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6 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 6.1 INTRODUCCIÓN Las ecuaciones que contienen derivadas en sus términos se llaman “ecuaciones diferencia- les”. Estas ecuaciones son de gran importancia pues la mayoría de las leyes científicas y de ingeniería se expresan mediante ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.) y ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.). Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen una sola variable independiente y sólo contienen derivadas totales, mientras que las ecua- ciones diferenciales parciales tienen más de una variable independiente y contienen deriva- das parciales. En este capítulo se verán las ecuaciones ordinarias y las ecuaciones parciales se estudiarán posteriormente. Como un ejemplo, la ecuación (6.1) describe la razón de cambio de la temperatura u de un cuerpo que pierde calor por convección natural, donde la región que rodea al cuerpo está a una temperatura constante: 4 5 ) 69 ( 27 . 0 = u dt du (6.1) La ecuación (6.1) es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (puesto que la deri- vada de más alto orden es una primera derivada), no lineal (puesto que la variable depen- diente u está elevada a la potencia 5/4). La solución de una ecuación diferencial, por técnicas analíticas, es una función que satisfa- ce a la ecuación diferencial y a ciertas condiciones iniciales en la función. En general, para una ecuación diferencial de orden n se deben conocer n condiciones iniciales independien- tes. Por desgracia, los métodos analíticos se limitan a ciertas formas especiales de ecuacio- nes; los cursos elementales tratan, normalmente, sólo ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando el orden de la ecuación es mayor que uno (por ejemplo, la ecuación (6.1) no es lineal). Por otra parte, los métodos numéricos no están limitados a ciertas formas de ecuaciones diferenciales. La solución numérica no consiste en una relación funcional sino en una tabu- lación de los valores de la función para varios valores de la variable independiente. Sin em- bargo, si las condiciones iniciales cambian, se debe recalcular completamente la tabla de valores. Se puede decir, entonces, que el rango de ecuaciones diferenciales que pueden ser resueltas por técnicas numéricas es mucho más amplio que el que puede serlo por técnicas analíticas. 69
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6.2 CATEGORÍAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden mayor que uno requiere que los valores de la variable dependiente o los valores de la variable dependiente y sus deriva- das se proporcionen en valores prescritos de la variable independiente. Cuando estas res- tricciones se imponen en un mismo valor de la variable independiente, generalmente al ini- cio o “valor inicial”, el problema se llama “de valor inicial”. Cuando las restricciones se imponen en diferentes valores de la variable independiente el problema se llama “de valor en la frontera”. Las restricciones en los problemas de valor inicial se llaman generalmente
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  • The Land, Derivada, Ecuación, Ecuación diferencial ordinaria, Ecuación diferencial, Ecuación diferencial lineal, Problema de valor inicial

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