מבחן לדוגמה.pdf

מבחן לדוגמה.pdf - ‫האוניברסיטה...

  • No School
  • AA 1
  • 2

This preview shows page 1 out of 2 pages.

Unformatted text preview: ‫האוניברסיטה העברית בירושלים‬ ‫החוג למתמטיקה‬ ‫תורת המספרים האלמנטרית ‪80115‬‬ ‫מבחן לדוגמה‪/‬שאלות חזרה‬ ‫משך הבחינה‪:‬‬ ‫מרצה‪ :‬יעקב ורשבסקי‬ ‫‪ 3‬שעות‬ ‫• אין להשתמש בחומר עזר כשלהו כולל מחשבון‪.‬‬ ‫• יש לענות על חמש שאלות מתוך שש השאלות במבחן שבטופס‪ .‬משקל‬ ‫כל שאלה ־ ‪ 20‬נקודות )בשאלות עם סעיפים‪ ,‬משקל כל סעיף הוא ‪10‬‬ ‫נקודות(‪.‬‬ ‫• יש לפרט את החישובים‪ ,‬לנמק את כל הטענות ולצטט במדויק את כל‬ ‫התנאים של המשפטים עליהם אתם מסתמכים‪.‬‬ ‫‪ .1‬פתרו את מערכת משוואות הקונגרואנציה‪:‬‬ ‫‪x ≡ 2 mod 11‬‬ ‫‪x ≡ 5 mod 31‬‬ ‫(‬ ‫)א( מצאו את כל השלושות הפיתגוריות הפרימיטיביות )‪ (a, b, c‬כך ש־ ‪.b = 45‬‬ ‫‪) .2‬א( נתונים ‪ a, b, c ∈ N‬כך ש־ ‪ .a2 + b2 = c2‬הוכיחו כי ‪ 7 | a + b‬או ‪ 7 | a − b‬או‬ ‫‪.7 | ab‬‬ ‫)ב( הוכיחו כי אם ‪ p ∈ N‬ראשוני‪ ,p ≡ 1 mod 6 ,‬אז למשוואה ‪x2 − x + 1 ≡ 0‬‬ ‫‪ mod p‬יש פתרונות שלמים‪.‬‬ ‫‪) .3‬א( הוכיחו כי קיימים אינסוף ראשוניים מהצורה ‪.4n + 1‬‬ ‫‪P1‬‬ ‫)‪σ(n‬‬ ‫כאשר הסכום הוא על כל ‪d ∈ N‬‬ ‫)ב( הוכיחו כי לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪d = n‬‬ ‫כך ש־ ‪.d | n‬‬ ‫‪) .4‬א( יהיו ‪ a0 ∈ Z‬ו־ ‪ .a1 , a2 , ... ∈ N‬הסדרות ) ‪ (pn ), (qn‬מוגדרות באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ p0 = a0 , p1 = a0 a1 + 1‬ו־ ‪ q0 = 1, q1 = a1‬ולכל ‪ n ≥ 2‬נגדיר‬ ‫‪qn = an qn−1 + qn−2 .‬‬ ‫‪pn = an pn−1 + pn−2 ,‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ pq2n‬מונוטונית עולה ממש והסדרה‬ ‫הוכיחו כי הסדרה‬ ‫‪p2l+1‬‬ ‫‪p2k‬‬ ‫ממש‪ .‬בנוסף הוכיחו כי לכל ‪ k, l‬מתקיים ‪q2k < q2l+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p2n+1‬‬ ‫‪q2n+1‬‬ ‫מונוטונית יורדת‬ ‫)ב( נתון ‪ ,1 < k ,k ∈N‬כך ש־ ‪ p = 6 · 4k + 1‬ראשוני‪ .‬הוכיחו כי ‪ k‬הנו זוגי וגם‬ ‫‪. p5 = −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x2 −‬אז קיים ‪ n‬כך ש־ ‪ x = pn‬ו־ ‪ y = qn‬ביחס לשבר‬ ‫‪) .5‬א( הוכיחו כי אם ‪√dy = 1‬‬ ‫המשולב המתאים ל־ ‪. d‬‬ ‫)ב( נתון ‪ p ∈ N‬ראשוני אי־זוגי‪ a ∈ N ,‬הוא שורש פרימיטיבי מודולו ‪ .p‬הוכיחו‬ ‫כי המכפלה של כל שאריות האי־ריבועיות מ־ ‪ 1‬עד ‪ p − 1‬שקולה מודולו ‪ p‬ל־‬ ‫‪(p−1)2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪ n .6‬הוא מספר מושלם וזוגי אז קיים ‪ s‬טבעי כך ש־ ‪ 2s − 1‬הוא ראשוני וכך ש־‬ ‫)‪.n = 2s−1 (2s − 1‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪2‬‬ ...
View Full Document

  • Fall '19

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern