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Unformatted text preview: Universidade de Brasília Instituto de Física Segunda Lista de Exercícios de Física I Substituindo na equação para a velocidade média Questão 1 v3 ∆t3 + v4 ∆t4 vm = A posição de um objeto é dada pela equação x(t) = 2+10t2 −t3 . ∆t3 + ∆t4 (a) Calcule a posição do objeto nos instantes 0, 2 s, 4 s e 6 s. (b) Calcule o deslocamento e a velocidade média entre os ins- Como os dois intervalos de tempo são iguais a ∆t/2, podemos estantes 0 e 6s. (c) Calcule a velocidade média entre os instantes crever v3 + v4 80 + 100 vm = = = 90 km/h 2 s e 4 s. (d) Pode-se armar que a velocidade média é igual à 2 2 . velocidade instantânea no instante médio? c) O tempo necessário para a viagem de volta é Solução ∆tvolta = a) Substituindo-se os tempos pedidos na equação horária temos: x(0) = 2 + 10 × 02 − 03 = 2 m x(2) = 2 + 10 × 22 − 23 = 34 m x(4) = 2 + 10 × 42 − 43 = 98 m x(6) = 2 + 10 × 62 − 63 = 146 m b) Utilizando-se as posições calculadas no item anterior: ∆x = 146 − 2 = 144 m 144 ∆x = = 24 m/s. ∆t 6−0 vm = c) ∆x 200 = = 2, 22 h. vvolta 90 Portanto, a velocidade média total é vtotal = ∆xtotal ∆xida + ∆xvolta 200 + 200 = = = 89, 5 km/h. ∆ttotal ∆tida + ∆tvolta 2, 25 + 2, 22 d) Apenas na letra (b) aconteceu da velocidade média ser igual à média das velocidades. A equação para a velocidade média mostra que ela é igual à média das velocidades ponderada pelo tempo em que o corpo viajou em cada velocidade. No caso da letra (b), os tempos foram iguais, por isso, a velocidade durante a viagem de volta virou uma média aritmética simples. Questão 3 A linha grossa no gráco abaixo mostra a posição em função do tempo de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x. (a) Encontre a velocidade média durante o intervalo de tempo de 1,0 s a 3,0 s. (b) Calcule a velocidade instantânea no instante à velocidade instantânea no instante médio, as velocidades médias 2,0 s. (c) Em que instante a velocidade do corpo é nula? (d) Pode-se dizer que a velocidade média é igual à velocidade inscalculadas nas letras b e c deveriam ser iguais. tantânea no instante médio? (e) Pode-se dizer que a aceleração é sempre positiva? Questão 2 Você parte de Brasília com destino a Goiânia (200 km) e dirige metade da distância com velocidade média de 80 km/h e a outra metade com velocidade média de 100 km/h. Ao retornar, dirige metade do tempo a 80 km/h e a outra metade a 100 km/h. (a) Qual é a velocidade média durante a viagem de ida? (b) Qual é a velocidade média durante a viagem de volta? (c) Qual é a velocidade média durante a viagem completa? (d) Podemos dizer que a velocidade média é igual à média das velocidades? ∆x 98 − 34 = = 32 m/s. ∆t 4−2 d) Não, pois o instantes médios na letra b ((0 + 6)/2 = 3) na letra c ((2 + 4)/2 = 3) iguais, logo, se a velocidade média fosse igual vm = Solução a) A viagem pode ser dividida em dois trechos de 100 km. O tempo necessário para percorrer cada trecho é calculado a partir da fórmula da velocidade média: vm = ∆x ∆t ⇒ ∆t = ∆x vm O tempo total é igual à somado tempo gasto em cada trecho: ∆tida = ∆t1 + ∆t2 = 100 100 + = 2, 25 h 80 100 Portanto, a velocidade média durante a ida é vida = ∆x 200 = = 88, 9km/h ∆t 2, 25 b) O velocidade média na viagem de volta é vvolta = ∆xvolta ∆x3 + ∆x4 = ∆tvolta ∆t3 + ∆t4 Solução a) Do gráco concluímos que, no instante 1,0 s, a posição da partícula é 11,0 m, e, no instante 3,0 s, sua posição é 3,0 m. Usando a fórmula da velocidade média: vm = ∆x 3 − 11 = = −4 m/s. ∆t 3−1 b) A reta mostrada tangencia o gráco no instante 2 s, logo, sua inclinação é igual à velocidade instantânea naquele momento. Os valores de ∆x = −13, 3 m e ∆t = 3, 5 s podem ser obtidos dos catetos do triângulo formado pela reta e os