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Unformatted text preview: Universidade de Brasília Instituto de Física Oitava Lista de Exercícios de Física I (b) Sendo f a magnitude da força de atrito cinético, como a velocidade é constante a acelerção do bloco é zero, e portanto o somatório Um cão arrasta sua caixa de dormir sobre um piso, aplicando das forças é nulo, logo: uma força horizontal de 8, 0N . O módulo da força de atrito f = F. cos 15o cinético que age sobre a caixa é 5, 0N . Quando a caixa é arrastada por uma distância de 0, 7m, quais são: (a) o trabalho Questão 1 f = 7, 42N realizado pela força do cão; (b) o aumento da energia térmica E a variação da energia térmica é: da caixa e do piso? Solução ∆Et = f.d = (7, 42N ).(4, 06m) = 30, 1J (a) O trabalho realizado será: W = F.d. cos θ = (8, 0N ).(0, 70m).(cos 0o ) = 5, 6J (c) Aplicando a Segunda Lei de Newton sobre o bloco, como a aceleração é nula: F. cos 15o − f = 0 ⇒ N + F. sin 15o − mg = 0, (b) A energia térmica gerada será: ∆Et = Fat .d = (5, 0N ).(0, 70m) = 3, 5J Questão 2 Onde m é a massa do bloco, F é a força exercida pela corda, f a força de atrito e N a normal. Como feito no item b, percebemos que f = 7, 42N . A segunda equação nos dá: Um operário empurra uma caixa de 27kg , com velocidade constante, por 9, 2m ao longo de um piso plano, com uma força N = mg−F. sin 15o = (3, 75kg)(9, 8m/s2 )−(7, 68N ). sin 15o = 33, 0N orientada 32o abaixo da horizontal. Se o coeciente de atrito cinético entre o bloco e o piso é 0, 20, quais são: (a) o trabalho realizado pelo operário; (b) o aumento da energia térmica do Logo: sistema. Solução f = µc .N ⇒ µc = (7, 42N ) f = = 0, 225 N (33, 0N ) (a) Como a velocidade é constante, temos que a aceleração é Questão 4 nula, e portanto a componente horizontal do empurrõ do operá- Uma força horizontal de módulo 35, 0N empurra um bloco de rio, F. cos 32o , deve ser igual ao módulo da força de atrito, onde massa 4, 00kg em um piso no qual o coeciente de atrito cinético Fat = µc .N . O somatório das forças verticais também deve ser é 0, 600. (a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre nulo, então P = N + F. sin(32o ), logo: µc .N ⇒ F = 55, 5N F = cos 32o O trabalho realizado pelo operário sobre o bloco será: W = F.d. cos θ = (55, 5N ).(9, 2m). cos 32o = 433J o sistema bloco-piso quando o bloco sofre um deslocamento de 3, 00m? (b) Durante esse deslocamento, a energia térmica do bloco aumenta de 40, 0J . Qual é o aumento da energia térmica do piso? (c) Qual é o aumento da energia cinética do bloco? Solução (a) O trabalho é W = F.d. cos θ = (35, 0N )(3, 00m). cos 0o = 105J (b) Como Fat = µc .(mg − F. sin 32o ) ∆Et = Fat .d = (27.9, 8 − 55, 5. sin 32o ).0, 2.9, 2 = 433J (b) A quantidade total de energia que foi transferida para forma termal é: ∆Et = Fat .d = µc .N.d = µc .m.g.d = (0, 600)(4, 00kg)(9, 80m/s2 )(3, 00m) Questão 3 Uma corda é usada para puxar um bloco de 3, 57kg com velocidade constante, por 4, 06m, em um piso horizontal. A força que a corda exerce sobre o bloco é 7, 68N , 15o acima da horizontal. Quais são: (a) o trabalho realizado pela forßa da corda; (b) a varicação da energia térmica do sistema bloco-piso; (c) o coeciente de atrito cinético entre o bloco e o piso. Solução (a) O trabalho realizado no bloco pela força da corda é: W = F.d. cos θ = (7, 68N ).