ل‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻗﻤﺢ‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺏﻄﺎﻃﺲ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺏﺎزﻻء‬ ‫ﺕﻜﻠﻔﺔ اﻟﺘﻨﻘﻴﺔ‬ ‫ﺕﻜﻠﻔﺔ‬ ‫اﻟﺘﺴﻤﻴﺪ‬ ‫ﺕﻜﻠﻔﺔ اﻟﺒﺬر‬ ‫ﺙﻤﻦ‬ ‫اﻟﺒﻴﻊ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪144‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪75‬‬ ‫ﻻ و‪ 7400‬ﺳﺎﻋﺔ ﻋﻤﻞ‪.‬‬ ‫اذا ﺕﻮﻓﺮ ﻟﺪى اﻟﻤﺰارع ‪ 3600‬رﻳﺎ ً‬ ‫ﻓﺎآﺘﺐ اﻟﻨﻤﻮذج اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ ٤-٢‬ﻓﻲ ﻣﺰرﻋﺔ ﺕﺮﺏﻰ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺒﻘﺮ واﻟﺨﺮاف هﻨﺎك ﺥﻤﺴﻮن ﻣﻮﻗﻌًﺎ ﻟﻠﺒﻘﺮ‬ ‫وﻣﺌﺘﺎن ﻟﻠﺨﺮاف ﺕﻤﺘﺪ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﺡﺔ ﻣﻘﺪارهﺎ ‪ 50‬هﻜﺘﺎر‪ .‬ﺕﺤﺘﺎج اﻟﺒﻘﺮة‬ ‫اﻟﻮاﺡﺪة إﻟﻰ هﻜﺘﺎر واﺡﺪ وﺕﺤﺘﺎج اﻟﺨﺮاف إﻟﻰ ‪ 0.2‬هﻜﺘﺎر‪ .‬إن ﻋﺪد‬ ‫ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ اﻟﻤﺘﺎﺡﺔ ﺳﻨﻮﻳُﺎ ﺕﻘﺪر ﺏـ ‪ 10000‬ﺳﺎﻋﺔ وﻳﻠﺰم ﻟﻠﺒﻘﺮة اﻟﻮاﺡﺪة‬ ‫‪ 150‬ﺳﺎﻋﺔ ﻋﻤﻞ ﺳﻨﻮﻳًﺎ وﻳﻠﺰم ﻟﻠﺨﺮوف اﻟﻮاﺡﺪة ‪ 25‬ﺳﺎﻋﺔ ﻋﻤﻞ ﺳﻨﻮﻳًﺎ‪ .‬إن‬ ‫ﻻ وﻋﻦ آﻞ ﺥﺮوف ‪ 45‬رﻳﺎل‪.‬‬ ‫اﻟﺮﺏﺢ اﻟﺼﺎﻓﻲ ﻋﻦ آﻞ ﺏﻘﺮة ﻳﺒﻠﻎ ‪ 250‬رﻳﺎ ً‬ ‫وﻳﺘﻌﻴﻦ ﺕﺤﺪﻳﺪ ﻋﺪد اﻟﺒﻘﺮ ‪ x1‬وﻋﺪد اﻟﺨﺮاف ‪ x 2‬ﺏﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﻟﺮﺏﺢ‬ ‫اﻹﺝﻤﺎﻟﻲ أﻋﻈﻢ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪ ٥-٢‬ﻋﻠﻰ أرض زراﻋﻴﺔ ﻳﺮاد زراﻋﺔ ﺏﻄﺎﻃﺲ وﺝﺰر‪ .‬ﺏﻌﺾ اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺎت‬ ‫اﻟﺨﺎﺹﺔ ﺏﺬﻟﻚ ﻣﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺮﺏﺢ‬ ‫ﻋﺪد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﺕﻜﺎﻟﻴﻒ‬ ‫اﻟﺼﺎﻓﻲ‬ ‫ﻟﻬﻜﺘﺎر واﺡﺪ‬ ‫زراﻋﺔ هﻜﺘﺎر‬ ‫ﻟﻬﻜﺘﺎر‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺏﻄﺎﻃﺲ‬ ‫‪60‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺝﺰر‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٧‬‬ ‫إن اﻟﻤﺴﺎﺡﺔ ‪ x1‬اﻟﺘﻲ ﺳﺘﺰرع ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺒﻄﺎﻃﺲ واﻟﻤﺴﺎﺡﺔ ‪ x2‬اﻟﺘﻲ ﺳﺘﺰرع‬ ‫ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺠﺰر‪ ،‬ﺳﻮف