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Unformatted text preview: Elementos de probabilidad y estadística UNIVERSIDAD NACIONAL DE MORENO Rector Hugo O. ANDRADE Vicerrector Manuel L. GÓMEZ Secretaria Académica Adriana M. del H. SÁNCHEZ Secretario de Investigación, Vinculación Tecnológica y Relaciones Internacionales Jorge L. ETCHARRÁN (ad honorem) Secretaria de Extensión Universitaria M. Patricia JORGE Secretario general V. Silvio SANTANTONIO Consejo Superior Autoridades Hugo O. ANDRADE Manuel L. GÓMEZ Jorge L. ETCHARRÁN Pablo A. TAVILLA M. Patricia JORGE Consejeros Claustro docente: Marcelo A. MONZÓN Javier A. BRÁNCOLI Guillermo E. CONY (s) Adriana M. del H. SÁNCHEZ (s) Claustro estudiantil: Rocío S. ARIAS Iris L. BARBOZA Claustro no docente: Carlos F. DADDARIO Escenas y actores de una historia Elementos de social y cultural probabilidad y estadística Carlos Lagorio Federico Cormick Aurelio Arnoux Narvaja Cristóbal R. Santa María Claudia Soraya Buccino UNIVERSIDAD NACIONAL DE MORENO Santa María, Cristóbal Elementos de probabilidad y estadística / Cristóbal Santa María ; Claudia Buccino. - 1a ed . - Moreno : UNM Editora, 2016. Libro digital, PDF - (Biblioteca universitaria) Lagorio, Carlos Escenas y actores de una historia social y cultural / Carlos Lagorio ; Federico Cormick ; Archivo Digital: descarga y online Aurelio Arnoux Narvaja. - 1a ed . - Moreno : UNM Editora, 2015. ISBN 978-987-3700-31-6 304 p. ; 22 x 15 cm. - (Biblioteca Universitaria / Adriana M. del H. Sánchez, ) ISBN 978-987-3700-03-3 1. Ingeniería Electrónica. 2. Estadísticas. 3. Probabilidades. I. Buccino, Claudia II. Título 1. Historia de la Cultura. 2. Historia Social. I. Cormick, Federico II.Arnoux Narvaja, CDD 621.38 Aurelio III.Título CDD 306 de Ciencias Aplicadas y Tecnología Departamento Licenciatura en Comunicación Social Director General-Decano: Jorge yL.Ciencias ETCHARRÁN Departamento de Humanidades Sociales Coordinador-Vicedecano: Roberto C. MARAFIOTI Colección: Biblioteca Universitaria Directora: Adriana M. del H. SÁNCHEZ Colección: BIBLIOTECA UNIVERSITARIA Director:Adriana M. deldeH. SÁNCHEZ 1a. edición: marzo 2016 © UNM Editora, 2016 1a. edición: diciembre de1891, 2015Moreno (B1744OHC), prov. de Buenos Aires, Argentina Av. Bartolomé Mitre © UNM Editora, 2015 (+54 237) 466-7186/1529/4530, (+54 237) 462-8629, (+54 237) 460-1309 Av. Bartolomé Mitre 1891, Moreno (B1744OHC), prov. de Buenos Aires,Argentina Interno: 154 (+54 237) 466 7186/1529/4530 - (+54 237) 462 8629 - (+54 237) 460 1309 - Int. 154 [email protected] [email protected] - 2016 Este ISBN: libro se978-987-3700-15-6 terminó de imprimir en diciembre de 2015 en xxxx, xxxx, provincia de Buenos Aires. Se imprimió en marzo de 2016 en Coop. Chilavert Artes Gráficas, imprenta recuperada y gestionada por argentina. sus trabajadores Chilavert 1136, que CABA, Argentina). Libro de edición Queda(M. hecho el depósito marca la Ley 11.723 Libro de edición argentina total o parcial Prohibida su reproducción ISBN: Queda978-987-3700-03-3 hecho el depósito que marca la Ley 11.723 Prohibida su reproducción total o parcial UNM Editora UNM Editora Responsable editorial Miembros ejecutivos Laura B. CARDONA Adriana M. del H. Sánchez (presidenta) Miembros ejecutivos: Departamento de JorgeAdriana L. ETCHARRÁN M. del H. Sánchez (presidenta) Asuntos Editoriales: Arte y diseño PabloJorge A. TAVILLA L. ETCHARRÁN Leonardo RABINOVICH a/c R. Alejo CORDARA M. Patricia JORGE Pablo A. TAVILLA V. Silvio SANTANTONIO M. Patricia JORGE Staff: Staff Marcelo A. MONZÓN V. Silvio SANTANTONIO R. Alejo CORDARA (arte) Josefina DARRIBA Marcelo A. MONZÓN D. HERMOSA Sebastián Sebastián D. HERMOSA ACUÑA ACUÑA Miembros honorarios N. PENELA Cristina V.Pablo LIVITSANOS Hugo O. ANDRADE Miembros honorarios: Daniela A. RAMOS ESPINOSA Pablo N. PENELA Manuel L. GÓMEZ Hugo O. ANDRADE H. PERANIC Florencia Florencia H. PERANIC Manuel L. V. LIVITSANOS Daniela A.Cristina RAMOS ESPINOSA