(4, 06m). cos 15o = 31, 1J Como a energia térmica do bloco aumentou de 40, 0J , então (70, 6 − 40, 0)J = 30, 6J foram para o piso. (c) A maior parte do trabalho foi gasta devido aos 70, 6J de energia térmica gerados. Mas ainda sobram (105 − 70, 6)J = 34, 4J , os quais são utilizados no aumento da energia cinética do bloco. Esta energia aumenta exclusivamente a energia cinética, pois o piso é supostamente horizontal, caso ele fosse inclinado, uma parte também seria transformada em energia potencial. Questão 5 Durante uma avalanche, uma pedra de 520Kg desliza a partir do repouso descendo a encosta de uma montanha que tem 500m de comprimento e 300m de altura. O coeciente de atrito Universidade de Brasília - Física 1 - Oitava Lista de Exercícios cinético entre a pedra e a encosta é 0.25. (a) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha-Terra é nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? (c) Qual a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante? Solução Solução (a) Calcular U antes da avalanche seria calcular a energia potencial Como o percurso que a pedra toma pelo vale não possui nenhuma da pedra no topo da montanha, logo: força dissipativa (atrito), ao nal do percurso a energia cinética inicial se dividiria em energia potencial gravitacional produzida pela U = m.g.h sua variação de altura e energia térmica produzida pelo atrito, montamos então a seguinte equação: U = (520)(9, 8)(300) = 1, 53.106 J Ki = ∆U + ∆Eter = m.g.(h + µ.d), (b) Para calcular a energia térmica produzida pela pedra é neces- como Ki = 12 mv 2 , igualando as expressões e dividindo por m, temos sário calcular primeiramente a força de atrito produzida sobre a então que: pedra, temos então que, Ilustrando a montanha como um triângulo 1 2 v2 h retângulo de altura 300 e hipotenusa 500: v = g(h + µ.d) =⇒ d = i − = 1, 2m 2 2µg µ Questão 7 Uma pedra que 5, 29N é lançada verticalmente a partir do nível do solo com uma velocidade inicial de 20m/s e o arrasto do ar sobre ela é de 0., 65N durante todo o percurso. Determine (a) a altura máxima alcançada pela pedra e (b) sua velocidade imediatamente antes de se chocar com o solo. Solução (a) Denotaremos altura máxima por h. A energia térmica gerada pela resistência do ar é da forma ∆Eter = f.h, portanto a energia da pedra é conservada da seguinte forma: Quando a pedra deslizar pela sua encosta produzirá um força da forma fk = µk .N = µk .m.g. sin( π2 − θ) = µk .m.g. cos θ. O trabalho Kf + Uf + ∆Eter = Ki + Ui realizado pelo atrito então é ∆Eat = fk .d = µk .m.g.d. cos θ, em que d é a distância percorrida, ou seja, d = 500. Calculando cos θ como cos θ = xd , em que, pelo triângulo retângulo, Em que o momento nal é quando a pedra atinge sua altura máxima x = 400m, temos que ∆Eter = µk .m.g.d. cos θ = µk .m.g.d. xd = e o momento inicial é o seu local de lançamento. Temos então que 5 µk .m.g.x = (0.25)(520)(9.8)(400) = 5, 1.10 J (c) A energia cinética nal da pedra pode ser determinada pela seguinte equação: Kf = Ki + Ui − Uf − ∆Eter 0 + m.g.h + f.h = h= 6 Kf = 0 + 1, 53.10 − 0 − 5, 1.10 2 m.vo 2(m.g+f ) (0,54)(20)2 2(0,54.9,8+0,265) Isolando h, h = 5 2 m.vo 