ﻳﺘﻢ ﺕﺤﺪﻳﺪهﻤﺎ ﺏﺤﻴﺚ ﻳﺼﺒﺢ اﻟﺮﺏﺢ اﻷﺝﻤﺎي أﻗﺼﻰ‬ ‫ﻣﺎﻳﻤﻜﻦ‪ ،‬ﻋﻠﻤًﺎ أن هﻨﺎك ‪ 1200‬هﻜﺘﺎر ﺕﺤﺖ اﻟﺘﺼﺮف وأن اﻟﻤﺒﻠﻎ‬ ‫اﻟﻤﺨﺼﺺ ‪ 7000‬رﻳﺎل وﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ ‪.5200‬‬ ‫‪ ٦-٢‬ﻟﻨﻔﺮض أن هﻨﺎك ﺙﻤﺎن ﺵﺎﺡﻨﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺤﻄﺔ ‪ A‬وﺳﺖ ﺵﺎﺡﻨﺎت ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﺤﻄﺔ ‪ .B‬اﻟﻤﺪﻳﻨﺔ ‪ M‬ﺏﺤﺎﺝﺔ إﻟﻰ أرﺏﻊ ﺵﺎﺡﻨﺎت واﻟﻤﺪﻳﻨﺔ ‪ N‬ﺏﺤﺎﺝﺔ إﻟﻰ‬ ‫ﺳﺒﻊ ﺵﺎﺡﻨﺎت‪ .‬آﻴﻒ ﻳﻤﻜﻦ ﺕﺤﻘﻴﻖ ذﻟﻚ ﺏﻴﻦ اﻟﻤﺤﻄﺘﻴﻦ واﻟﻤﺪﻳﻨﺘﻴﻦ آﻲ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﺳﺘﻬﻼك اﻟﺒﻨﺰﻳﻦ أﻗﻞ ﻣﺎﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ٧-٢‬ﻧﻮﻋﺎن ﻣﻦ اﻟﻄﻌﺎم‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻨﺎت‪:‬‬ ‫‪B,A‬‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي آﻞ آﻴﻠﻮﻏﺮام ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﻤﻴﺎت‬ ‫ﻓﻴﺘﺎﻣﻴﻦ‬ ‫ﻓﻴﺘﺎﻣﻴﻦ ‪X‬‬ ‫ﻓﻴﺘﺎﻣﻴﻦ ‪Y‬‬ ‫ﻓﻴﺘﺎﻣﻴﻦ ‪Z‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪2.0‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪3.0‬‬ ‫‪1.0‬‬ ‫ﻧﻮد أن ﻧﻜﻮن وﺝﺒﺔ ﻳﻮﻣﻴﺔ ﻣﻦ هﺬﻳﻦ اﻟﻨﻮﻋﻴﻦ ذات ﺕﻜﻠﻔﺔ ﺹﻐﺮى ﺏﺤﻴﺚ‬ ‫ﺕﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﻤﻴﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻴﺘﺎﻣﻴﻨﺎت‪:‬‬ ‫‪V=140; X=300; Y=270; Z=300.‬‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ أن ﺙﻤﻦ اﻟﻨﻮع‬ ‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫هﻮ ﺿﻌﻔﻲ ﺙﻤﻦ اﻟﻨﻮع ‪ .B‬اآﺘﺐ اﻟﻨﻤﻮذج‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪ ٨-٢‬ﻳﺮاد ﺏﻨﺎء ﻣﺴﺠﺪ ﺝﺪﻳﺪ ﺏﺎﻟﻘﺮب ﻣﻦ أرﺏﻌﺔ ﻣﻨﺎزل ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﻮاﻗﻊ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫⎞‪⎛ 3⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −2⎞ ⎛ 1‬‬ ‫‪⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟,‬‬ ‫⎠‪⎝ 0⎠ ⎝ −3⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 4‬‬ ‫⎞ ‪⎛x‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﻤﺴﺠﺪ هﻮ ⎟ ‪ . ⎜ 1‬أﻳﻦ ﻳﺠﺐ ﺏﻨﺎؤﻩ إذا ﻣﺎ أُرﻳﺪ أن ﻳﻜﻮن‬ ‫ﻣﺤﻤﻮع اﻟﻤﺴﺎﻓﺎت ﺏﻴﻦ ها اﻟﻤﺴﺠﺪ وﺏﻴﻦ اﻟﻤﻨﺎزل اﻷرﺏﻌﺔ أﻗﻞ ﻣﺎﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫ﻼ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺏﻴﻦ‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‪ :‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻤﻘﺼﻮدة هﻲ ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﺸﺎرع‪ ،‬ﻓﻤﺜ ً‬ ‫⎞ ‪⎛x‬‬ ‫⎠ ‪⎝ x2‬‬ ‫⎞‪⎛ 3‬‬ ‫⎠‪⎝ 0‬‬ ‫⎟ ‪ ⎜ 1‬وﺏﻴﻦ ⎟ ⎜ هﻲ‪:‬‬ ‫‪. x1 − 3 + x2‬‬ ‫‪ ٩-٢‬ﻣﺼﻨﻊ ﻳﻨﺘﺞ ﺵﻨﻄًﺎ وﻃﺎوﻻت‪ ،‬إن اﻧﺠﺎز ذﻟﻚ ﻳﺘﻄﻠﺐ اﺝﺮاء ﺙﻼﺙﺔ اﻧﻮاع‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‪ :‬اﻟﻘﻄﻊ‪ ،‬اﻟﺘﺠﻤﻴﻊ‪ ،‬اﻟﺘﺠﻬﻴﺰ‪ ،‬اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺿﺢ اﻟﺰﻣﻦ‬ ‫اﻟﻼزم ﻟﻜﻞ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻹﻧﺘﺎج ﺵﻨﻄﺔ واﺡﺪة أو ﻃﺎوﻟﺔ‬ ‫واﺡﺪة‪.‬‬ ‫اﻟﺸﻨﻄﺔ‬ ‫اﻟﻄﺎوﻟﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﺘﺠﻤﻴﻊ‬ ‫اﻟﺘﺠﻬﻴ‬ ‫ز‬ ‫‪6/5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3/2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻻ وﻟﻠﻄﺎوﻟﺔ اﻟﻮاﺡﺪة‬ ‫إن اﻟﺮﺏﺢ اﻟﺼﺎﻓﻲ ﻟﻠﺸﻨﻄﺔ اﻟﻮﺡﺪة هﻮ ‪ 80‬رﻳﺎ ً‬ ‫رﻳﺎ ً‬ ‫ﻻ‪ .‬ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ اﻟﻤﺘﺎﺡﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ ﻻﺕﺘﺠﺎوز ‪ 72‬ﺳﺎﻋﺔ‬ ‫ﻳﻮﻣﻴًﺎ وﻟﻠﺘﺠﻤﻴﻊ ‪ 50‬ﺳﺎﻋﺔ ﻳﻮﻣﻴًﺎ وﻟﻠﺘﺠﻬﻴﺰ ‪ 120‬ﺳﺎﻋﺔ‪ .‬واﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻋﺪد اﻟﺸﻨﻂ اﻟﻤﺼﻨﻌﺔ وآﺬﻟﻚ ﻋﺪد اﻟﻄﺎوﻻت آﻲ ﻳﻜﻮن اﻟﺮﺏﺢ اﻷﺝﻤﺎﻟﻲ‬ ‫أﻋﻈﻢ ﻣﺎﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫اﻟﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪ ١٠-٢‬ﺳﺒﻊ ﻓﺮوع ﻷﺡﺪ ﻣﺼﺎﻧﻊ ﻟﻠﺴﻜﺮ ‪ F j‬ﺕﻨﺘﺞ ‪ a j‬ﻃﻨًﺎ آﻞ ﺵﻬﺮ‬ ‫)‪ ( j = 1,K ,7‬هﻨﺎك ‪ 300‬ﻣﻮﻗﻊ ‪ Gk‬ﺕﺴﺘﻬﻠﻚ ‪ rk‬ﻃﻨًﺎ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﺮ‬ ‫‪300‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪g =1‬‬ ‫)‪ ( k = 1,K ,300‬ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ . ∑ a j = ∑ rk‬ﻟﻨﺮﻣﺰ ﻟﻨﻜﻠﻔﺔ ﻧﻘﻞ ﻃﻦ‬ ‫واﺡﺪ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﺮ ﻣﻦ اﻟﻔﺮع ‪ F j‬إﻟﻰ اﻟﻤﻮﻗﻊ ‪ Gk‬ﺏﺎﻟﺮﻣﺰ ‪. c jk‬‬ ‫واﻟﻤﻄﻠﻮب آﺘﺎﺏﺔ اﻟﺒﺮﻧﺎﻣﺞ اﻟﺨﻄﻲ اﻟﺬي ﻳﺘﻢ ﻣﻦ ﺥﻼﻟﻪ ﺕﻌﻴﻴﻦ آﻤﻴﺔ اﻟﺴﻜﺮ‬ ‫‪ x jk‬اﻟﺘﻲ ﻳﻨﺒﻐﻲ ﻧﻘﻠﻬﺎ ﻣﻦ اﻟﻔﺮع ‪ F j‬إﻟﻰ اﻟﻤﻮﻗﻊ ‪ . Gk‬ﺏﺤﻴﺚ ﺕﻜﻮن‬ ‫ﺕﻜﺎﻟﻴﻒ اﻟﻨﻘﻞ أﻗﻞ ﻣﺎﻳﻤﻜﻦ‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮد اﺳﺘﺜﻤﺎرهﺎ ﻓﻲ ﺙﻼﺙﺔ أﻧﻮاع ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻊ‪،‬‬ ‫‪ ١٠-٢‬ﺵﺨﺺ ﻳﻤﺘﻠﻚ ‪ 18000‬رﻳﺎ ً‬ ‫اﺡﺪاهﺎ ذات ﻣﺠﺎزﻓﺔ ﺏﺴﻴﻄﺔ واﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات ﻣﺠﺎزﻓﺔ ﻣﺘﻮﺳﻄﺔ أﻣﺎ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫ﻻ أآﺜﺮ ﻓﻲ‬ ‫ﻓﻬﻲ ذات ﻣﺠﺎزﻓﺔ ﻋﺎﻟﻴﺔ‪ .‬وهﻮ ﺳﻮف ﻳﺴﺘﺜﻤﺮ ‪ 2000‬رﻳﺎ ً‬ ‫اﻟﺴﻠﻌﺔ ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻌﺔ ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ‪.‬‬ ‫وﺳﻮف ﻳﺴﺘﺜﻤﺮ ﻋﻠﻰ اﻷآﺜﺮ ﻣﺒﻠﻎ ‪ 8000‬ﻓﻲ اﻟﺴﻠﻌﺔ ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ‬ ‫ﻻ ﻋﻠﻰ اﻷآﺜﺮ ﻓﻲ اﻟﺴﻠﻌﺘﻴﻦ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ واﻟﻌﺎﻟﻴﺔ‬ ‫اﻟﻜﺒﻴﺮة‪ .‬و‪ 14000‬رﻳﺎ ً‬ ‫اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ‪ .‬إن اﻟﻌﺎﺋﺪ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻌﺔ ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ اﻟﺒﺴﻴﺔ هﻮ‬ ‫‪ ،7%‬و‪ 9%‬ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻌﺔ ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ‪ ،‬و‪ 11%‬ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻌﺔ‬ ‫ذات اﻟﻤﺠﺎزﻓﺔ واﻟﻌﺎﻟﻴﺔ‪ .‬واﻟﻤﻄﻠﻮب ﻣﻌﺮﻓﺔ اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﺬي ﻳﻨﺒﻐﻲ اﺳﺘﺜﻤﺎرﻩ‬ ‫ﻓﻲ آﻞ ﻧﻮع ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺴﻠﻊ واﻟﻌﺎﺋﺪ اﻟﻤﺎﻟﻲ اﻟﺬي ﻳﺘﻮﻗﻊ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪ ١٢-٢‬ﺕﺴﺘﻮرد ﻣﺼﻔﺎة ﺏﺘﺮول ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺰﻳﺖ اﻟﺨﺎم‪ ،‬ﺥﻔﻴﻒ ﺳﻌﺮﻩ‬ ‫دوﻻرًا ﻟﻠﺒﺮﻣﻴﻞ وﺙﻘﻴﻞ ﺳﻌﺮﻩ ‪ 20‬دوﻻرًا ﻟﻠﺒﺮﻣﻴﻞ‪ .‬ﺕﻨﺘﺞ هﺬﻩ اﻟﻤﺼﻔﺎة‬ ‫ﻏﺎزوﻟﻴﻦ‪ ،‬وزﻳﺖ ﻟﻠﺘﺪﻓﺌﺔ وﺏﻨﺰﻳﻦ ﺏﻜﻤﻴﺎت ﻟﻠﺒﺮﻣﻴﻞ اﻟﻮاﺡﺪ ﻣﻮﺿﺤﺔ‬ ‫ﺡﺴﺐ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫زﻳﺖ ﺥﻔﻴﻒ‬ ‫زﻳﺖ ﺙﻘﻴﻞ‬ ‫ﻏﺎزوﻟﻴﻦ‬ ‫زﻳﺖ ﻟﻠﺘﺪﻓﺌﺔ‬ ‫ﺏﻨﺰﻳﻦ‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫اﻷﺳﺲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ﺕﻌﺎﻗﺪت اﻟﻤﺼﻔﺎة ﻣﻊ اﺡﺪى اﻟﺠﻬﺎت ﻟﺘﺰوﻳﺪهﺎ ﺏـ ‪ 900000‬ﺏﺮﻣﻴﻞ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻐﺎزوﻟﻴﻦ و‪ 800000‬ﺏﺮﻣﻴﻞ ﻣﻦ زﻳﺖ اﻟﺘﺪﻓﺌﺔ اﻟﻐﺎزوﻟﻴﻦ و‪ 500000‬ﺏﺮﻣﻴﻞ‬ ‫اﻟﺒﻨﺰﻳﻦ‪ .‬ﺕﻮد اﻟﻤﺼﻔﺎة ﻣﻌﺮﻓﺔ آﻤﻴﺔ اﻟﺰﻳﺖ اﻟﺨﺎم اﻟﺬي ﻳﺠﺐ أن ﺕﺴﺘﻮردﻩ‬ ‫ﻟﺘﻠﺒﻲ اﻟﻜﻤﻴﺔ اﻟﻤﻄﻠﻮﺏﺔ ﺏﺄﻗﻞ ﺕﻜﻠﻔﺔ‪ .‬واﻟﻤﻄﻠﻮب ﺹﻴﺎﻏﺔ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺵﻜﻞ ﺏﺮﻧﺎﻣﺞ ﺥﻄﻲ‪.‬‬ ‫‪ ١٣-٢‬ﻣﺼﻨﻊ آﺒﻴﺮ ﻟﻸﻧﺴﺠﺔ ﻟﻪ ﻓﺮﻋﺎن ‪ .B,A‬ﻳﺴﺘﻮرد هﺬا اﻟﻤﺼﻨﻊ ﻣﻮاد اﻟﺨﺎم‬ ‫ﻣﻦ ﻣﺼﺪرﻳﻦ وﻳﻮزع اﻧﺘﺎﺝﻪ ﻋﻠﻰ ﺙﻼﺙﺔ أﺳﻮاق‪ .‬ﺕﻜﺎﻟﻴﻒ اﻟﻨﻘﻞ ﻟﻠﻄﻦ‬ ‫اﻟﻮاﺡﺪ ﺏﻴﻦ ﻣﺼﺪري اﻹﺳﺘﻴﺮاد وﺏﻴﻦ ﻓﺮﻋﻲ اﻟﻤﺼﻨﻊ وﺏﻴﻦ اﻷﺳﻮاق‬ ‫ﻣﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪوﻟﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ‪:‬‬ ‫ﻣﺼﺪر‬ ‫اﻷﺳﺘﻴﺮاد ‪1‬‬ ‫ﻣﺼﺪر‬ ‫اﻷﺳﺘﻴﺮاد ‪2‬‬ ‫ﻓﺮع اﻟﻤﺼﻨﻊ‬ ‫‪ 1‬دوﻻر‬ ‫ﻓﺮع اﻟﻤﺼﻨﻊ‬ ‫ﻓﺮع اﻟﻤﺼﻨﻊ ‪B‬‬ ‫‪ 1.5‬دوﻻر‬ ‫‪ 2‬دوﻻر‬ ‫اﻟﺴﻮق‬ ‫‪ 1‬دوﻻر‬ ‫‪ 2‬دوﻻر‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻓﺮع‬ ‫اﻟﻤﺼﻨﻊ ‪A‬‬ ‫‪ 1.5‬دوﻻر‬ ‫اﻟﺴﻮق‬ ‫‪ 2‬دوﻻر‬ ‫‪ 4‬دوﻻر‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺴﻮق‬ ‫‪ 4‬دوﻻر‬ ‫‪ 3‬دوﻻر‬ ‫‪3‬‬ ‫هﻨﺎك ﻋﺸﺮة أﻃﻨﺎن ﻣﺘﻮﻓﺮة ﻓﻲ ﻣﺼﺪر اﻻﺳﺘﻴﺮاد اﻷول و‪ 15‬ﻃﻨًﺎ ﻣﺘﻮﻓﺮة‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺼﺪر اﻻﺳﺘﻴﺮاد اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ .‬إن اﺡﺘﻴﺎﺝﺎت اﻷﺳﻮاق هﻲ ‪8‬ﻃﻨًﺎ و‪ 14‬ﻃﻨًﺎ‬ ‫و‪3‬ﻃﻨُﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫واﻟﻤﻄﻠﻮب ﺹﻴﺎﻏﺔ هﺬﻩ اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﻹﻳﺠﺎد أﻗﻞ ﺕﻜﻠﻔﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ ﺏﻴﻦ ﻣﺼﺪري‬ ‫اﻹﺳﺘﻴﺮاد وﺏﻴﻦ اﻷﺳﻮاق اﻟﺜﻼﺙﺔ‪.‬‬ ...
View Full Document

  • Summer '17

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes