TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA, Marin Antuna, Jose Miguel.pdf

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Unformatted text preview: TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA PÁGINA LEGAL Primera edición, Editorial Universitaria, 2014. Calle 23 No. 565 e/ F y G, Vedado, La Habana, Cuba. E-mail: [email protected] Teléfono: (+537) 837 4538 e ISBN 978-959-16-2278-5 © Todos los derechos reservados José Miguel Marín Antuña, Profesor Emérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba. E-mail: [email protected] ´Indice Introducci´ on 9 1 Funciones de variable compleja. Funciones anal´ıticas 1.1 1.2 1.3 1.4 11 N´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.2 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Operaciones con n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Interpretaci´on geom´etrica de los n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . 16 1.1.5 Potencia y ra´ız de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.6 Esfera de los n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Sucesiones de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2 Criterio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Funciones de variable compleja. L´ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Derivaci´on con respecto al argumento complejo. Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.1 Derivadas y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Condiciones de diferenciabilidad de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . 40 3 ´INDICE 4 1.5 1.4.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.4 Funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.5 Funciones conjugadas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Integraci´ on de funciones de variable compleja 51 2.1 Concepto de integral de funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.1 Formulaci´on inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.2 Teorema de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.3 Corolario del Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.4 Generalizaci´on del Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3 Integral Indefinida. F´ormula de Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Integrales que dependen anal´ıticamente de un par´ametro . . . . . . . . . . . . . 68 2.5 F´ormula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6 2.5.1 Obtenci´on de la f´ormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5.2 Consecuencias de la F´ormula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 74 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 Series de funciones anal´ıticas 3.1 85 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Series num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.2 Series funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 Propiedades de las series convergentes uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3.1 Propiedades de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3.2 Desarrollo de una funci´on anal´ıtica en serie de potencias . . . . . . . . . 104 ´INDICE 3.4 3.5 3.6 5 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.1 Propiedades de las series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.2 Desarrollo de una funci´on anal´ıtica en serie de Laurent . . . . . . . . . . 114 Puntos singulares de las funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.1 Clasificaci´on de los puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.2 Conducta de las funciones anal´ıticas en el entorno de sus puntos singulares aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.5.3 Clasificaci´on de las singularidades en el entorno del infinito . . . . . . . . 136 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4 Prolongaci´ on anal´ıtica. Funciones elementales de variable compleja 4.1 4.2 4.3 Prolongaci´on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1.1 Teorema de unicidad de las funciones anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1.2 Prolongaci´on anal´ıtica. Concepto de superficie de Riemann . . . . . . . . 147 4.1.3 Prolongaci´on anal´ıtica a trav´es de la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.1.4 Prolongaci´on anal´ıtica por medio de series de potencias . . . . . . . . . . 154 4.1.5 Concepto de funci´on anal´ıtica completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Funciones elementales de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2.1 Funci´on exponencial. Funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.2 Funci´on logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.2.3 Funciones trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.4 Funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5 Teor´ıa de residuos y sus aplicaciones 5.1 143 187 Residuo. Teorema fundamental de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.1.1 Definici´on. F´ormulas para el c´alculo de residuos . . . . . . . . . . . . . . 187 5.1.2 Teorema fundamental de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 ´INDICE 6 5.2 Aplicaci´on de la teor´ıa de residuos al c´alculo de integrales definidas de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 2π 5.2.1 Integrales del tipo 0 f (sin x, cos x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R∞ 5.2.2 Integrales del tipo I = −∞ f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R∞ R∞ 5.2.3 Integrales del tipo I = −∞ f (x) cos αx dx ´o I = −∞ f (x) sin αx dx . . . . 5.4 6.2 6.3 200 203 Otros tipos de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.2.5 Integrales de funciones multivaluadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 R∞ Integrales del tipo 0 f (x) ln xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Residuo logar´ıtmico y sus aplicaciones. Principio del argumento . . . . . . . . . 