Departamento deGÓMEZ Asuntos Editoriales Leonardo RABINOVICH (a cargo) Presentación Con publicación, incorporada a laespecial Colección Universitaria Estaesta presentación reviste un carácter por Biblioteca ser Elementos de probabilidad y estadística la primera de las de publicaciones delpara Departamento de de UNM Editora, se ofrece un trabajo gran utilidad los estudiantes Ciencias Aplicadas y Tecnología, especialmente dirigida a los estudiantes de del Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnología, particularmente, para la carrera de Ingeniería en Electrónica de laen Universidad. es elva resullos estudiantes de la carrera de Ingeniería Electrónica,Elalibro quienes espetado del trabajo realizado por los docentes Cristóbal Santa María y Claudia cialmente dirigida. Soraya Buccino de la asignatura Probabilidad y Estadística. Es necesario El libro es el resultado del trabajo realizado por los docentes Cristóbal destacar que un equipo docente, además de su tiempo frente a curso, tiene Santa María y Claudia Buccino, a cargo de la asignatura Probabilidad y Esla responsabilidad de la producción académica. Es decir, su tarea también tadística (2027), correspondiente al Ciclo Inicial de la carrera, al cabo del es continuar con la formación en el aula y ampliar los conocimientos de los cual los estudiantes al título intermedio de Técnico estudiantes a través acceden de la investigación y la elaboración, que seUniversitario deben volcaren Electrónica de la como Universidad Nacional en producciones la presente. ParadelaMoreno. Universidad Nacional de MoEsadquiere necesario destacar que incuestionable un equipo docente, además tiempo frente reno una relevancia ya que dentrodedesusus objetivos aestá curso, tiene la responsabilidad de la producción académica. Es decir, el de contar con docentes que produzcan textos que sean el resulta-su tarea continuar con la formacióndeenhipótesis el aula yy ampliar los conocido deltambién estudio,esinvestigación, reformulación reelaboraciones a partir dedelalos reflexión acercaa de su propia práctica. En tal el libro mientos estudiantes través de la investigación y lasentido, elaboración, que reúne los volcar conocimientos básicos imprescindibles paraPara entender losUniversidad, conceptos se deben en producciones como la presente. nuestra fundamentales de relevancia Probabilidad y Estadísticayaque utilizarán técnicos e esto adquiere una incuestionable que, dentro delossus objetivos, ingenieros en Electrónica que egresen de nuestra Universidad. Asimismo, el está el de contar con docentes que produzcan textos que sean el resultado del texto tiene la riqueza yreformulación el acervo científico pertinente para que pueda ser estudio, investigación, de hipótesis y reelaboraciones a partir utilizado en las otras tecnicaturas y carreras del Departamento de Ciencias de la reflexión acerca de su propia práctica. En tal sentido, el libro reúne los Aplicadas y Tecnología, lo cual otorga mayor importancia a la obra. conocimientos básicos imprescindibles para entender los conceptos fundamentales de Probabilidad y Estadística que utilizarán los Técnicos e ingenieros en Electrónica que egresen de nuestra Universidad. Asimismo, el texto tiene la riqueza y el acervo científico pertinente para queL.pueda ser utilizado Jorge ETCHARRÁN en las otras tecnicaturas y carreras del Departamento de Ciencias Aplicadas general-decano del y Tecnología, lo cual otorga mayor importanciaDirector a la obra. Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnología Jorge L. ETCHARRÁN Director General-Decano del Departamento de Ciencias Aplicadas y Tecnología 9 Prólogo La Teoría de las probabilidades y la estadística ocupa hoy un lugar cenLa Teoría de las probabilidades y la estadística ocupa hoy un lugar central entral entre el conjunto de conocimientos matemáticos que permiten abordar tre el conjunto de conocimientos matemáticos que permiten abordar el modelado el modelado de los sistemas tecnológicos. Nuestra época se caracteriza por de los sistemas tecnológicos. Nuestra época se caracteriza por el reconocimiento el reconocimiento de los factores aleatorios que gobiernan las relaciones ende los factores aleatorios que gobiernan las relaciones entre causas y efectos en tre causas y efectos en cualquier dominio del conocimiento, y a través de la cualquier dominio del conocimiento, y a través de la recolección de una enorme recolección de una enorme cantidad de datos que requieren procesamiento cantidad de datos que requieren procesamiento para ser útiles como información. para ser útiles como información. En este sentido, los conceptos básicos que En este sentido, los conceptos básicos que aquí exponemos son las herramientas aquí exponemos son las herramientas que posibilitan interpretar esas relaque posibilitan interpretar esas relaciones y construir esos procesos. Proporciociones y construir esos procesos. Proporcionan en definitiva un lenguaje que nan en definitiva un lenguaje que intenta estar libre de inconsistencias lógicas intenta estar libre de inconsistencias lógicas y a su vez hacer más simple la y a su vez hacer más simple la exposición y la comprensión de ideas así como exposición y la comprensión de ideas así como también facilitar el cálculo. también facilitar el cálculo. Ese es, precisamente, el papel de la matemática en la Ese es, precisamente, el papel de la matemática en la Ingeniería: ser el lenIngeniería: ser el lenguaje con el que se entiende, se diseña y se calcula, potenguaje con el que se entiende, se diseña y se calcula, potenciando así −valga ciando así −valga la redundancia− el “ingenio” del ingeniero. la redundancia− el “ingenio” del ingeniero. Este libro surgió naturalmente como resultado de la preparación de las clases Este libro surgió naturalmente como resultado de la preparación de las que los autores hemos dictado en distintos centros de enseñanza universitaria clases que los autores hemos dictado en distintos centros de enseñanza unidentro de los planes de estudio de carreras de ingeniería. A lo largo de ese camino, versitaria dentro de los planes de estudio de carreras de ingeniería. A lo hemos tenido que adaptar tópicos y metodologías de enseñanza y aprendizaje a largo de ese camino, hemos tenido que adaptar tópicos y metodologías de distintas modificaciones, propuestas para ajustar el esfuerzo del estudiante y la enseñanza y aprendizaje a distintas modificaciones, propuestas para ajustar duración de los planes de carrera a la amplia exigencia de contenidos que plantea el esfuerzo del estudiante y la duración de los planes de carrera a la amplia el desarrollo tecnológico actual. Creemos que tales modificaciones no siempre exigencia de contenidos que plantea el desarrollo tecnológico actual. Creetuvieron en cuenta la importancia relativa de la materia respecto del total de matemos que tales modificaciones no siempre tuvieron en cuenta la importancia mática que debe aprender un ingeniero. Así, ha operado una paulatina reducción relativa de la materia respecto del total de matemática que debe aprender de los tiempos de clases asignados que, entre otras causas, ha sido responsable de un ingeniero. Así, ha operado una paulatina reducción de los tiempos de clalas dificultades que enfrentan los estudiantes para obtener madurez conceptual en ses asignados que, entre otras causas, ha sido responsable de las dificultades los distintos puntos programáticos. De alguna manera, este libro trata de aportar que enfrentan los estudiantes para obtener madurez conceptual en los disun principio de solución a tales dificultades al restringir el temario y acotar su tintos puntos programáticos. De alguna manera, este libro trata de aportar profundidad a los tiempos y posibilidades reales. un principio de solución a tales dificultades al restringir el temario y acotar Al escribir cada capítulo, se ha procurado tener en cuenta no solo las