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Unformatted text preview: Universidade de Brasília Instituto de Física Sétima Lista de Exercícios de Física I Questão 1 Quando o motor de 75kW (100hp) de um pequeno avião de 700kg está desenvolvendo sua potência máxima, a aeronave ganha altura à uma razão de 2.5m/s = (150m/min). Qual fraçâo da potência do motor está contribuindo para que o avião suba? Por quais fatores a potência não é aproveitada por completo, ou seja, para que é utilizado o resto da potência? Solução Sabe-se que √ na posição x1 = 0, a velocidade escalar da partícula é de 10m/s: A potência pode ser descrita como o produto interno entre velociDetermine: dade e força, portanto: (a) o trabalho realizado pela força F entre as posições x1 = P = F.v , na qual F é o peso, logo: 0 e x2 = 3, 0m; (b) a velocidade escalar da partícula na posição x2 = 3, 0m. P = (700kg).(−9, 8m/s2 ).(2, 5m/s). cos(180o ) = 17, 5kW Solução A gravidade tem sinal negativo, pois consideramos o deslocamento (a) O trabalho da força variável é dado pela área sob a curva no grápara cima como sendo positivo. 17,15 23 Calculando a fração utilizada: 75 = 0, 23. 100 da potência do mo- co F × x, neste caso, a área do triângulo (veja região em amarelo tor é utilizada na subida. O resto da potência é utilizado para vencer abaixo). a resistência do ar, ou se perde devido a ineciências na hélice e no motor. Questão 2 Imagine de você trabalha levantando caixas de 30kg ao longo de uma distância vertical de 0, 90m a partir do solo até um caminhão. Responda: (a) Quantas caixas você teria que carregar no caminhão em 1 minuto para que seu gasto médio de potência fosse de 0, 50hp? (b) Quantas caixas você teria que carregar no caminhão em 1 minuto para que seu gasto médio de potência fosse de 100W ? A área do triângulo é base.altura 2 . Assim Solução T = (a) O número de caixas por minuto seria a potencia média dividida pelo trabalho (mgh) necessário para levantar uma caixa, B.H 3, 0.10 ⇒T = 2 2 Portanto (0, 50hp)(746W/hp) = 1, 41/s (30kg)(9, 8m/s2 )(0, 9m) T = 15J, é o trabalho realizado pela força F~ . (b) Pelo Teorema da Energia Cinética: Ou 84, 6/min. mv22 mv12 m − ⇒ T = (v22 − v12 ) 2 2 2 √ 2, 0 2 15 = (v2 − ( 10)2 ) ⇒ 15 = v22 − 10 2 T = (b) Similarmente, (100W ) = 0, 378/s (30kg)(9, 8m/s2 )(0, 90m) portanto v2 = 5m/s, Ou 22, 7/min. Questão 3 é a velolcidade escalar da partícula na posição x2 . Uma partícula de massa 2, 0kg desloca-se ao longo de um eixo Questão 4 Ox, sob ação de uma força resultante F que tem a mesma Um bloco de 10kg movimenta-se em linha reta sobre uma mesa orientaçãoo do eixo Ox e intensidade variando com a posição, lisa, em posiçãoo horizontal, sob a ação de uma força F~ variável conforme o gráco a seguir. que atua na mesma direção do movimento, conforme o gráco. Universidade de Brasília - Física 1 - Sétima Lista de Exercícios Questão 6 A gura abaixo mostra uma vista superior de três forças horizontais atuando sobre uma caixa que estava inicialmente em repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F1 = 3, 00N ; F2 = 4, 00N e F3 = 10, 0N , e os ângulos indicados são θ2 = 50, 0o e θ3 = 35, 0o . Qual é o trabalho total realizado sobre a caixa pelas três forças nos primeiros 4, 00m de deslocamento? Determine o trabalho realizado pela força quando o bloco se