CGP A2 Level Maths Revision and Practice.pdf

CGP A2 Level Maths Revision and Practice.pdf - CGP A2-Level...

  • No School
  • AA 1
  • 274
  • 100% (1) 1 out of 1 people found this document helpful

This preview shows page 1 out of 274 pages.

Unformatted text preview: CGP A2-Level Mathematics Edexcel Complete Revision & Practice CAUTION: This book contains more stuff than you can shake a stick at CGP A2-Level Mathematics Exam Board: Edexcel Complete Revision & Practice Covers C3, C4, S2 and M2 MER61 £12.99 (Retail Price) A2 Maths Formula Sheet Core Maths C3 Integration Logs and exponentials e x ln a =a # u ddvx dx = uv - # v ddux dx x differentiation f(x) f’(x) tan kx k sec2 kx sec x sec x tan x cot x –cosec2 x cosec x –cosec x cot x f^ xh g^ xh CGP Core Maths C4 fl^ x h g ^ x h - f ^ x h gl^ x h ^ g ^ x hh2 f(x) # sec2 kx tan x 1 tan kx + C k ln|sec x| + C cot x ln|sin x| + C cosec x ) –ln|cosec x + cot x| + C sec x ) f(x) dx ln|tan ( 21x)| + C ln|sec x + tan x| + C We've got loads of other brilliant books that might just save your life... ln|tan ( 21x + 41 p)| + C trigonometric identities sin (A ± B) ∫ sin A cos B ± cos A sin B Mechanics M2 cos (A ± B) ∫ cos A cos B " sin A sin B tan A ! tan B tan (A ± B) ∫ (A ± B ≠ (k + 21)p) 1 " tan A tan B sin A + sin B ∫ 2sin A + B cos A - B 2 2 Centres of mass For uniform bodies: Triangular lamina: 2 3 along median from vertex sin A – sin B ∫ 2cos A + B sin A - B 2 2 cos A + cos B ∫ 2cos A + B cos A - B 2 2 Circular arc, radius r, angle at centre 2a: r sin a from centre a cos A – cos B ∫ –2sin A + B sin A - B 2 2 Sector of circle, radius r, angle at centre 2a: 2r sin a from centre 3a Statistics S2 Discrete distributions Standard discrete distributions: Distribution of X P(X = x) Mean Variance Binomial B(n, p) n c m px(1 – p)n – x x np np(1 – p) Poisson Po(l) e- l l x! l l x To find out more (or place an order with fantastic next-day delivery), just visit our website or give our friendly team a call: • 0870 750 1242 Continuous distributions For a continuous random variable X having probability density function f: Expectation (mean): E(X) = μ = Variance: Var(X) = s 2 = # x f(x) dx # (x − μ)2 f(x) dx = # x2 f(x) dx − μ2 For a function g(X) : E(g(X)) = # g(x) f(x) dx x Cumulative distribution function: F(x0) = P(X ≤ x0) = # f (t) dt Standard continuous distribution: 0 And of course, our books are available from all good booksellers, including: -3 Distribution of X P.D.F. Mean Variance Uniform (rectangular) on [a, b] 1 b-a 1 (a + b) 2 1 (b – a)2 12 0913 - 11203 A2-Level Mathematics A2 Maths is seriously tricky — no question about that. To do well, you’re going to need to revise properly and practise hard. This book has thorough notes on everything in modules C3, C4, S2 and M2. It’ll help you learn the stuff you need and take you step-by-step through loads of examples. It’s got practice questions... lots of them. For every topic there are warm-up and exam-style questions. Plus there are two full practice exams at the end of each module. And of course, we’ve done our best to make the whole thing vaguely entertaining for you. Complete Revision and Practice Exam Board: Edexcel Contents Core Mathematics C3 Core Mathematics C4 C3 Section 1 — Algebra & Functions C4 Section 1 — Algebra & Functions Simplifying Expressions���������������������������������������������������������� 1 Partial Fractions������������������������������������������������������������������� 46 Algebraic Division����������������������������������������������������������������� 2 Practice Questions������������������������������������������������������������� 48 Functions and Mappings�������������������������������������������������������� 4 Composite Functions������������������������������������������������������������� 5 Inverse Functions������������������������������������������������������������������� 6 Modulus�������������������������������������������������������������������������������� 7 Transformations of Graphs����������������������������������������������������� 9 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 10 C3 Section 2 — Trigonometry Arcsine, Arccosine and Arctangent�������������������������������������� 12 Secant, Cosecant and Cotangent������������������������������������������ 13 C4 Section 2 — Coordinate Geometry in the (x, y) Plane Parametric Equations of Curves������������������������������������������� 49 Using Parametric Equations������������������������������������������������� 50 Parametric and Cartesian Equations������������������������������������� 51 Areas Under Parametric Curves������������������������������������������� 52 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 53 C4 Section 3 — Sequences & Series The Addition Formulas��������������������������������������������������������� 15 The Binomial Expansion������������������������������������������������������� 55 Approximating with Binomial Expansions����������������������������� 58 Binomial Expansions and Partial Fractions���������������������������� 59 The Double Angle Formulas������������������������������������������������ 