242 5.3.1 Concepto de residuo logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.3.2 Principio del argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 6 Representaciones conformes 6.1 198 5.2.4 5.2.6 5.3 197 259 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.1.1 Transformaciones que conservan las propiedades arm´onicas . . . . . . . . 260 6.1.2 Significado geom´etrico del m´odulo y del argumento de la derivada de una funci´on anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.1.3 Representaci´on conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6.1.4 Principio de correspondencia de fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 6.1.5 Teorema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Funci´on bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 6.2.1 Funci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 6.2.2 Funci´on de inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 6.2.3 Funci´on bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 6.2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Funciones elementales 6.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 ´INDICE 7 6.3.2 Funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 6.3.3 Funci´on seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 6.3.4 Ejemplos de aplicaci´on de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . 297 6.4 Funci´on de Joukovsky. Perfiles de Joukovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 6.5 Integral de Schwarz-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.5.1 6.6 6.7 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Aplicaci´on de las representaciones conformes a la resoluci´on de problemas de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 6.6.1 Construcci´on de la funci´on de Green mediante representaciones conformes 334 6.6.2 Resoluci´on de problemas de frontera para la ecuaci´on de Laplace mediante representaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 6.6.3 M´etodo del potencial complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7 C´ alculo Operacional 7.1 7.2 7.3 7.4 373 La transformada de Laplace y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 7.1.1 Definiciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 7.1.2 Transformada de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 7.1.3 Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.1.4 Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 Determinaci´on del original a partir de la transformada . . . . . . . . . . . . . . 391 7.2.1 F´ormula de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 7.2.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 7.2.3 Caso de funci´on regular en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Aplicaci´on de la transformada de Laplace a la soluci´on de ecuaciones diferenciales410 7.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 7.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Otras transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 ´INDICE 8 7.5 7.4.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 7.4.2 Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 7.4.3 Transformada de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7.4.4 Transformaci´on de una integral de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.4.5 Prolongaci´on anal´ıtica de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 433 Ejercicios del Cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 8 Respuestas e indicaciones a los ejercicios 439 8.1 Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.2 Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.3 Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 8.4 Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 8.5 Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6 Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.7 Cap´ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 9 Ap´ endice 1. Principio de simetr´ıa 449 10 Ap´ endice 2. Redondeamiento de ´ angulos 459 10.1 Redondeamiento de ´angulos menores que π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 10.2 Redondamiento de ´angulos mayores que π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 11 Ap´ endice 3. La transformada de Fourier 467 Bibliograf´ıa 473 Introducci´ on En la presente obra se desarrollan los conceptos fundamentales y los m´etodos de trabajo de la teor´ıa de funciones de una variable compleja. En la literatura actual, generalmente se encuentran cursos muy amplios de esta teor´ıa dedicados fundamentalmente a aquellos lectores que han escogido por especialidad las Matem´aticas, a la vez que que se hallan otros cursos que solamente desarrollan los elementos de esa teor´ıa. Adem´as, no existe hasta el momento un libro en espa˜ nol que, a nuestro juicio, satisfaga las exigencias de un desarrollo sistem´atico y completo de las funciones de variable compleja a pesar de que cada vez son m´as populares en la F´ısica y en la t´ecnica los m´etodos que exigen una aplicaci´on seria de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas. Hacer hincapi´e en dicha aplicaci´on dentro del contenido de un curso matem´atico especializado es dif´ıcil y el que al respecto se hace en los cursos elementales es insuficiente. El fin que se propone el presente libro es precisamente eliminar esta insuficiencia desarrollando con la rigurosidad necesaria los m´etodos fundamentales de la teor´ıa de funciones de una variable compleja para aquellas personas que la necesitan en aras de su aplicaci´on