seguimentos dos respectivos eixos. Dessa forma: −13, 3 v(2) = = −3, 8 m/s. 3, 5 A distância percorrida em cada trecho pode ser calculada a partir da fórmula c) A velocidade é nula quando a inclinação da curva é nula, ou seja, ∆x vm = ⇒ ∆x = vm ∆t. em t = 4 s. ∆t Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios d) O instante médio entre 1,0 s e 3,0 s é 2,0 s. Comparando-se a resposta do item (b) com a resposta do item (c) vemos que as velocidades não são iguais. e) Se traçarmos uma reta tangente em diferentes pontos do gráco, veremos que a inclinação dessa reta cresce com o tempo, logo, a velocidade aumenta sempre. Logo, a aceleração é sempre positiva. Certa bola de tênis é lançada verticalmente contra o solo a 90 km/h. Após uma colisão que dura cerca 3,0 ms, a bola sobe até atingir a altura máxima de 25 m. Desprezando o efeito do atrito com o ar, calcule a aceleração da bola durante a colisão. Solução Antes da colisão com o solo, a velocidade da bola é de 90/3,6 = 25 A partir da altura máxima, é possível concluir que a velocidade O movimento de certa partícula é descrito pela equação x(t) = m/s. da bola imediatamente após a colisão é: 2 3 3 + 2t − 5t . (a) Determine os intervalos de tempo nos quais p p v = 2gh = 2 × 9, 82 × 25 = 22, 2 m/s. a velocidade é positiva e negativa. (b) Faça o mesmo para a Questão 4 aceleração. Tomando como positiva a velocidade para cima, a aceleração média durante a colisão pode ser calculada como Solução a) A equação horária da velocidade pode ser encontrada derivandose a equação horária da posição: dx(t) = 4t − 15t2 . dt amed = 22, 2 − (−25) ∆v = = 15 733 m/s. ∆t 3 × 10−3 Questão 8 Considere que, para não causar muito desconforto a seus ocupantes, um carro não deva ser freado com aceleração de módulo A equação acima é uma parábola com concavidade para baixo, cu- maior que 0,3 g. Imagine também que o tempo transcorrido jos zeros são 0 e 4/15 s. Logo a velocidade é positiva quando entre o instante em que o motorista vê o sinal amarelo e o o 0 < t < 4/15 s e negativa para t < 0 s e 4/15 s < t. momento em que pisa no freio é de cerca de 1 s. Se velocidade b) A equação horária da aceleração pode ser encontrada derivandomáxima em determinada via é de 60 km/h, por quanto tempo se a equação horária da velocidade: o sinal deve car amarelo de forma que nenhum motorista tedv(t) nha que frear o carro com aceleração superior a 0,3 g para não a(t) = = 4 − 30t. dt passar no sinal vermelho? v(t) = Essa é uma reta inclinada para baixo que cruza o eixo dos x em Solução 2/15 s. Logo a aceleração é positiva para t < 2/15 s e negativa para 2/15 s < t. O tempo necessário para parar, com aceleração constante de −0, 3 g, um carro que se desloca com 60 km/h (16,7 m/s) é Questão 5 ∆v ∆v 0 − 16, 7 ⇒ ∆t = = = 5, 68 s. amed = Utilizando a equação horária da questão anterior, (a) deter∆t amed −0, 3 × 9, 8 mine a aceleração média entre os instantes 1,0 s e 2,0 s. (b) Somando-se esse intervalo de tempo ao tempo de reação do motoEncontre a aceleração instantânea em t = 1, 5 s. rista, será necessário que o sinal permaneça no amarelo por 6,68 s. Solução a) Usando e equação horária para a velocidade obtida na equação Questão 9 anterior, encontramos a velocidade instantânea em t = 1 s e em t = A gura abaixo é a velocidade de um carro durante um teste em 2 s. uma pista de provas. (a) Calcule, a partir do gráco, a distânv(1) = 4 × 1 − 15 × 12 = −11 m/s cia total percorrida pelo carro.