Smits_text_part1.pdf - A Physical Introduction to Fluid Mechanics Spring 2018 A Physical Introduction to Fluid Mechanics by Alexander J Smits Professor

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Unformatted text preview: A Physical Introduction to Fluid Mechanics Spring 2018 A Physical Introduction to Fluid Mechanics by Alexander J. Smits Professor of Mechanical and Aerospace Engineering Princeton University Second Edition February 1, 2018 c 2018 Copyright A.J. Smits Contents Preface xiii First Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii Second Edition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv 1 Introduction 1.1 The Nature of Fluids . . . . . . . . . . . 1.2 Units and Dimensions . . . . . . . . . . 1.3 Stresses in Fluids . . . . . . . . . . . . . 1.4 Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Pressure: direction of action . . . 1.4.2 Forces due to pressure . . . . . . 1.4.3 Bulk stress and fluid pressure . . 1.4.4 Pressure: transmission through a 1.4.5 Ideal gas law . . . . . . . . . . . 1.5 Compressibility in Fluids . . . . . . . . 1.6 Viscous Stresses . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Viscous shear stresses . . . . . . 1.6.2 Viscous normal stresses . . . . . 1.6.3 Viscosity . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Measures of viscosity . . . . . . . 1.6.5 Energy and work considerations 1.7 Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . 1.8 Laminar and Turbulent Flow . . . . . . 1.9 Surface Tension . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Drops and bubbles . . . . . . . . 1.9.2 Forming a meniscus . . . . . . . 1.9.3 Capillarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fluid Statics 2.1 The Hydrostatic Equation . . . . . . . . . . 2.2 Density and Specific Gravity . . . . . . . . 2.3 Absolute and Gauge Pressure . . . . . . . . 2.4 Applications of the Hydrostatic Equation . 2.4.1 Pressure variation in the atmosphere 2.4.2 Density variation in the ocean . . . . 2.4.3 Manometers . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Barometers . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Vertical Walls of Constant Width . . . . . . 2.5.1 Solution using absolute pressures . . 2.5.2 Solution using gauge pressures . . . 2.5.3 Moment balance . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 27 28 30 30 31 31 32 34 35 35 36 vi CONTENTS 2.5.4 Gauge pressure or absolute pressure? 2.6 Sloping Walls of Constant Width . . . . . . 2.6.1 Horizontal force . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Vertical force . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Resultant force . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Moment balance . . . . . . . . . . . 2.7 Hydrostatic Forces on Curved Surfaces . . . 2.7.1 Resultant force . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Line of action . . . . . . . . . . . . . 2.8 Two-Dimensional Surfaces . . . . . . . . . . 2.9 Centers of Pressure, Moments of Area . . . 2.10 Archimedes’ Principle . . . . . . . . . . . . 2.11 Stability of Floating Bodies . . . . . . . . . 2.12 Fluids in Rigid Body Motion . . . . . . . . 2.12.1 Vertical acceleration . . . . . . . . . 2.12.2 Vertical and horizontal accelerations 2.12.3 Rigid body rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 38 38 39 39 40 40 41 42 43 45 46 48 48 48 49 50 3 Equations of Motion in Integral Form 3.1 Fluid Particles and Control Volumes . . . . . 3.1.1 Lagrangian system . . . . . . . . . . . 3.1.2 Eulerian system . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Small control volumes: fluid elements 3.1.4 Large control volumes . . . . . . . . . 3.1.5 Steady and unsteady flow . . . . . . . 3.1.6 Dimensionality of a flow field . . . . . 3.2 Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Conservation of Momentum . . . . . . . . . . 3.5.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Flow in one direction . . . . . . . . . . 3.5.3 Flow in two directions . . . . . . . . . 3.6 Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Viscous Forces and Energy Losses . . . . . . . 3.8 Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 54 54 55 56 56 57 59 60 62 62 63 64 66 68 69 4 Kinematics and Bernoulli’s Equation 4.1 Streamlines and Flow Visualization . . . . . . . . 4.1.1 Streamlines . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Pathlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Streaklines . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Streamtubes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Hydrogen bubble visualization . . . . . . 4.2 Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Force balance along streamlines . . . . . . 4.2.2 Force balance across streamlines . . . . . 4.2.3 Pressure–velocity variation . . . . . . . . 4.2.4 Experiments on Bernoulli’s equation . . . 4.3 Applications of Bernoulli’s Equation . . . . . . . 4.3.1 Stagnation pressure and dynamic pressure 4.3.2 Pitot tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 73 74 75 75 76 76 78 79 80 81 82 83 84 CONTENTS 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 vii Venturi tube and Siphon . . . . . . Vapor pressure . Draining tanks . atomizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 87 89 89 5 Differential Equations of Motion 5.1 Rate of Change Following a Fluid Particle . . 5.1.1 Acceleration in Cartesian coordinates 5.1.2 Acceleration in cylindrical coordinates 5.2 Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Euler equation . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Navier-Stokes equations . . . . . . . . 5.3.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . 5.4 Rigid Body Motion Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 91 93 94 95 97 97 99 101 101 6 Irrotational, Incompressible Flows 6.1 Vorticity and Rotation . . . . . . . . . . 6.2 The Velocity Potential φ . . . . . . . . . 6.3 The Stream Function ψ . . . . . . . . . 