2(m.g+f ) = sendo que m = Questão 6 1 mv 2 2 , desenvolvendo, obtemos que v = 5,29 9,8 = 0, 54Kg . Então, = 19, 4m (b) Notando que a variação de energia térmica em todo o trajeto equivale a ∆Eter = 2.f.h, temos pela conservação da energia a seguinte expressão: Kf = 0 + 1, 02.106 J (d) Sabendo que Kf = 63m/s. 1 .m.vo2 2 Kf + ∆Eter = Ki 1 1 m.v 2 + 2.f.h = m.vo2 2 2 1 m.vo2 1 m.v 2 = m.vo2 − 2.f. 2 2 2(m.g + f ) Na gura abaixo, um bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para outro mais elevado, passando por um vale intermediário. A pista não possui atrito até o bloco atingir o nível mais alto, onde uma força de atrito para o bloco em uma distância d. A velocidade inicial vo do bloco é de 6, 0m/s, a diferença de altura h é 1, 1m e µk = 0, 60. Determine d. v 2 = vo2 (1 − v 2 = (20)2 (1 − 2.f ) (m.g + f ) p 2.0, 265 ) = 361, 836 = 19m/s 5, 29 + 0, 265 Universidade de Brasília - Física 1 - Oitava Lista de Exercícios Questão 8 x = 0, 10m Um pacote de 4.0Kg começa a subir um plano inclinado de 30o com uma energia cinética de 128J . Que distância ele percorre antes de parar, se o coeciente de atrito cinético entre o pacote e o plano é 0, 30? Questão 11 Em t = 0 uma bola de 1kg é atirada de uma torre com v = (18m/s)ˆi + (24m/s)ˆj . Quanto é o ∆U do sistema bolaConsiderando d a distância total percorrida pelo pacote antes de terra entre t = 0 e t = 6s (ainda em queda livre)? Solução parar, temos a seguinte decomposição de vetores: Solução ∆y = voy .t − 1 .g.t2 2 ∆y = −32m ∆U = m.g.∆y = −318J = 3, 2.10−2 J Temos portanto a força normal do pacote sendo igual a N = Questão 12 m.g. cos θ. Portanto, Uma corda uniforme com 25cm de comprimento e 15g de massa fk = µk .m.g. cos θ E pela lei de conervação da energia temos que, Ki = Kf + ∆U + ∆Eter Ki = 0 + m.g.d. sin θ + µk .m.g.d. cos θ está presa horizontalmente em um teto. Mais tarde é pendurada verticalmente, com apenas uma das extremidades presa no teto. Qual é a variação da energia potencial da corda devido a esta mudança de posição? (sugestão: considere um trecho innitesimal da corda e use uma integral.) Solução Considere um elemento de tamanho dx a uma distância x da ponta da corda. Isolando d, d= Du = −($dx)gx =⇒ $ = Ki 128 = = 4, 3m. m.g(sin θ + µk . cos θ) 4.9, 8.(sin 30o + 0, 3. cos 30o ) O sinal negativo indica que a energia potencial diminui. Integrando de 0 até h obtemos: Z ∆U = Questão 9 Qual é a constante elástica de uma mola que armazena 25J de energia potencial ao ser comprimida 7, 5cm? Solução m h Z du = − 1 1 $gx.dx = − $.g.h2 = − .m.g.h 2 2 Com m = 15g e h = 25cm, nós temos que ∆U = −0, 018J Questão 13 Substituindo na equação E = 21 .k.x2 encontramos que k = 89N/cm. A partir do gráco abaixo: Questão 10 Um bloco de massa m = 2kg é deixado cair de uma altura h = 40cm sobre uma mola de cosntante elátisca k = 1960n/m. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida. Solução Ki + Ui = Kf + Uf 0 = −m.g(h + x) + 1 .k.x2 2 Resolvendo a equação do segundo grau acima, temos M.g = 19, 6N, h = 0, 4m e k = 1960n/m e escolhemos a raiz positiva, logo Determine: (a) U (x), (b) Faça um novo gráco de U (x) em função de x. Solução RPara encontrar o valor de U (x) utilizamos a expressão U (x) = F dx para cada intervalo do gráco. Sendo: F (2) =⇒ x ≤ −3, F (x) = 0 Universidade de Brasília - Física 1 - Oitava Lista de Exercícios −3 ≤ x ≤ −2, F (x) = −1 −2 ≤ x ≤ −1, F (x) = 2(x + 1, 5) −1 ≤ x ≤ −1, F (x) = 1 1 ≤ x ≤ 2, F (x) = 2(x − 1, 5) 2 ≤ x ≤ 3, F (x) = −1 x ≥ 3, F (x) = 0 no intervalo −π × θ × 3π . (b) Se o corpo for abandonado na posiç ao θ = − π3 , em que posição θ o corpo atingirá sua maior velocidade? (c) Calcule a maior aceleração sofrida pelo corpo, sabendo-se que sua trajetória é circular, com raio de 1, 6m. Solução (a) Encontrando U (x) para x ≤ 3 e x ≥ 3 =⇒ U (x)Z = U (0) = 0; x para 0 ≤ x ≤ 1 =⇒ U (x) = x = 1 −→ U (1) = 1; dx = −x 0 para 1 ≤ x ≤ 2 =⇒ U (x) = −1− Z x 1 x2 − 3x + 1 x = 1 −→ U (1) = 1 − 3 + 1 = −1 x = 2 −→ U (2) = 4 − 6 + 1 = −1;Z x para 2 ≤ x ≤ 3 =⇒ U (x) = −1 + x = 2 −→ U (2) = −1 x = 3 −→ U (3) = 0;  x (2x − 3)dx = −1(x2 − 3x) 1 = dx = −1 + x − 2 = x − 3 2 (b) A maior velocidade será alcançada em θ = − π2 (c) Gracamente, temos: F (θ) = − dU (L) dU (Rθ) 1 dU (θ) =− =− dL d(Rθ) R dθ 1 .1, 6. cos θ 1, 6 − cos θ = 0, 1a F (θ) = − Aceleração máxima −→ U (θ) máximo dF = 0 −→ sin θ = 0 dθ a=− cos(− π3 ) = −5m/s2 0, 1 Questão 16 Uma paríicula está sujeita a uma força associada com a energia potencial U (x) = 3x2 − x3 , onde [x] = metros e [U ] = Joules. (a) Faça um gráco de U (x). (b) Determine as posições da partícula onde ela não sente força alguma. (c) Determine os sentidos da força no intervalo: −2 ≤ x ≤ 2. Um homem de 75kg sobe em uma escada vertical de 7, 0m para o telhado de sua casa (que é plano). Depois, ele caminha 12m no telhado, desce outra escada de 7, 0m e, nalmente, volta, pelo chão, ao ponto onde estava no início. Qual o trabalho realizado pela gravidade (a) quando ele sobe a escada; (b) quando ele desce a escada; (c) quando ele caminha no telhado e no chão? (d) Qual o trabalho total realizado pela gravidade no seu percurso? (e) A partir da sua resposta no item (d), a força gravitacional é ou não conservativa? Solução Solução Questão 14 (a) Para construir o gráco de uma função você deve encontrar as Fórmula geral: W = m.g. cos θ raízes da função. Ou seja faça: 3x2 − x3 = 0. Então encontrará (a) W = (75kg)(9, 80m/s2 )(7, 0m)(cos 180o ) = −5100J x0 = 0 ou x00 = 3 (b) W = 75.9, 8.7. cos 0 = 5100J A derivada primeira vai lhe fornecer a inclinação da reta tangente (c) O ângulo é de 90o em cada caso, ou seja, W = 0 nas duas situaa função inicial e igualando essa inclinação a zero teremos os pon- ções tos de máximo ou mínimo. No caso, U 0 (x) = 6x − 3x2 . Então: (d) O trabalho total realizado pela gravidade é igual à soma de tox0 = 0 ou x00 = 2 (são os pontos de máximo ou mínimo). Substi- dos os trabalhos parciais realizados por ela, ou seja, Wt = 0. tuindo os ponto na função teremos: U (0) = 0 ou U (2) = 4(essas são (e) A força gravitacional é conservativa, pois o trabalho realizado as coordenadas dos ponto de máximo ou mínimo). por ela em um circuito fechado é nulo. (b) Primeiro você tem que encontrar a função da força que é a Questão 17 derivada primeira de U (x) (energia potencial) em relação a x (deUma caixa de 10kg é puxada horizontalmente por um cabo em dU (x) formação ou elongação da mola). F (x) = dx = 6x − 3x2 . Depois um círculo em uma superfície horizontal, na qual o