Introduccion_a_la_programacion_no_lineal.pdf - Simulación y Optimización de los Procesos Químicos TEMA 10 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA OPTIMIZACIÓN

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Simulación y Optimización de los Procesos Químicos 101 TEMA 10: MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS NO LINEALES CON RESTRICCIONES 1.- INTRODUCCIÓN 2.- METODOS DE PENALIZACIÓN, BARRERA Y LAGRANGIANA AUMENTADA 2.1.- Métodos de Penalización 2.2.- Método de Penalización Exacta. 2.3.- Lagrangiana Aumentada. 2.4.- Métodos de Barrera. 3.- PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA SUCESIVA 4.- MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO 4.1.- Gradiente reducido con restricciones lineales. 4.2.- Extensión a sistemas con restricciones no lineales. 5.-ALGUNAS REGLAS PRACTICAS PARA LA FORMULACIÓN DE NLPs.
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Simulación y Optimización de los Procesos Químicos 102 TEMA 10. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS NO LINEALES CON RESTRICCIONES 1.- INTRODUCCIÓN En todos los casos la idea básica de los métodos de optimización con restricciones es transformar el problema en otro sin restricciones. Como se comentó anteriormente los métodos más usados son: 1. Métodos de penalización externa. 2. Métodos de penalización interna 3. Métodos de programación lineal sucesiva. 4. Métodos de gradiente reducido 5. Programación cuadrática sucesiva. Veremos una pequeña introducción a los métodos de penalización. Sin entrar en demasiados detalles, y nos centraremos sobre todo en los métodos de gradiente reducido y de programación cuadrática sucesiva.
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Simulación y Optimización de los Procesos Químicos 103 2.- METODOS DE PENALIZACIÓN BARRERA Y LAGRANGIANA AUMENTADA. 2.1.- M ÉTODOS DE P ENALIZACIÓN La idea esencial de los métodos de penalización consiste en transformar un problema no lineal (NLP) en una secuencia de problemas sin restricciones que presentan la misma solución final. m ) , , , ( : min 0 ) ( 0 ) ( . . ) ( : min r h g f P x h x g a s x f → = donde P es una función de penalización y ‘r’ es un parámetro de penalización positivo. Por ejemplo, considere el siguiente problema: ( ) ( ) 0 4 ) ( . . 2 1 ) ( : min 2 1 2 2 2 1 = - + = - + - = x x x h a s x x x f Se puede transformar en el problema equivalente: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 4 2 1 ) , ( : min - + + - + - = x x r x x r x P El principal problema que plantea la función de penalización anterior estriba en que el valor del parámetro r debe aumentar a medida que nos acercamos a la solución. En el límite el producto 2 h r se aproxima a cero, y el valor de P(x,r) se aproxima al de f(x) . En el problema anterior el punto óptimo es x*=(1.5, 2.5) T , y el mínimo del mismo problema
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Simulación y Optimización de los Procesos Químicos 104 si eliminamos la restricción es x*=(1,2) T . La Tabla siguiente muestra el efecto del valor del parámetro r en el valor que resulta al resolver el problema P. r x 1 x 2 f 0 1.0000 2.0000 0.0000 0.1 1.0833 2.0833 0.0833 1 1.3333 2.3333 0.3333 10 1.4762 2.4762 0.4762 100 1.4975 2.4975 0.4975 1000 1.4998 2.5000 0.4998 El aumento en el valor de r acarrea un problema de “mal condicionamiento”, haciendo enorme el número de condición de la hessiana. ( ) , ( 2 r x P ).
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  • Spring '16
  • Punto, Derivada, Ecuación, Algoritmo, Matriz hessiana

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