P3PS - FMM312 - 2016 - 20 - Diurno.pdf - UNIVERSIDAD ANDRS...

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Unformatted text preview: UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO Departamento de matemáticas PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE Segundo semestre P1.− Determinar (a) L−1   ln s+3 s+5  (b) L−1  s (s2 + 1)2  (c) L  e2x − 1 x  Solución: (a) Si consideramos {(§) = F (s) = ln   s+3 , entonces: s+5 − dF (s) 1 1 = − ds s+5 s+3 aplicando la transformada inversa, obtenemos que:  dF (s) L − ds  = xf (x) = e−5x − e−3x =⇒ f (x) = e−5x − e−3x x (b) En este caso tenemos dos caminos, el primero por convolución y el segundo utilizando el teorema anterior. Observe que: s 1 d F (s) = 2 = − 2 (s + 1) 2 ds por lo tanto, L −1  1 d − 2 ds  1 2 s +1  1 2 s +1   = x sin(x) (c) Primero vericamos la condición de que: e2x − 1 = 2 x→0+ x lim Luego, L  e2x − 1 x  Z +∞  = s FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected]      1 1 t − 2 +∞ s − = ln dt = lim ln t→+∞ t−2 t t s−2 s 1 UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO Departamento de matemáticas P2.− Obtenga, utilizando la transformada de Laplace, la solución de la ecuación y 00 + 4y 0 + 4y = 3e−t que satisface las condiciones y(0) = 2 , y 0 (0) = 1. Solución: Aplicamos la transformada de la Laplace a la ecuación, obteniendo: s2 F (s) − 2s − 1 + 4sF (s) − 2 + 4F (s) = 3 2s2 + 5s + 6 =⇒ F (s) = s+1 (s + 1)(s + 2)2 descomponiendo en fracciones parciales, se cumple que: 2s2 + 5s + 6 3 1 4 = − − 2 (s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2 (s + 2)2 nalmente, si aplicamos la transformada inversa obtenemos que la solución particular de la ecuación diferencial es: y(x) = 3e−x − e−2x − 4xe−2x P3.− Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: X0 (t) = 2X − 3Y + 4 − 2t ; X(0) = −1 Y0 (t) = X − 2Y + 2 − t ; Y(0) = 0 Solución: Aplicamos la transformada de Laplace de sistema, obtenemos sX(s) + 1 = 2X(s) − 3Y(s) + sY(s) = X(s) − 2Y(s) + despejando Y(s), Y(s) = 4 2 − s s2 1 2 − 2 s s 1 1 − s s+1 aplicamos la transformada inversa, obteniendo: Y(t) = 1 − e−t reemplazando en la ecuación: Y0 (t) = X − 2Y + 2 − t encontramos que: X(t) = et − 2e−t + t por lo tanto, la solución del sistema es: X(t) = et − 2e−t + t Y(t) = 1 − e−t FMM312 (2◦ 2016) Francois Moraga - [email protected] 2 ...
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