16 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 60 Using Trigonometric Identities��������������������������������������������� 14 The R Addition Formulas����������������������������������������������������� 17 More Trigonometry Stuff����������������������������������������������������� 18 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 19 C3 Section 3 — Exponentials & Logarithms ex, ln x and Graphs�������������������������������������������������������������� 21 Using ex and ln x — Solving Equations��������������������������������� 22 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 24 C4 Section 4 — Differentiation Differentiation with Parametric Equations���������������������������� 62 Implicit Differentiation��������������������������������������������������������� 63 Differentiation of ax�������������������������������������������������������������� 65 Relating Rates of Change����������������������������������������������������� 66 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 67 C4 Section 5 — Integration 1 Differentiation of Sin, Cos and Tan��������������������������������������� 28 Integration of ex and 1/x������������������������������������������������������ 69 Integration of Sin and Cos���������������������������������������������������� 70 Integration of f’(x)/f(x)��������������������������������������������������������� 71 Integration Using the Chain Rule Backwards����������������������� 72 Integrating Trig Things Using Trig Identities�������������������������� 73 Product Rule������������������������������������������������������������������������ 29 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 74 C3 Section 4 — Differentiation Chain Rule��������������������������������������������������������������������������� 26 Differentiation of ex and ln x������������������������������������������������ 27 Quotient Rule���������������������������������������������������������������������� 30 More Trig Differentiation����������������������������������������������������� 31 C4 Section 6 — Integration 2 More Differentiation������������������������������������������������������������ 32 Integration by Substitution��������������������������������������������������� 75 Integration by Parts�������������������������������������������������������������� 76 Tough Integrals�������������������������������������������������������������������� 77 Volumes of Revolution��������������������������������������������������������� 78 Differential Equations���������������������������������������������������������� 79 Numerical Integration���������������������������������������������������������� 81 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 33 C3 Section 5 — Numerical Methods Location of Roots����������������������������������������������������������������� 35 Iterative Methods����������������������������������������������������������������� 36 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 38 C3 Practice Exams C3 — Practice Exam One���������������������������������������������������� 40 C3 — Practice Exam Two���������������������������������������������������� 43 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 82 C4 Section 7 — Vectors Vectors�������������������������������������������������������������������������������� 84 Vector Equations of Lines����������������������������������������������������� 87 Scalar Product��������������������������������������������������������������������� 88 Practice Questions�������������������������������������������������������������� 91 C4 Practice Exams C4 — Practice Exam One��������������������������������������������������� 93 C4 — Practice Exam Two���������������������������������������������������� 96 Contents Statistics S2 Mechanics M2 S2 Section 1 — The Binomial Distribution M2 Section 1 — Kinematics Binomial Coefficients����������������������������������������������������������� 99 Projectiles�������������������������������������������������������������������������� 155 The Binomial Probability Function������������������������������������� 100 Displacement, Velocity and Acceleration��������������������������� 158 The Binomial Distribution�������������������������������������������������� 101 Describing Motion Using Vectors��������������������������������������� 160 Using Binomial Tables�������������������������������������������������������� 102 Practice Questions������������������������������������������������������������ 162 Mean and Variance of B(n, p)�������������������������������������������� 103 Binomial Distribution Problems����������������������������������������� 104 Practice Questions������������������������������������������������������������ 105 S2 Section 2 — The Poisson Distribution M2 Section 2 — Centres of Mass Discrete Groups of Particles in 1 Dimension���������������������� 164 Discrete Groups of Particles in 2 Dimensions��������������������� 165 Standard Uniform Laminas������������������������������������������������ 166 The Poisson Distribution���������������������������������������������������� 