theoretical-physics.pdf - Theoretical Physics Reference Release 0.5 \u02c7 Ond\u02c7rej Cert\u00edk CONTENTS 1 Introduction 1.1 Preface 1.2 Introduction.

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Unformatted text preview: Theoretical Physics Reference Release 0.5 ˇ Ondˇrej Certík Aug 14, 2018 CONTENTS 1 Introduction 1.1 Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 Contributors 3 3 Mathematics 3.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Real and Imaginary Part . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Argument Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Complex Conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9 Testing Identities Using Computer Code . . . . . . 3.3 Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Computation of Residues . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Complex Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Shift Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Radial Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Fourier Transform of a Periodic Function (e.g. in a Crystal) 3.5.1 One Dimension (Fourier Series) . . . . . . . . . . 3.6 Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Decimation In Frequency (DIF) . . . . . . . . . . 3.8 Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Coordinates . . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Example . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . 3.12.1 Example I . . . . . . . . . . . . . 3.12.2 Example II . . . . . . . . . . . . 3.13 Argument function, atan2 . . . . . . . . . 3.14 Multiple Argument Formulas . . . . . . . 3.14.1 sin(a x) . . . . . . . . . . . . . . 3.14.2 cos(a x) . . . . . . . . . . . . . . 3.15 Delta Function . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17 Variations and Functional Derivatives . . . 3.17.1 Functions of One Variable . . . . 3.17.2 Functions of several variables . . 3.17.3 Functionals . . . . . . . . . . . . 3.17.4 Examples . . . . . . . . . . . . . 3.18 Dirac Notation . . . . . . . . . . . . . . . 3.19 Homogeneous Functions (Euler’s Theorem) 3.19.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . 3.19.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . 3.20 Green Functions . . . . . . . . . . . . . . 3.20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 3.20.2 Boundary Conditions . . . . . . . 3.20.3 Symmetry . . . . . . . . . . . . . 3.20.4 Examples . . . . . . . . . . . . . 3.21 Binomial Coefficients . . . . . . . . . . . 3.22 Double Sums . . . . . . . . . . . . . . . . 3.23 Triangle Inequality . . . . . . . . . . . . . 3.24 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . 3.25 Incomplete Gamma Function . . . . . . . 3.25.1 Example . . . . . . . . . . . . . . 3.26 Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.27 Double Factorial . . . . . . . . . . . . . . 3.27.1 Example . . . . . . . . . . . . . . 3.28 Fermi-Dirac Integral . . . . . . . . . . . . 3.29 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . 3.29.1 Example I . . . . . . . . . . . . . 3.29.2 Example II . . . . . . . . . . . . 3.29.3 Example III . . . . . . . . . . . . 3.29.4 Example IV . . . . . . . . . . . . 3.30 Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . 3.30.1 Examples . . . . . . . . . . . . . 3.31 Gaunt Coefficients . . . . . . . . . . . . . 3.31.1 Example I . . . . . . . . . . . . . 3.31.2 Example II . . . . . . . . . . . . 3.31.3 Example III . . . . . . . . . . . . 3.31.4 Example IV . . . . . . . . . . . . 3.31.5 Example V . . . . . . . . . . . . 3.31.6 Example VI . . . . . . . . . . . . 3.32 Wigner 3j Symbols . . . . . . . . . . . . . 3.32.1 Examples . . . . . . . . . . . . . 3.33 Multipole Expansion . . . . . . . . . . . . 3.34 Hypergeometric Functions . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . 4.1.4 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . 4.2 Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Rigid Body Rotation . . . . . . . . . . . . 4.3 Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Introduction: Why Tensors . . . . . . . . . 4.3.2 High School Formulation . . . . . . . . . . 4.3.3 College Formulation . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Differential Geometry Formulation . . . . . 4.3.5 Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Conclusion About Metric . . . . . . . . . . 4.3.7 Einstein’s Equations . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Continuous Distribution of Matter . . . . . 4.3.9 Obsolete Section . . . . . . . . . . . . . . 4.3.10 Inertial frames . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.11 Lorentz Group . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.12 O(4) Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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3.40 3.41 4 3.34.1 Convergence Conditions . . . . . 3.34.2 Elementary and Special Functions 3.34.3 Example I . . . . . . . . . . . . . 3.34.4 Example II . . . . . . . . . . . . 3.34.5 Example III . . . . . . . . . . . . Feynman Parameters . . . . . . . . . . . . 3.35.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . 3.35.2 Example 2 . . . . . . . . . . . . . Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.36.1 Theory . . . . . . . . . . . . . . . 3.36.2 Crystallographic Point Groups . . 3.36.3 Applications of finite groups . . . 3.36.4 Continuous Groups . . . . . . . . 3.36.5 Literature . . . . . . . . . . . . . Wigner D Function . . . . . . . . . . . . . 3.37.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . Ordinary Differential Equations . . . . . . 3.38.1 Finite Difference Formulas . . . . 3.38.2 Integrating ODE . . . . . . . . . 3.38.3 Radial Poisson Equation . . . . . Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 3.39.1 Scalar Product . . . . . . . . . . . 3.39.2 Projections . . . . . . . . . . . . Differential Geometry . . . . . . . . . . . 3.40.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . 3.40.2 Examples . . . . . . . . . . . . . Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.41.1 Introduction . . . . . . . . . . . . 3.41.2 Spectrum . . . . . . . . . . . . . 3.41.3 Derivative Operator . . . . . . . . 3.41.4 Sturm–Liouville Operator . . . . 3.41.5 Angular Momentum Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 4.3.13 4.3.14 4.3.15 5 6 7 8 iv Proper Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 FAQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Questions Without Answers (Yet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Classical Electromagnetism 5.1 Maxwell’s Equations . . . . . . . . . . 5.1.1 Electromagnetic Field . . . . . 5.1.2 Maxwell’s Equations . . . . . 5.1.3 Lorentz Force . . . . . . . . . 5.1.4 Hamiltonian . . . . . . . . . . 5.1.5 Electromagnetic Stress Tensor 5.1.6 Examples . . . . . . . . . . . 5.2 Semiconductor Device Physics . . . . 5.2.1 Equations . . . . . . . . . . . 5.2.2 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 223 223 225 227 229 230 231 247 248 249 Thermodynamics and Statistical Physics 6.1 Thermodynamics . . . . . . . . . . . 6.1.1 Thermodynamic Potentials . 6.1.2 Examples . . . . . . . . . . 6.2 Statistical Physics . . . . . . . . . . 6.2.1 Microcanonical Ensemble . 6.2.2 Canonical Ensemble . . . . 6.2.3 Grand Canonical Ensemble . 6.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 251 251 252 256 256 256 257 258 Fluid Dynamics 7.1 Fluid Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Stress-Energy Tensor . . . . . . . . . . . 7.1.2 Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . 7.1.3 Incompressible Equations . . . . . . . . . 7.1.4 Bernoulli’s Principle . . . . . . . . . . . 7.2 MHD Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Finite Element Formulation . . . . . . . . 7.3 Compressible Euler Equations . . . . . . . . . . . 7.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Dimensionless Euler Equations . . . . . . 7.3.3 Conservative Form of the Euler Equations 7.3.4 Weak Formulation . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Flux Jacobians . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 2D Version of the Equations . . . . . . . 7.3.7 Sea Breeze Modeling . . . . . . . . . . . 7.3.8 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 7.3.9 Newton Method . . . . . . . . . . . . . . 7.3.10 Older notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
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