(b) Trace o gráco da aceleração do carro entre os instantes 0 s e 50 s. Escreva as equações que v(2) = 4 × 2 − 15 × 22 = −52 m/s descrevem o movimento do carro entre os instantes (c) 0a, (d) A aceleração média é dada por ab e (e) bc. (f) Qual a velocidade média do carro entre os vmed = v(2) − v(1) −52 − (−11) ∆v = = = −41 m/s2 . ∆t 2−1 2−1 instantes 0 e 50 s? b) A aceleração instantânea também pode ser calculada a partir da equação obtida na questão anterior. a(1, 5) = 4 − 30 × 1, 5 = −41 m/s. Questão 6 Um carro parte do repouso e atinge a velocidade de 41,4 km/h após 10 segundos, durante os quais ele percorre 60 m. São necessários mais 15 segundos para que o carro atinja a velocidade de 72 km/h, 280 m à frente do ponto de partida. Calcule a velocidade média e a aceleração média entre as posições 60 m e 280 m. Solução ∆x 280 − 60 = = 14, 7 m/s, ∆t 15 72/3, 6 − 41, 4/3, 6 ∆v amed = = = 0, 567 m/s2 . ∆t 15 vmed = Questão 7 Solução a) Tomando t = 15 s e t = 40 s e vx = 50 m/s como os vértices superiores do trapézio formado pela curva da velocidade e pelo eixo horizontal, a área do trapézio, que é igual ao deslocamento, é ∆x = área = 50 Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios 50 + 25 = 1 875 m 2 c) A reta que passa pelos pontos v(0) = 0 e v(15) = 50 m/s é v(t) = 50 t. 15 d) A reta horizontal entre a e b é dada por v(t) = 50 m/s. e) A reta que passa pelos pontos v(40) = 50 m/s e v(50) = 0 é v(t) = f) vmed = −50 t + 250. 10 ∆x 1 875 = = 37, 5 m/s. ∆t 50 tleb + tson = ttar e tson = 2, 393 × 104 s. Questão 12 Um avião a jato de grande porte precisa atingir a velocidade de 500km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4m/s2 . Quanto tempo ele leva para decolar e que distância percorre na pista até a decolagem? Solução Sabendo a velocidade inicial, a velocidade nal e a aceleração, podemos calcular a distância percorrida, usando a equação de Torricelli. Assim: v 2 = Vo2 + 2a∆x Questão 10 O gráco a seguir mostra a aceleração em função do tempo para uma partícula que se move ao longo de um eixo x. A escala vertical é denida por as = 12 m/s2 . No instante t = −2, 0s a velocidade da partícula é 7,0 m/s. Qual é a velocidade da partícula no instante 6,0 s. Substituindo os valores temos: ∆x = 2, 41km. Conhecendo a velocidade inicial, a velocidade nal e a aceleração, podemos também calcular o tempo de decolagem, usando a equação de movimento, isto é: v = v0 + a.t Substituindo os valores temos: ∆t = 34, 7s. Questão 13 Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a lei a = bt, onde t é o tempo e b = 0, 5m/s2 . Trace os grácos da velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t)? Solução Solução A reta mostrada no gráco é descrita pela equação a(t) = 8 − 2t. Sabendo a expressão da aceleração e partindo da denição de aceled v(t), integrando esta equação obtemos, v(t)−v(0) = ração, a(t) = dt Rt R a(t)dt sendo v(0) = 0 temos v(t) = d.tdt assim: v(t) = 12 bt2 . 0 E seu gráco é A variação na velocidade é igual à área entre a curva e o eixo horizontal, considerada negativa quando a curva está abaixo do eixo. Essa pode ser obtida do gráco ou calculada por meio da integral como mostrado abaixo: 6 Z ∆v = −2 s s Z 6 s −2 s a(t)dt =  6 s (8 − 2t)dt = 8t − t2 −2 s ∆v = 8 × 6 − 62 − [8 × (−2) − (−2)2 ] = 32 m/s v(6 s) = v(−2 s) + ∆v = 7 + 32 = 39 m/s Questão 11 Na célebre corrida entre a lebre e a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km/h e a da tartaruga é de 1,5m/min. A distância a percorrer é de 600m, e a lebre corre durante 0,5min antes de parar para uma soneca.Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente. Solução Questão 14 Como o movimento é uniforme, usaremos apenas a equação que nos Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se 15m atrás fornece a distância percorrida em função do tempo: de um caminhão (distância entre pontos médios), ambos trafegando a 80km/h. O carro tem uma aceleração máxima de 2 O tempo total que cada um gasta para percorrer a distância ∆x é 3m/s . O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar ∆x ∆x para sua mão 15m adiante do caminhão. No momento em que dado por: tleb = vleb . e ttar = vtar 4 começa a ultrapassagem, avista um carro que vem vindo em Assim: tleb = 72s e ttar = 2, 4 × 10 s. sentido oposto, também a 80km/h. A que distância mínima Para que a lebre não perca a corrida, seu tempo de percurso soprecisa estar do outro carro para que a ultrapassagem seja semado com o tempo da soneca deve ser igual ao tempo de percurso gura? da tartaruga. Portanto: ∆x = v.t Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios Para velocidade instantânea temos v = dx/dt derivando temos v = 4, 5t2 substituindo t = 2 encontramos v = 18, 0cm/s. Questão 18 Dois trens, cada um com velocidade de 30km/h, trafegam em sentidos opostos sobre uma mesma linha férrea retilínea. Um pássaro que consegue voar a 60km/h voa a partir da frente de um dos trens, quando eles estão separados por 60km, diretamente em direção ao outro trem. Alcançando o outro trem, o pássaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e assim por diante. (Não temos a menos idéia por que o pássaro comporta-se dessa maneira.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem? Solução Solução A posição de cada carro no instante t é: x1 (t) = x01 + v01 + 21 a1 t2 , x2 = xmin + v2 t, xc (t) = x0c + vc t, onde xmin = x é a distância mínima entre os carros, apenas o carro 1 tem aceleração e a origem do sistema está na posição inicial do carro 1. Usando as condições de ultrapassagem temos: x1 (t) = xc (t) + 15cm sendo assim t = 4, 472s. Sendo a posição nal igual para os dois carros temos: x1 (t) = x2 (t) assim substituindo os valores encontramos xmin = 228, 8m. Sendo que a distância entre os trens diminui a uma taxa constante 60km t = 1h. de 60km/h o tempo para ocorrer a colisão é de t = (60km/h) 60km Durante este tempo, o pássaro percorre x = vt = h 1h = 60km. Questão 19 Você tem que dirigir em uma via expressa para participar de uma entrevista em outra cidade, distante 300km. A entrevista é às 11 : 15h da manhã. Você planeja dirir a 100km/h, e assim parte às 08 : 00h da manhã de modo a ter algum tempo extra. Você dirige com a velocidade planejada os primeiros 100km, Questão 15 mas então trabalhos de reparo na rodovia abrigam você a reduUm carro de corridas pode ser acelerado de 0 a 100km/h em 4s. zir para 40km/h por 40km. Qual deve ser a velocidade mínima Compare a aceleração média com a aceleração da gravidade. que você deve desenvolver no restante da viagem para chegar Se a aceleração é constante, que distância o carro percorre até a tempo para a entrevista? atingir 100km/h? Solução Solução Os valores utilizados no problema se torna mais fácil de ver que no substituindo os valores temos am = primeiro trecho da viagem gastou-se 1h e no segundo trecho também 6, 9m/s2 e se g = 9, 8m/s , então agm = 0, 71 ou seja, am = 0, 71g . gastou-se 1h. Na forma decimal o tempo que ainda resta é 1, 25h e Durante o tempo em que foi acelerado de 0 a 100km/h. O carro per- a distância é 160km. Assim v = 160/1, 25 = 128km/h. 2 1 correu um distância dada por ∆x = 2 am (∆t) , logo ∆x = 55, 6m. Se am = ∆v ∆t , am = (v−v0 ) ∆t 2 Questão 20 Questão 16 Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma veUm motorista percorre 10km a 40km/h, os 10km seguintes a locidade de 18m/s no sentido positivo de x, e 2, 4s depois sua 80km/h mais 10km a 30km/h. Qual é a velocidade média do velocidade era 30m/s no sentido oposto. Qual é a aceleração seu percurso? Compare-a com a média aritmética da velocidamédia da partícula durante este intervalo de 2, 4s? des. Solução Solução Temos três tempos um para cada percurso, a soma é o tempo total da corrida, para encontrar o tempo usamos vm = ∆x , assim: ∆t ∆t = 0, 708hr da mesma forma para o deslocamento que somado é ∆x = 30km jogando na formula da velocidade média encontramos . vm = 42, 2 km h Por outro lado, a média das velocidades é obtida calculando-se a média aritmética das três velocidades. Assim, vM A = (v1 + v2 + v3 )/3 vM A = 50km/h Utilizando a equação da aceleração média temos que amed = (−30)−(+18) = −20m/s2 . 