coeciente de encontrar a função da força você encontra as raízes. de atrito cinético é de 0, 250. Calcule o trabalho realizado pelo (c) Você teré que construir o gráco da função da força para analisá- atrito durante uma volta completa se o raio for de (a) 2, 00m e( b)4, 00m. (c) Explique, mostrando seu raciocínio, porque a lo. Questão 15 força de atrito não é conservativa. Solução A energia potencial de um corpo, de 100g , que gira em torno de um certo eixo, é dada por U (θ) = 1, 6 sin θ , onde θ é a posição Sabendo que θ = 180 em todos os pontos, temos que W = angular da partícula, em radianos. (a) Faça um gráco de U (θ) −m.g.µ.2πr Universidade de Brasília - Física 1 - Oitava Lista de Exercícios (a) W = −(0, 250)(10)(9, 80)(2π)(2) = −308J Você e três amigos se sentam nos cantos de uma quadra cu(b) A distância do trajeto dobra, então o trabalho também dobra jas dimensões estão na gura. Você pega seu livro de física e o empurra de uma pessoa até a outra. O livro tem uma W = −616J (c) O trabalho realizado pela força de atrito não é nulo, portanto massa de 1, 5kg e o coeciente de atrito estático entre o livro ela não e conservativa. e o chão é de 0, 25. (a) O livro escorrega de você para Beth Questão 18 Um livro de 0, 6kg de massa desliza em uma mesa horizontal. A força de atrito cinética é constate e tem módulo de 1, 2N . (a) Qual o trabalho realizado pela força de atrito durante um deslocamento de 3, 0m para a esquerda? (b) E para a direita, por 3, 0m retornando ao seu ponto inicial? (c) Qual o trabalho total realizado sobre o livro pela força de atrito durante o percurso completo? (d) A força é conservativa? Solução Solução (a) Quando o livro vai para a esquerda, a força de atrito aponta para a direita, e o trabalho é −(1, 2N )(3, 0m) = −3, 6J (b) A força, agora, está para a esquerda e o trabalho é de −3, 6J (c) −7, 2J (d) Não Questão 19 e, depois, de Beth para Carlos, ao longo das linhas que conectam as pessoas na gura. Qual o trabalho realizado pelo atrito nesse deslocamento? (b) Você desliza o livro de você até Carlos pela diagonal. Qual o trabalho realizado pelo atrito? (c) O livro escorrega de você até Kim e depois ele é retornado à você. Qual o trabalho realizado? (d) O trabalho realizado pela força de atrito seria o mesmo se os percursos fossem diferentes? (e) Quando podemos armar que o trabalho independe da trajetória? Considere a gura a seguir para a questão: a) W1 = W2 = −(3, 675).(8, 0) = −29, 4J e Wt = W1 + W2 = −59J b) W = −(3, 675).d, onde d = 11, 3m (diagonal).W = −42J c) O trabalho de você até Kim é o mesmo de Kim até você e igual a F.d = −(3, 675).(8, 0) = −29, 4J . O trabalho total vale −59J . d) Não, pois a força de atrito não é conservativa. Pode até ser que o trabalho seja igual, mas seria apenas uma coincidência numérica, não podendo ser generalizada. e) O trabalho realizado por uma força é o mesmo para qualquer trajetória entre dois pontos se, e somente se, a força em questão for conservativa. Universidade de Brasília - Física 1 - Oitava Lista de Exercícios ...
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  • Spring '18
  • Força, Força Normal, atrito, gravidade, Energia potencial gravitacional, Arrasto

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