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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 175 9.1 O movimento harmônico simples De um modo geral, chamamos de oscilações aquela classe de movimento que se repete no tempo, quer seja de uma maneira ordenada ou não. O movimento que se repete regularmente com o passar do tempo é chamado de periódico e o intervalo decorrente entre duas situações equivalentes é o período do movimento. O estudo de oscilações é uma parte importante da mecânica devido à frequência com que este tipo de evento ocorre. O simples balançar das folhas de uma árvore, as ondas de rádio, o som e a luz são exemplos típicos onde o movimento oscilatório acontece. Dentre estes movimentos, aquele chamado de harmônico é o mais simples, porém, é um dos mais importantes devido à sua vasta aplicabilidade. No estudo do movimento harmônico simples (MHS) nós vamos considerar apenas o caso unidimensional, onde a posição de um corpo em relação à posição de equilíbrio é dada por uma expressão do tipo: ( ) ( ) φ + ω = t cos A t x 0 onde A é a amplitude do movimento, φ é a fase e ω 0 é a freqüência natural ou freqüência de ressonância do sistema. A e φ dependem das condições iniciais do movimento enquanto que ω 0 é uma grandeza intrínseca ao sistema, que está relacionada com o período pela expressão: f 2 T 2 0 π = π = ω onde f = 1/T é a freqüência em Hertz (Hz) e ω 0 tem dimensões de rad/s. 9 O SCILAÇÕES
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 176 Um gráfico da função x(t) está mostrado na Fig. 9.1. Um exemplo simples do MHS é a projeção (ou a sombra) de um corpo em movimento circular uniforme sobre o eixo x . Fig. 9.1 - Movimento harmônico simples. O MHS é caracterizado por ter funções bem comportadas (analíticas) tanto em x(t) como em v(t) e a(t). De fato, estas grandezas são sempre contínuas, com derivadas também contínuas. Isto já não ocorre, por exemplo, para uma partícula oscilando no interior de uma caixa unidimensional de comprimento L, mostrada na Fig. 9.2. Neste caso, x(t) é uma função periódica e triangular, apresentando nos pontos x = 0 e x = L descontinuidade na derivada primeira, já que a velocidade troca de sinal devido à colisão com a parede. Fig. 9.2 Movimento periódico de uma partícula dentro de uma caixa. A A -A T t x(t) φ 0 x(t) L/v 0 2L/v 0 t v 0 v(t) t -v 0 v 0
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 177 Voltando ao caso do MHS, onde x(t) = Acos( ω 0 t + φ ), podemos encontrar v(t) e a(t) através da operação de diferenciação: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t cos A t sen A t x t v 0 0 0 0 π + φ + ω ω = φ + ω ω - = = & ( ) ( ) ( ) ( ) t x t cos A t x t a 2 0 0 2 0 ω - = φ + ω ω - = = & & de onde vemos que a velocidade está 90 o fora de fase com a posição e que a aceleração é proporcional ao deslocamento, porém com a sentido oposto. Da 2 a lei de Newton, temos: kx x m ma F 2 0 - = ω - = = que é a força encontrada num oscilador harmônico simples (sistema massa- mola). Sempre que a força é proporcional e oposta ao deslocamento temos a ocorrência do MHS. A constante k é denominada constante de mola ou
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  • Spring '14
  • Derivada, PÊNDULO, equação, Física II, frequência, atrito, oscilador harmônico, Oscilações

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