consisu profundidad a los tiempos y posibilidades reales. deraciones realizadas en el párrafo anterior sino también el perfil sociológico y Al escribir cada capítulo, se ha procurado tener en cuenta no solo las cultural de los jvenes estudiantes actuales, inmersos de hecho en el mundo de 11 Cristóbal R. Santa María - Claudia Soraya Buccino las tecnologías de la información y la comunicación. Hemos observado que en ese mundo prima la comprensión de conceptos a través de imágenes y, ocasionalmente, de sonidos por sobre el discurso y el texto. Esto, que quizás resulte una ventaja para la captación inmediata de ideasen la relación social e interpersonal, puede a su vez constituirse en un obstáculo para aprehender conceptos cuyo carácter más abstracto requiere de la palabra y aun de la fórmula como forma de representación. Es relativamente sencillo comprender qué cosa es un lápiz viendo una imagen del mismo y a una persona empuñándolo para escribir; pero puede ser mucho más complicado entender a través de imágenes qué significan administración,burocracia o entropía. Creemos entonces que, para no limitar el universo de la comprensión conceptual, hay que poner énfasis en la palabra oral y sobretodo en la escrita. En tal sentido hemos tratado de presentar cada tema extremando el desarrollo del texto antes de pasar a la abstracción mayor que implica la fórmula y utilizando solo en forma ocasional imágenes, allí donde las consideramos imprescindibles para completar la comprensión. También hemos procurado evitar seudo razonamientos mnemotécnicos que intentan proporcionar “reglas” y hemos atenuado el uso de recuadros y resaltados deforma de inducir a la búsqueda del contenido en el interior del texto. La intención ha sido contraponer al hábito de la imagen el hábito del discurso y del texto, con la posterior abstracción matemática, para intentar ampliarlas posibilidades de comprender. Nos parece oportuno señalar que tal marco metodológico de enseñanza surge, antes que por cualquier otra razón, por la naturaleza del contenido abstracto que posee el tema. En suma, el proceso de enseñanza y aprendizaje que se intenta no solo involucra la comprensión de los contenidos sino también la de los métodos para lograrlo. Lo expuesto hasta aquí no debe hacer pensar que nos negamos al uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Muy por el contrario,las consideramos una parte imprescindible en el proceso de enseñanza y aprendizaje tanto en lo que atañe a la inmediatez de la comunicación por vía de una plataforma virtual como en la simplicidad del cálculo para la resolución de problemas por medio de software. La utilidad en ambos casos está fuera de toda discusión, pero hay que señalar que el beneficio se produce una vez que se ha realizado un primer proceso de comprensión que, para cada tema, abarca al menos la lectura inicial del libro, la participación en clase y la realización de ejercicios conceptuales entendidos como “pruebas de escritorio”. Luego de esto, la interacción con los docentes por vía virtual y el uso de software para resolución de problemas cuyo cálculo podría ser más tedioso, complejo o simplemente largo, suele servir para afirmar y ampliarla comprensión y además prepara adecuadamente para el desempeño profesional. De este modo la eficiencia en el conocimiento y en la aplicación del software pasa a ser un contenido más de los que pueblan la materia. 