desloca da origem até o ponto d = 6m. Solução I) Atrapsio = AI = (3 + 1).2 (B + b).h = = 4J 2 2 II) Atringulo = AII = 2(−2) bh = = −2J 2 2 Solução Como as forças estudadas são constantes, então o trabalho total é dado por W = Fres ∆x, em que Fres é a magnitude da força resultante, e ∆x é o deslocamento. Calcula-se Fres em termos de suas componentes x e y : III) AIII = 0 τ =Área do gráco F × distncia percorrica. O trabalho realizado de 0m até 6m é: τ = AI + AII + AIII = 2J Fresx = −F1 − F2 sin 50o + F3 cos 35o = (−3, 00N ) − (4, 00N ) sin 50o + (10, 0N ) cos 35o = 2, 13N Fresy = −F2 cos 50o + F3 sin 35o = −(4, 00N ) cos 50o + (10, 0N ) sin 35o = 3, 17N Questão 5 A gura abaixo mostra três forças aplicadas a um baú que se q p desloca 3, 00m para a esquerda sobre um piso sem atrito. Os 2 2 Fres = Fres + Fres = (2, 13)2 + (3, 17)2 = 3, 82N c y módulos das forças são F1 = 5, 00N, F2 = 9, 00N e F3 = 3, 00N ; o ângulo indicado é θ = 60o . Nesse deslocamento, (a) qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças O trabalho realizado pela Fres é: e (b) a energia cinética do baú aumenta o diminui? W = Fres d = (3, 82N )(4, 00m) = 15, 3J Questão 7 Uma partícula de massa m, inicialmente em repouso, é submetida a uma aceleração a constante. (a) Demonstre que a potência instantânea devido a força gerada pela aceleração é P = ma2 t. (b) Por qual fator deve se aumentar a potência para triplicar a aceleração? (c) Em t = 5, 0s, a potência fornecida pela força resultante é de 36W . Qual a potência necessária em t = 15, 0s para manter uma aceleração constante? Solução Solução (a) Em termos da aceleração a e do tempo t desde que a força (a) As forças são constantes, então, o trabalho exercido por cada foi aplicada, a velocidade é: v = vo + a.t. Porém, como a partíuma é expresso por W = F.d (produto escalar entre a força F e o cula parte do repouso, vo = 0, e a força é: F = ma, a potência é deslocamento d). F1 está no mesmo sentido do deslocamento, então: P = F v = (ma).(at) = ma2 t. (b) A potência em um determinado instante é proporcional ao quaW1 = F1 d cos θ1 = (5, 00N ).(3, 00m).(cos 0o ) = 15, 0J drado da aceleração, triplicar a aceleração aumentaria a potência Força F2 f um ângulo de 120o com o deslocamento, então por um fator de nove. (c) Se o módulo da força resultante é constante, a aceleração será a W2 = F2 f cos θ2 = (9, 00N ).(3, 00m).(cos 120o ) = −13, 5J mesma, e a potência necessária será proporcional apenas ao tempo A força F3 é perpendicular ao deslocamento; como cos 90o = 0, então decorrido. Em t = 15, 0s a potência necessária é três vezes aquela aos 5, 0s, ou seja, 108W . W3 = 0. O somatório dos trabalhos das 3 forças é o seguinte: W1 + W2 + W3 = 15, 0J − 13, 5J + 0 = 1, 50J Questão 8 (b) Se nenhuma outra força realiza trabalho sobre a caixa, então a Demonstre que a potência instantânea P fornecida pela força energia cinética da mesma aumenta em 1, 50J durante o desloca- resultante que atua sobre uma partícula está relacionada com mento. a energia cinética K da partícula por P = dK dt . Universidade de Brasília - Física 1 - Sétima Lista de Exercícios Solução dK d 1 dv = ( mv 2 ) = mv dt dt 2 dt = mva = mav = F v = P de óleo (sem atrito) de uma ocina de automóveis. O gráco abaixo mostra o trabalho W realizado sobre a lata pela força horizontal constante da