107 Composite Shapes������������������������������������������������������������� 167 The Poisson Parameter������������������������������������������������������� 108 Frameworks����������������������������������������������������������������������� 168 Using Poisson Tables���������������������������������������������������������� 109 Laminas in Equilibrium������������������������������������������������������� 169 Po(l) as an Approximation to B(n, p)������������������������������� 110 Practice Questions������������������������������������������������������������ 170 Worked Problems�������������������������������������������������������������� 111 Practice Questions������������������������������������������������������������ 112 M2 Section 3 — Work & Energy Work Done������������������������������������������������������������������������ 172 S2 Section 3 — Continuous Random Variables Kinetic and Potential Energy���������������������������������������������� 173 Probability Density Functions�������������������������������������������� 114 The Work-Energy Principle������������������������������������������������� 175 Cumulative Distribution Functions������������������������������������� 116 Power�������������������������������������������������������������������������������� 177 Mean of a Continuous Random Variable���������������������������� 118 Practice Questions������������������������������������������������������������ 178 Variance of a Continuous Random Variable����������������������� 119 Mode, Median and Quartiles��������������������������������������������� 120 M2 Section 4 — Collisions Practice Questions������������������������������������������������������������ 121 Momentum and Impulse��������������������������������������������������� 180 S2 Section 4 — Continuous Distributions Collisions��������������������������������������������������������������������������� 182 Complex Collisions������������������������������������������������������������ 184 Continuous Uniform Distributions������������������������������������� 123 Collisions and Energy��������������������������������������������������������� 186 Applications of U[a, b]������������������������������������������������������� 125 Practice Questions����������������������������������������������������������� 187 Normal Approximation to B(n, p)�������������������������������������� 126 Normal Approximation to Po(l)���������������������������������������� 128 M2 Section 5 — Statics of Rigid Bodies More About Approximations���������������������������������������������� 129 Moments��������������������������������������������������������������������������� 189 Practice Questions������������������������������������������������������������ 130 Rigid Bodies���������������������������������������������������������������������� 191 S2 Section 5 — Hypothesis Tests Rigid Bodies and Friction��������������������������������������������������� 192 Practice Questions������������������������������������������������������������ 194 Populations and Samples��������������������������������������������������� 132 Sampling��������������������������������������������������������������������������� 133 M2 Practice Exams Statistics���������������������������������������������������������������������������� 134 M2 — Practice Exam One������������������������������������������������� 196 Null and Alternative Hypotheses��������������������������������������� 135 M2 — Practice Exam Two������������������������������������������������� 199 Significance Levels and Critical Regions����������������������������� 136 Hypothesis Tests and Binomial Distributions���������������������� 137 Hypothesis Tests and Poisson Distributions������������������������ 139 C3 — Answers.................................................................... 202 Practice Questions������������������������������������������������������������ 140 C4 — Answers.................................................................... 217 S2 Practice Exams S2 — Answers.................................................................... 236 M2 — Answers................................................................... 251 S2 — Practice Exam One�������������������������������������������������� 142 S2 — Practice Exam Two�������������������������������������������������� 145 Statistical Tables�������������������������������������������������������������� 148 Index.................................................................................. 