12 Elementos de probabilidad y estadística Hemos puesto especial empeño en desarrollar cada tema tratando quede la exposición y la ejercitación surja la estructuración mental de los conceptos fundamentales de la disciplina. Para esto hicimos a un lado, en tanto fue posible, detalles, complejidades y aun formalidades que pueden ser de indudable interés para el matemático profesional, pero que raramente un ingeniero necesita tener en cuenta. Al establecer esta jerarquización temática procuramos aportar a la adquisición sólida de conocimientos básicos mediante un proceso que, entendemos, comprende diferentes etapas. Se trata primero de entender, luego de ejercitar y resolver problemas para ampliar y consolidar la comprensión, y finalmente, de memorizar, aspecto este último que no suele contar con buena prensa pero que juzgamos también imprescindible. No creemos además que la matemática, y en particular nuestro tópico,pueda enseñarse ni aprenderse solo buscando el ingenio de la resolución de problemas para construir internamente el saber descubriéndolo. Tal camino,útil quizá para despertar gustos y vocaciones, resulta insuficiente en relación con la necesidad de saberes profesionales y con los tiempos en que estos deben ser adquiridos de acuerdo con nuestra capacidad. En consecuencia, en las etapas de aprendizaje señaladas, proponemos una dosificación parcial de esta idea al apuntar simultáneamente a una conceptualización teórica básica y a un razonable desarrollo de la capacidad de modelado y cálculo, compatibles no solo con la curiosidad vocacional sino también con el requerimiento del ejercicio profesional. Realizamos este libro con la idea de que la ciencia y su aplicación técnica bien orientada puede aportar grandes y decisivos beneficios al desarrollo social. Si bien sabemos que en el pasado y en la actualidad muchos ingenios tecnológicos han servido y sirven para iniciar y consolidar desigualdades e injusticias sociales o para agredir nuestro medio ambiente natural, resulta impensable recorrer un camino de ampliación de derechos, inclusión y desarrollo económico sin la columna vertebral que constituye la formación en ciencia y tecnología. Tal formación, que garantiza un grado necesario de independencia, debe constituir una preocupación permanente de toda la comunidad y no solo de quienes dedicamos a ello nuestro trabajo. En ese sentido, intentamos aportar a los planes de formación de ingenieros para los próximos años un libro acerca de la Probabilidad y la Estadística escrito en la lengua de nuestra sociedad y de acuerdo con las formas de discurso que ella emplea. Procuramos además que exprese los contenidos y también la metodología didáctica que, entendemos, colabora con el cumplimiento de aquellos planes. Finalmente, queremos agradecer al Ingeniero Aldo Sacerdoti, a la Magister María Eugenia Angel por sus sugerencias y comentarios sobre el enfoque de los temas y, muy especialmente, a todos los estudiantes que fueron usando el material en las clases proponiendo modificaciones y ampliaciones que mejoraran la didáctica. 13 Índice general Página 1. Probabilidad elemental 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Las definiciones de probabilidad . . . . 1.3. Definición axiomática de probabilidad 1.4. Principios de conteo . . . . . . . . . . 1.5. Probabilidad condicional . . . . . . . . 1.6. Independencia . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Probabilidad de las causas . . . . . . . 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 21 25 31 38 40 43 47 2. Variables aleatorias discretas 2.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . 2.2. Distribuciones de probabilidad . . 2.3. Variables y distribuciones discretas 2.4. Distribuciones conjuntas . . . . . . 2.5. Esperanza y varianza . . . . . . . . 2.6. Distribuciones discretas . . . . . . 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 54 56 62 64 73 84 3. Variables aleatorias continuas 3.1. Función de densidad . . . . . 3.2. Distribuciones continuas . . . 3.3. La distribución normal . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . 89 . 95 . 98 . 108 . . . . . . . . . . . . 4. Complementos teóricos 111 4.1. Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2. Ley de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9 ÍNDICE G...
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  • Test, España, Comunicación, Enseñanza, Análisis de la varianza

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