6.4 Flows Where Both ψ and φ Exist . . . . 6.5 Summary of Definitions and Restrictions 6.6 Laplace’s Equation . . . . . . . . . . . . 6.7 Examples of Potential Flow . . . . . . . 6.7.1 Uniform flow . . . . . . . . . . . 6.7.2 Point source and sink . . . . . . 6.7.3 Potential vortex . . . . . . . . . 6.8 Source and Sink in a Uniform Flow . . . 6.9 Potential Flow Over a Cylinder . . . . . 6.9.1 Pressure distribution . . . . . . . 6.9.2 Viscous effects . . . . . . . . . . 6.10 Lift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.1 Magnus effect . . . . . . . . . . . 6.10.2 Airfoils and wings . . . . . . . . 6.10.3 Trailing vortices . . . . . . . . . 6.11 Vortex Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 104 105 107 108 108 109 110 110 111 112 115 116 118 118 120 121 121 124 125 7 Dimensional Analysis 7.1 Dimensional Homogeneity . . . . . . . 7.2 Applying Dimensional Homogeneity . 7.2.1 Example: Hydraulic jump . . . 7.2.2 Example: Drag on a sphere . . 7.3 The Number of Dimensionless Groups 7.4 Non-Dimensionalizing Problems . . . . 7.5 Pipe Flow Example . . . . . . . . . . . 7.6 Common Nondimensional Groups . . . 7.7 Non-Dimensionalizing Equations . . . 7.8 Scale Modeling . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Geometric similarity . . . . . . 7.8.2 Kinematic similarity . . . . . . 7.8.3 Dynamic similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 128 130 130 132 136 138 139 141 142 144 144 145 145 . . . . . . . . . . . . . viii CONTENTS 8 Viscous Internal Flows 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Viscous Stresses and Reynolds Number . . . 8.3 Boundary Layers and Fully Developed Flow 8.4 Transition and Turbulence . . . . . . . . . . 8.5 Poiseuille Flow . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Fully developed duct flow . . . . . . 8.5.2 Fully developed pipe flow . . . . . . 8.6 Transition in Pipe Flow . . . . . . . . . . . 8.7 Turbulent Pipe Flow . . . . . . . . . . . . . 8.8 Energy Equation for Pipe Flow . . . . . . . 8.8.1 Kinetic energy coefficient . . . . . . 8.8.2 Major and minor losses . . . . . . . 8.9 Valves and Faucets . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Hydraulic Diameter . . . . . . . . . . . . . 8.11 Energy Equation and Bernoulli Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Flow Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 . 169 . 169 . 169 . 171 . 172 . 175 . 175 . 177 . 177 . 178 . 181 . 184 . 187 . 188 10 Open Channel Flow 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Small Amplitude Gravity Waves . . . . 10.3 Waves in a Moving Fluid . . . . . . . . 10.4 Froude Number . . . . . . . . . . . . . 10.5 Breaking Waves . . . . . . . . . . . . . 10.6 Tsunamis . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Hydraulic Jumps . . . . . . . . . . . . 10.8 Hydraulic Drops? . . . . . . . . . . . . 10.9 Surges and Bores . . . . . . . . . . . . 10.10 Flow Through a Smooth Constriction . 10.10.1 Subcritical flow in contraction . 10.10.2 Supercritical flow in contraction 10.10.3 Flow over bumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 195 195 197 198 199 200 201 205 205 206 210 211 212 CONTENTS ix 11 Compressible Flow 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Pressure Propagation in a Moving Fluid . . . 11.3 Regimes of Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Thermodynamics of Compressible Flows . . . 11.4.1 Ideal gas relationships . . . . . . . . . . 11.4.2 Specific heats . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Entropy variations . . . . . . . . . . . . 11.4.4 Speed of sound . . . . . . . . . . . . . . 11.4.5 Stagnation quantities . . . . . . . . . . 11.5 Compressible Flow Through a Nozzle . . . . . 11.5.1 Isentropic flow analysis . . . . . . . . . 11.5.2 Area ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Choked flow . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Normal Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Temperature ratio . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Velocity ratio . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.3 Density ratio . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.4 Pressure ratio . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.5 Mach number ratio . . . . . . . . . . . . 11.6.6 Stagnation pressure ratio . . . . . . . . 11.6.7 Entropy changes . . . . . . . . . . . . . 11.6.8 Summary: normal shocks . . . . . . . . 11.7 Weak Normal Shocks . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Oblique Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.1 Oblique shock relations . . . . . . . . . 11.8.2 Flow deflection . . . . . . . . . . . . . . 11.8.3 Summary: oblique shocks . . . . . . . . 11.9 Weak Oblique Shocks and Compression Waves 11.10 Expansion Waves . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11 Wave Drag on Supersonic Vehicles . . . . . . . 12 Turbomachines 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Angular Momentum Equation for a Turbine 12.3 Velocity Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Hydraulic Turbines . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Impulse turbine . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Radial-flow turbine . . . . . . . . . . . 12.4.3 Axial-flow turbine . . . . . . . . . . . 12.5 Pumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Centrifugal pumps . . . . . . . . . . . 12.5.2 Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Relative Performance Measures . . . . . . . 12.7 Dimensional Analysis . . . . . . . . . . . . . 12.8 Propellers and Windmills . . . . . . . . . . . 12.9 Wind Energy Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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13.3 Circulatory Patterns and Coriolis Effects 13.4 Planetary Boundary Layer . . . . . . . . 13.5 Prevailing Wind Strength and Direction 13....
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