a problemas f´ısicos y t´ecnicos. Su contenido est´a basado en el curso que el autor ha desarrollado durante 45 a˜ nos en la asignatura de M´etodos Matem´aticos de la F´ısica para el tercer a˜ no de la carrera de F´ısica de la Universidad de La Habana. Dos ediciones anteriores de este libro han sido utilizadas tambi´en como texto de los estudiantes de la carrera de F´ısica Nuclear del Instituto de Ciencias y Tecnolog´ıas Aplicadas. Como libro de consulta ha sido empleado en carreras tecnol´ogicas y pedag´ogicas de Cuba, as´ı como en la carrera de Matem´aticas de la Universidad de La Habana. Algunas universidades latinoamericanas han contado con ejemplares de esas ediciones como texto de consulta tambi´en. Sin embargo, en su revisi´on el autor ha encontrado deficiencias en el emplanaje de los ejemplares editados y tambi´en erratas que hacen deseable una nueva edici´on del libro. Es por eso que nos dimos a la tarea de hacer un an´alisis detallado de las ediciones anteriores y de elaborar una nueva versi´on del texto, si bien hemos querido mantener el estilo y el esp´ıritu inicial de la obra, pues ha sido de agrado de muchas generaciones de estudiantes que lo han utilizado para su formaci´on en el apasionante, elegante, bello y u ´til tema de la teor´ıa y las aplicaciones de las funciones de una variable compleja. No obstante lo dicho, la necesidad y el deseo de una exposici´on m´as amplia y sistem´atica de los contenidos ha conducido a la realizaci´on de un an´alisis m´as detallado de algunas cuestiones, por encima de lo que comunmente puede hacerse en el marco de un programa de conferencias. Es por ello que aparecen algunos temas que normalmente no entran en el contenido de dicho programa, pero que son de gran utilidad al f´ısico y al ingeniero. 9 10 Jos´e Mar´ın Antu˜ na El desarrollo del material es bastante cercano al tradicional. Sin embargo, no se hace un an´alisis especial de las funciones elementales de variable compleja al inicio del libro, como comunmente se lleva a cabo en otras obras, sino que ´estas se introducen como una prolongaci´on anal´ıtica directa de las funciones elementales de variable real; los teoremas sobre la prolongaci´on anal´ıtica permiten, de forma uniforme, trasladar al campo complejo las propiedades conocidas de las funciones de variable real. La exposici´on de la teor´ıa de residuos va encaminada a permitir la aplicaci´on directa por parte del lector de este poderoso aparato de trabajo como un arma de uso cotidiano en los problemas de integraci´on que se planteen; por ello est´a adornado de m´ ultiples ejemplos. Igualmente, el concepto y las implicaciones del residuo logar´ıtmico han sido desarrollados ampliamente, m´as de lo que habitualmente suelen hacer otros autores, ya que este sencillo concepto permite profundizar m´as en la esencia y el comportamiento de las funciones anal´ıticas y permite, de paso, despejar algunas viejas inc´ognitas de car´acter algebraico. En el desarrollo de la materia tambi´en hemos hecho ´enfasis en la aplicaci´on de la teor´ıa de las representaciones conformes a la soluci´on de problemas de la F´ısica Matem´atica, por ser uno de los aparatos m´as poderosos que pueden usarse en las investigaciones en esa disciplina. Dos ap´endices del libro se dedican a ese t´opico. Tambi´en se hace ´enfasis en la aplicaci´on de la transformada de Laplace a la soluci´on de problemas con ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias, como en derivadas parciales, por ser ellas un aparato de amplia utilizaci´on por los lectores a quienes va dirigido este libro. Adem´as, hemos introducido a trav´es de ejemplos y ejercicios propuestos los conceptos de algunas de las funciones especiales m´as importantes de la F´ısica Matem´atica con las que el lector puede encontrarse en el transcurso de su actividad profesional. Sin embargo, el libro no pretende un estudio sistem´atico de las funciones especiales que son tratadas con mayor amplitud y sistematicidad en el libro de M´etodos Matem´aticos de la F´ısica del autor. Este libro, como su nombre lo indica, est´a dedicado principalmente a la teor´ıa de funciones de una variable compleja; sin embargo, no se concibe un libro de teor´ıa matem´atica que no contenga ejemplos esclarecedores y que no proponga al lector ejercicios que le permitan comprobar sus conocimientos. Por eso, sin ser un libro amplio en ejercicios, al final de cada cap´ıtulo se proponen varios de ellos sobre la materia desarrollada. Al final del Cap´ıtulo 7 se ofrecen las respuestas a los ejercicios propuestos y las indicaciones para la soluci´on de algunos de ellos. Se recomienda al lector la soluci´on de los ejercicios propuestos, a fin de comprobar los conocimientos te´oricos adquiridos, as´ı como para adquirir la destreza necesaria en el manejo de dicha teor´ıa. Las opinones de los lectores sobre esta nueva versi´on del libro ser´an recibidas con agrado y agradecimiento por el autor. La Habana, Cuba, 2012. Cap´ıtulo 1 Funciones de variable compleja. Funciones anal´ıticas 1.1 N´ umeros complejos El concepto de n´ umero complejo apareci´o, en primer lugar, como resultado de la necesidad de sistematizar los c´alculos. Los matem´aticos se vieron necesitados de utilizarlos desde ´epocas relativamente tempranas. Inclusive las m´as sencillas operaciones algebraicas con n´ umeros reales se salen del marco del campo de los n´ umeros reales. Es conocido que no toda ecuaci´on algebraica puede ser resuelta con n´ umeros reales; por consiguiente, es necesario renunciar a la aplicaci´on autom´atica de los m´etodos de soluci´on establecidos y en cada caso investigar minuciosamente las posibili...
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