2,4 Questão 21 Na célebre corrida entre a lebre a a tartaruga, a velocidade da lebre é de 30 km/h e da tartaruga é de 1,h m/min. A distância a ser precorrida é de 600 m, e a lebre corre durante 0,5 min antes de parar para uma soneca. Qual é a duração máxima da soneca para que a lebre não perca a corrida? Resolva analiticamente e gracamente. O que demonstra que estas duas quantidades em geral são diferentes. Solução Questão 17 Temos que vL = 30 km/h = 501 m/min e vT = 1, 5 m/min. Vejamos que distância foi percorrida por ambas no tempo t1 = 0, 5 min. Como este é um movimento uniforme unidimensional, temos que o movimento é regido pela equação x = v.t No intervalo t1 , x1 L = 250, 5 m, de modo que faltam 349, 5 m a serem percorridos pela lebre. Enquando x1 T = 0, 75 m, de modo que faltam 599, 25 Solução m a serem percorridos pela tartaruga. Usando essa mesma equação temos que o tempo necessário para que cada uma conclua a corrida Para velocidade média temos vm = ∆x/∆t substituindo os tem- é t2 L = 0, 7 min, enquanto que t2 T = 399, 5 min. Para que a lepos em na equação de x e depois na da velocidade encontramos bre não perca a corrida, o tempo da soneca (ts ) deve ser tal que: vm = 28, 5cm/s. t2 L + ts < t2 T , ou seja, ts < 398, 8 min, que equivale a 6 horas, A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9, 75 + 1, 50t3 , onde t está em segundos e x em centímetros. Calcule a velocidade instantânea em t = 2, 00s. Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios 38 minutos e 48 segundos. Analisando o gráco do problema, e observando que a área S abaixo das duas curvas equivale a distância percorrida, nesse caso dada por S = v.t, temos que ST = tT .VT e SL = (t1L + t2L ).vL , mas como ambas percorrem o mesmo percurso. SL = ST , o que leva a (t1L + t2L ) = VT .tT /VL . Mas sabemos que para que a lebre não perca a corrida, tL = t1L + t2L + ts < tT . Substituindo a expressão a pouco encontrada, temos ts < (1 − VT /VL )tT , levando ao mesmo resultado. Questão 22 Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10s em linha reta, com aceleração crescente segundo a lei a(t) = bt, onde t é o tempo e b = 0, 5m/s3 . Trace os grácos da velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo. Qual é a expressão analítica de v(t)? Solução Sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade e, dada a expressão da aceleração e o fato de que a partícula está em repouso na origem, temos que v = bt2 /2; da mesma forma, a velo- Questão 23 cidade é a derivada temporal da posição, de modo que x = bt3 /6. Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da Tracando os grácos dessas duas equações entre 0 e 10 segundos, queda é ouvido 2s depois. Sabendo que a velocidado do som no ar é de 330 m/s, calcule a profundidade do poço. concluímos o exercício. Solução Temos que o tempo total t = 2s, é dado por t = tp + ts , onde tq é o tempo da queda de altura h ts é o tempo necessário para o som da mesma volte a subir a altura h que compreende a profundidade do poço. Sendo assim: g 2 t 2 q = Vs ts Substituindo os valores g = 9, 8m/s2 , ts = 2 − tq s e Vs = 330m/s, chegamos à equação: 4, 9t2p + 330tp − 660 = 0 Resolvendo essa equação chegamos a tq = 1, 93s e h = 18, 24m. Universidade de Brasília - Física 1 - Segunda Lista de Exercícios ...
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  • Spring '18
  • Tangente, distância, equação, Velocidade, gravidade, Avião

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