266 Contributors: Mary Falkner, Paul Jordin, Sharon Keeley-Holden, Simon Little, Ali Palin, Andy Park, David Ryan, Lyn Setchell, Caley Simpson, Jane Towle, Jonathan Wray, Dawn Wright Proofreaders: Mona Allen, Alastair Duncombe, Ann Francis, Paul Garrett, Glenn Rogers Published by CGP. Groovy Website: Based on the classic CGP style created by Richard Parsons. Text, design, layout and original illustrations © Coordination Group Publications Ltd. (CGP) 2010 All rights reserved. C3 Section 1 — Algebra and Functions 1 Simplifying Main Heading Expressions What a lovely way to start a book — a page on algebraic fractions. Still, at least they’re over with early on, so if they pop up later in C3 you’ll know what to do. No, not run away and cower in a corner — use the things you learnt on this page. Simplify algebraic fractions by Factorising and Cancelling Factors Algebraic fractions are a lot like normal fractions — and you can treat them in the same way, whether you’re multiplying, dividing, adding or subtracting them. All fractions are much easier to deal with when they’re in their simplest form, so the first thing to do with algebraic fractions is to simplify them as much as possible. 1) Look for common factors in the numerator and denominator — factorise top and bottom and see if there’s anything you can cancel. 2) If there’s a fraction in the numerator or denominator (e.g. 1 x ), multiply the whole thing (i.e. top and bottom) by the same factor to get rid of it (for 1 , you’d multiply through by x). x Examples Simplify the following: Watch out for the 1 1 2x 2 2 4x 1 3 ^ x + 2h 1 a) 3x + 6 b) + 2x = ` + 2x j # difference of two 3 = 2 + = 2 2 = = x 2 squares — see C1. 2 x ^4x + 1h # 2x 2x ^4x + 1h 2x 4x + x x -4 ^ x + 2h^ x - 2h 3) You multiply algebraic fractions in exactly the same way as normal fractions — multiply the numerators together, then multiply the denominators. It’s a good idea to cancel any common factors before you multiply. 4) To divide by an algebraic fraction, you just multiply by its reciprocal (the reciprocal is 1 ÷ the original thing — for fractions you just turn the fraction upside down). Examples Simplify the following: 2 2 a) x - 2x - 15 # x 2 - 16 = ^ x + 3h^ x - 5h # ^ x + 4h^ x - 4h 2x + 8 2 ^ x + 4h x ^ x + 3h x + 3x ^ x - 5h^ x - 4h x 2 9x 20 Factorise both fractions. c= - + m = 2x 2x 3x 3x 2 - 9x 3x 20 = 5 # 5 ' 20 3x ^ x - 3h 4 Turn the second =x 3 fraction upside down. b) Add and Subtract fractions by finding a Common Denominator You’ll have come across adding and subtracting fractions before in C1, so here’s a little reminder of how to do it: Example Simplify: 2y x 1 + 2 -y x ^ x + 3h y ^ x + 3h The common denominator is the lowest common multiple (LCM) of all the denominators. 1 Find the Common Denominator Take all the individual ‘bits’ from the bottom lines and multiply them together. Only use each bit once unless something on the bottom line is raised to a power. The individual ‘bits’ here are x, (x + 3) and y... xy 2 ^ x + 3h ...but you need to use y2 because there’s a y2 in the second fraction’s denominator. 2 Put Each Fraction over the Common Denominator Make the denominator of each fraction into the common denominator. xy ^ x + 3h # x y 2 # 2y x#1 + xy ^ x + 3h y y x ^ x + 3h xy 2 ^ x + 3h Multiply the top and bottom lines of each fraction by whatever makes the bottom line the same as the common denominator. 2 3 Combine into One Fraction Once everything’s over the common denominator you can just add the top lines together. All the bottom lines are the same — so you can just add the top lines. = 2y 3 + x - x 2 y ^ x + 3h xy 2 ^ x + 3h = 2y 3 + x - x 3 y - 3 x 2 y xy 2 ^ x + 3h Who are you calling common... Nothing on this page should be a big shock to you — it’s all stuff you’ve done before. You’ve been using normal fractions for years, and algebraic fractions work in just the same way. They look a bit scary, but they’re all warm and fuzzy inside. C3 Section 1 — Algebra and Functions 2 Algebraic Division I’ll be honest with you, algebraic division is a bit tricky. But as long as you take it slowly and don’t rush, it’ll all fall into place. And it’s really quick and easy to check your answer if you’re not sure. What more could you want? There are some Terms you need to Know There are a few words that keep popping up in algebraic division, so make sure you know what they all mean. 1) DEGREE — the highest power of x in the polynomial (e.g. the degree of 4x5 + 6x2 – 3x – 1 is 5). 2) DIVISOR — this is the thing you’re dividing by (e.g. if you divide x2 + 4x – 3 by x + 2, the divisor is x + 2). 3) QUOTIENT — the bit that you get when you divide by the divisor (not including the remainder — see p.3). Method 1 — Divide by Subtracting Multiples of the Divisor Back in C2, you learnt how to do algebraic division by subtracting chunks of the divisor. Here’s a quick reminder of how to divide a polynomial by x − k: Algebraic Division 1) Subtract a multiple of (x – k) to get rid of the highest power of x. 2) Repeat step 1 until you’ve got rid of all the powers of x. 3) Work out how...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Get FREE access by uploading your study materials

Upload your study materials now and get free access to over 25 million documents.

Upload now for FREE access Or pay now for instant access
Christopher Reinemann
"Before using Course Hero my grade was at 78%. By the end of the semester my grade was at 90%. I could not have done it without all the class material I found."
— Christopher R., University of Rhode Island '15, Course Hero Intern

Ask a question for free

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern