ecuacion_cuadratica2.pdf - Eje tem\u00e1tico \u00c1lgebra y funciones Contenidos Funci\u00f3n cuadr\u00e1tica Ecuaciones de segundo grado \u2013 Traslaciones de funci\u00f3n

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Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función cuadrática - Ecuaciones de segundo grado – Traslaciones de función cuadrática y función raíz Nivel: 3° Medio Ecuación Función cuadrática 1. Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado , y al resolverla obtendrás dos soluciones posibles: x 1 y x 2 . La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma: Ax 2 + B x + C =0 (con A 0)° Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C. 1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas 1. Por factorización Podremos resolver una ecuación del tipo: x 2 - 12x - 28 = 0, por este método solo si el trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo producto sea 28). En este ejercicio, los números son - 14 y 2, porque la suma de ellos es igual a -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0 o bien (x + 2) = 0. A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2. Recíprocamente, podemos generalizar que si x 1 y x 2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces la ecuación (x – x 1 )· (x – x 2 ) = 0 es un producto de binomios con 1 término común y corresponde a x 2 – x 1 · x – x 2 · x + x 1 · x 2 = 0, que si se factoriza en x 2 resulta: x 2 - (x 1 + x 2 )· x + x 1 x 2 = 0. Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las soluciones. Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo binomios de la forma: X 2 – B 2 . Por ejemplo: x 2 – 81 = 0, el que se factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)· (x – 9) = 0, determinando las soluciones x 1 = -9 y x 2 = 9.
2. Utilizando la fórmula Todas las ecuaciones cuadráticas: ax 2 + b x + c = 0 (con a 0) °°Se pueden resolver utilizando la fórmula: Ejemplo: Resolver la ecuación x 2 – 10x + 24 = 0 En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: determinando así las soluciones x 1 = 6 o x 2 = 4 3. Por completación de cuadrados Ejemplo: Resolver la ecuación: x 2 – 6x + 8 = 0 Con los términos x 2 y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio: x 2 – 6x + 8 = 0 /+9 x 2 – 6x + 9 + 8 = 9 / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto (x – 3) 2 + 8 = 9 (x – 3) 2 = 1 Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que x 1 = 4 o x 2 = 2 4. Despejando la incógnita En algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las soluciones.

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