vassoura em função da posição x da lata. A escala vertical do gráco é denida por Ws = 6, 00J . (a) Qual é o módulo da força? (b) Se a lata tivesse uma energia cinética inicial de 3, 00J , movendo-se no sentido positivo do eixo x, qual seria a energia cinética ao nal do deslocamento de 2, 00m? Questão 9 Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por F = 2xˆi + 3ˆj , onde x está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição, em metros, ri = 2ˆi + 3ˆj para a posição, em metros, rf = −4ˆi − 3ˆj ? Solução Suponha que a partícula mova-se primeiramente, digamos, ao longo da quota constante y = 3m, indo desde x1 = 2m até x2 = −4m. Neste percurso, o trabalho realizado é: x2 Z x2 Z 2xdx Fx dx = W1 = x1 x1 = x22 − x21 = (−4)2 − (2)2 = 12J A seguir, para completar o percurso, suponhamos que a partícula mova-se ao longo da linha x = −4m, indo de y1 = −3m até y2 = −3m. O trabalho para tanto é Z y2 W2 = Z x2 Fy dy = y1 3dy x1 = 3(y2 − y1 ) = 3[(−3) − (3)] = −18J O trabalho total do percurso todo é W = W1 + W2 + W3 = 12 − 18 = −6J. Solução (a) Como a força aplicada sobre a lata está no mesmo sentido do deslocamento da mesma, cos θ = cos 0 = 1. Então W = F d; por6,00J tanto F = Wd = 2,00m = 3, 00N (este é o coeciente angular da reta). (b) Como K = Ki + W , então K = 3, 00J + 6, 00J = 9, 00J . Questão 12 Um rebatedor acerta uma bola de baseball, de massa 0, 145kg , em linha reta e para cima, com uma velocidade inicial de 25, 0m/s. (a) Quanto trabalho a gravidade faz na bola quando esta atinge uma altura de 20, 0m acima do campo? (b) Use o teorema do trabalho - energia cinética para calcular a velocidade da bola quando esta atinge uma altura de 20, 0m acima do campo; ignore a resistência do ar. (c) A resposta do item (b) depende do fato da bola estar se movendo para cima ou para baixo da altura de 20, 0m? Justique. Solução PERGUNTA DEVERAS PERTINENTE: o valor do trabalho de- (a) Como o movimento é ascendente, a gravidade se pende do caminho escolhido para fazer-se as integrações? Repita a opõe ao sentido do2 movimento, então: W = −mgh = −(0, 145kg)(9, integração escolhendo outro caminho!... q 80m/s )(20, q 0m) = −28, 4J . W 2 (b) v2 = v1 + 2 m = (25, 0m/s2 ) + 2(−28,4J) = 15, 26m/s. (0,145kg) Questão 10 (c) Não; na ausência da resistência do ar, a bola terá a mesma veloA força exercida num objeto é Fx = Fo ( xxo − 1). Calcule o cidade no mesmo ponto, não importando se a bola está subindo ou trabalho realizado para deslocar o objeto de x = 0 até x = 2xo descendo. Na descida, a gravidade terá feito tanto trabalho negativo (a) fazendo um gráco de F (x) e determinando a área sob a como positivo na bola, mas o trabalho total será o mesmo. curva e (b) calculando a integral analiticamente. Solução Questão 13 Um elevador vazio tem massa de 600kg e foi desenvolvido para subir com velocidade constante uma distância vertical de 20, 0m (cinco andares) em 16, 0s. Ele é impulsionado por um motor capaz de fornecer 40hp ao elevador. Qual o número máximo de passageiros que podem subir no elevador? Suponha uma massa de 65, 0kg por passageiro. (a) A expressão de F (x) diz-nos que a força varia linearmente com c. Supondo xo > 0, escolhemos dois pontos convenientes para, através deles, desenhar uma linha reta. Para x = 0 temos F = −Fo enqanto que para x = 2xo temos F = Fo , ou seja, devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos (0, −Fo ) e (2xo , Fo ). Faça a gura! Olhando para agura, vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de x = 0 até x = xo , Solução o outro indo de x = xo até x = 2xo . Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma positiva e a outra negativa, vemos que o Como a potência média é dada por P = pela força peso, temos: trabalho total é ZERO. (b) Analiticamente, a integral nos diz que d P = M.g. Z W = 2 Fo ( 0 Questão 11 2xo x x o − 1)dx = Fo ( − x)|2x =0 0 xo 2xo t W t ⇒M = , e o trabalho é realizado P.t M.g Logo, a massa total que pode ser carregada é: Uma lata de parafusos e porcas é empurrada por 2, 00m ao longo de um eixo x por uma vassoura ao longo de um piso sujo M= (40, 0hp).(746W/hp).(16, 0s) = 2436kg (9, 80m/s2 ).(20m) Universidade de Brasília - Física 1 - Sétima Lista de Exercícios movendo em linha reta. A componente x da força varia com a coordenada x do carro, como é mostrado na gura abaixo. O número máximo de passageiro será dado por M − me , onde me é Calcule o trabalho realizado pela força F quando o carro se a massa do elevador, dividido pela massa de cada passageiro: move de (a) x = 0 até x = 3, 0m; (b) x = 3, 0m até x = 4, 0m; (c) x = 4, 0m até x = 7, 0m; (d) x = 0 até x = 7, 0m; (e) 600 2436 − = 28 x = 7, 0m até x = 2, 0m. 65 Poderão ser levados 28 passageiros de 65kg . Questão 14 A força F~ = (3x2 N )ˆi + (4N )ˆj , com x em metros, age sobre uma partícula, mudando apenas a energia cinética da partícula. Qual é o trabalho realizado sobre a partícula quando ela se desloca das coordenadas (2m, 3m) para (3m, 0m)? A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma? Solução Solução A força é variável porque sua componente x depende do valor de x. O trabalho em certo intervalo é a área entre a curva e o eixo x no gráco da força [F (N )] em função da posição [x(m)]. Tal área é Escrevemos duas integrais, uma para cada eixo: facilmente calculada quando a mesma é constituída pela união de Z 0 Z 3 Z 0 Z 3 triângulos e quadrados. dx4 x2 dx + 4 4dy = 3 3x2 dx + W = (a) A área abaixo do trapézio é A = (3+1)2 = 4; portanto o trabalho 2 3 2 3 2 é de 4,0 J. 1 (b) Não há força resultante sendo aplicada nesse intervalo; portanto, = 3[ x3 ]32 + 4[y]03 = [33 − 23 ] + 4[0 − 3] = 7, 0J 3 o trabalho é zero. (c) A área do triângulo acima da curva é A0 = (6−4)1 = 1; como 2 tal área está abaixo do eixo x, o trabalho é negativo; sendo assim, O resultado positivo signica que a forç F~ transfere energia para a o trabalho é de −1, 0J . partícula. Assim, a energia cinética da partícula aument e, como (d) O trabalho total é a soma dos trabalhos nos itens (a), (b) e (c), K = 21 mv 2 , a velocidade escalar também aumenta. ou seja, 4, 0 + 0 − 1, 0 = 3, 0J . (e) Nesse item, o trabalho entre x = 2 e x = 3 é igual a Questão 15 (3 − 2)2 = 2, 0J . O trabalho procurado é de 1, 0 − 2, 0 = −1, 0J (o Uma força F é aplicada em um carrinho de controle remoto, sinal é negativo porque o movimento é de volta). de 2, 0kg , paralelamente ao eixo x, no qual o carrinho esta se Universidade de Brasília - Física 1 - Sétima Lista de Exercícios ...
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  • Spring '18
  • Triángulo, Peso, Velocidade, gravidade

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