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PresentacionLaplace.ppt - Solución de problemas en...

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Unformatted text preview: Solución de problemas en circuitos eléctricos por transformada de Laplace. AUTORES: Planteamiento del Problema Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales. Objetivos de la Investigación Objetivo General • Aplicar la transformada de Laplace Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en circuitos eléctricos Objetivos Específicos • Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método. Objetivos de la Investigación Objetivos Específicos • Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores. • Aplicar el método a un circuito eléctrico típico Justificación • Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales. • En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del problema. • Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricos Alcances y Limitaciones • Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace. • Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. • Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. • No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. • Los resultados no serán contrastados experimentalmente Bases Teóricas • Definición de Transformada de Laplace F ( s ) L [ f ( t )] e st f ( t )dt 0 • Propiedades de la Transformada de Laplace La transformada de Laplace es lineal L [ f1 ( t ) f 2 ( t )] L [ f1 ( t )] L [ f 2 ( t )] Bases Teóricas Transformada de una derivada d n f (t ) d n 1 f n n 1 L ( 0) s .L [ f ( t )] s . f (0) ... n n dt dt Transformada de una integral t 1 L [ f ( ).d ] .L [ f ( t )] s 0 • Definición de términos básicos Condensador y Capacitancia Resistencia Inductor e Inductancia Fuente Marco Metodológico • Definir el caso de estudio. • Identificar cada uno de los elementos • • • del circuito eléctrico a resolver. Plantear el diagrama del circuito eléctrico a resolver. Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito eléctrico. Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia. Marco Metodológico • Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace. • Definir la señal de entrada o perturbación. • En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial planteada. • Graficar y analizar los resultados. Caso I: CIRCUITO RCL • Definición del caso • Elementos del circuito • Diagrama del circuito Caso I: CIRCUITO RCL • Se aplica una la Ley de Kirchoff v(t ) vr (t ) vl (t ) vc(t ) • Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito t di (t ) 1 v(t ) R.i (t ) L. .i (t ).dt di C 0 Caso I: CIRCUITO RCL • Transformación al dominio de la frecuencia 1 t di(t ) L v(t) L R.i (t ) L L. L .i (t ).dt di C 0 I ( s) V ( s ) R.I ( s ) L. s.I ( s ) i (0 ) C.s • Corriente en el dominio de la frecuencia s.V ( s ) I ( s) 2 2 L. ( s a ) R a 2.L 1 R L.C 2.L 2 Caso I: CIRCUITO RCL • Solución de la ecuación diferencial Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa vo V(s) L v(t ) L vo s Aplicando la transformada inversa de Laplace vo L [ I ( s )] L 2 2 L . s a vo a . t i ( t ) .e . sen( .t ) L -1 -1 Caso I: CIRCUITO RCL • Gráfica del resultado Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Definición del Caso • Elementos del circuito • Diagrama del Circuito Armadura Ra ia Campo Rf vf La if , Lf Rozamiento: f Inercia: J Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Relación torque – Corriente eléctrica T K 1 .K f .ia .i f (t ) K .i f (t ) • Relación torque – Velocidad Angular d T J. f . dt • Ecuación de Voltaje V f (t ) R f .i f (t ) L f . di f (t ) dt Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Ecuación diferencial del sistema físico R f d Lf V f (t ) . J . f . K dt K d 2 d . J . 2 f . dt dt • Transformación al dominio de la frecuencia W (s) K .V f ( s ) ( L f .s R f ).( J .s f ) Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directa vo V(s) L v(t ) L vo s Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Ecuación en el dominio de la frecuencia K .vo W ( s) s.( L f .s R f ).( J .s f ) K .vo L .J f Rf . s f s. s L f J • Solución de la ecuación diferencial La solución se obtiene realizando una expansión en fracciones parciales. Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Expansión en fracciones parciales K .vo L .J K A f .vo. B C W (s) L .J Rf f s Rf f f s s . s s. s J Lf L J f • Los valores de A, B, C son: A 1 a.b 1 B a ( a b) 1 C b( a b ) Con a Rf Lf f b J Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Aplicando la transformada inversa Caso II: Motor eléctrico de corriente directa • Grafica Velocidad Angular - Tiempo Conclusiones • Se logró conocer la importancia de la técnica de transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos. • Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace. • La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo. Conclusiones • La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico. • Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada. • Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se a un valor dado por: K estabiliza vo . L f .J a .b ...
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  • Fall '19
  • Derivada, Ecuación, Ecuación diferencial, Dominio de la frecuencia, Dominio del tiempo

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