2007_Analisis_Numerico_FenomenoTrtansporte_Norberto Nigro.pdf - M´ etodos Num´ ericos en Fen´ omenos de Transporte Norberto Nigro

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Unformatted text preview: M´ etodos Num´ ericos en Fen´ omenos de Transporte. Norberto Nigro <[email protected]> Mario Storti <[email protected]> www: http: // www. cimec. org. ar/ cfd Centro Internacional de M´etodos Computacionales en Ingenier´ıa http: // www. cimec. org. ar (Document version: curso-cfd-0.0.2-15-gb72220a ’clean) (Date: Sun Sep 30 12:31:24 2007 -0300) ´Indice general 1. Modelos fis´ıcos y matem´ aticos 1.1. Conceptos introductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Postulado del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. La soluci´ on a los problemas de mec´anica de fluidos . . . 1.1.4. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Propiedades de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Cinem´ atica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. El vol´ umen material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. El principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento 1.3. TP.I.- Trabajo Pr´ actico #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 10 11 12 13 15 15 15 36 2. Niveles din´ amicos de aproximaci´ on 2.0.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Modelo de fluido incompresible . . . . . . . . . 2.1.2. Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas 2.1.3. Aproximaci´ on ”Thin shear layer” (TSL) . . . 2.1.4. Aproximaci´ on Navier-Stokes parabolizada . . . 2.1.5. Aproximaci´ on de capa l´ımite . . . . . . . . . . 2.2. Modelo de flujo inv´ıscido . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades de las soluciones discontinuas . . 2.3. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Aproximaci´ on de peque˜ nas pertubaciones . . 2.3.2. Flujo potencial linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 41 42 43 44 45 46 46 47 49 51 51 3. Naturaleza matem´ atica de las ecuaciones 3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Superficies caracter´ısticas. Soluciones del tipo ondas 3.3. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo ´orden 3.4. Definici´ on general de superficie caracter´ıstica . . . . 3.5. Dominio de dependencia - zona de influencia . . . . 3.6. Condiciones de contorno e iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 55 55 58 60 61 1 . . . . . . ´INDICE GENERAL ´INDICE GENERAL 3.6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. MatLab como software de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. M´ etodo de diferencias finitas 4.1. Diferencias finitas en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Desarrollo en Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Aproximaciones de mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Aproximaci´ on de derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. N´ umero de puntos requeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial por el m´etodo de diferencias finitas . . . . 4.1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.7. An´ alisis de error. Teorema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.8. Condiciones de contorno tipo Neumann (“flujo impuesto”) . . . . . . . . . . . 4.2. Problemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. M´etodo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. M´etodo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Precisi´ on y n´ umero de puntos en el esquema de diferencias finitas . . . . . . . . . . . 4.4. M´etodo de diferencias finitas en m´as de una dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Aproximaci´ on en diferencias finitas para derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Stencil del operador discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Resoluci´ on del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Estructura banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Requerimientos de memoria y tiempo de procesamiento para matrices banda 4.6.3. Ancho de banda y numeraci´on de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Dominios de forma irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Inmersi´ on del dominio irregular en una malla homog´enea . . . . . . . . . . . 4.7.2. Mapeo del dominio de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.5. Mallas generadas por transformaci´on conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. La ecuaci´ on de convecci´ on-reacci´on-difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Interpretaci´ on de los diferentes t´erminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Discretizaci´ on de la ecuaci´on de advecci´on-difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Desacoplamiento de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4. Esquemas de diferencias contracorriente (upwinded) . . . . . . . . . . . . . . 4.8.5. El caso 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.6. Resoluci´ on de las ecuaciones temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Conducci´ on del calor con generaci´on en un cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 63 73 73 73 75 75 76 76 78 79 80 84 86 87 89 90 92 92 95 96 96 97 99 100 101 103 104 104 106 111 112 117 118 118 120 122 123 5. T´ ecnicas de discretizaci´ on 125 5.1. M´etodo de los residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1.2. Aproximaci´ on por residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 ((docver curso-cfd-0.0.2-15-gb72220a ’clean) (docdate Sun Sep 30 12:31:24 2007 -0300) (proc-date Sun Sep 30 12:33:23 2007 -0300)) 2 ´INDICE GENERAL ´INDICE GENERAL 5.1.3. Residuos ponderados para la resoluci´on de ecuaciones diferenciales 5.1.4. Condiciones de contorno naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. M´etodos de soluci´ on del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7. Problemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.9. TP.chapV– Trabajo Pr´ actico #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 137 138 139 140 144 145 6. M´ etodo de los elementos finitos 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Funciones de forma locales de soporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Aproximaci´ on a soluciones de ecuaciones diferenciales. Requisitos sobre la continuidad de las funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Formulaci´ on d´ebil y el m´etodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Aspectos computacionales del m´etodo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Interpolaci´ on de mayor orden en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Grado de las funciones de prueba y velocidad de convergencia . . . . . . . . . 6.6.2. Funciones de forma de alto orden standard de la clase C 0 . . . . . . . . . . . 6.7. Problemas con advecci´ on dominante - M´etodo de Petrov-Galerkin . . . . . . . . . . . 6.8. El caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2. Elemento triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3. Elemento cuadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.4. Transformaci´ on de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5. Integraci´ on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Problemas dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1. Discretizaci´ on parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2. Discretizaci´ on espacio-temporal por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . 6.10. El m´etodo de los elementos finitos aplicado a las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . 6.11. TP.VI- Trabajo Pr´ actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 149 151 7. M´ etodo de los vol´ umenes finitos 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Formulaci´ on del m´etodo de los vol´ umenes finitos . . 7.2.1. Mallas y vol´ umenes de control . . . . . . . . . 7.3. El m´etodo de los vol´ umenes finitos en 2D . . . . . . . 7.3.1. Evaluaci´ on de los flujos convectivos . . . . . . 7.3.2. F´ ormulas generales de integraci´on . . . . . . . 7.4. El m´etodo de los vol´ umenes finitos en 3D . . . . . . . 7.4.1. Evaluaci´ on del area de las caras de la celda . . 7.4.2. Evaluaci´ on del vol´ umen de la celda de control 194 194 197 198 199 199 204 206 206 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ((docver curso-cfd-0.0.2-15-gb72220a ’clean) (docdate Sun Sep 30 12:31:24 2007 -0300) (proc-date Sun Sep 30 12:33:23 2007 -0300)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 157 157 158 162 163 164 165 166 167 170 170 170 172 179 181 182 182 183 187 189 3 ´INDICE GENERAL ´INDICE GENERAL 7.5. TP.VII.- Trabajo Pr´ actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8. An´ alisis de esquemas num´ ericos 8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. El m´etodo de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. Factor de amplificaci´ on . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Extensi´ on al caso de sistema de ecuaciones . 8.5.3. An´ alisis espectral del error num´erico . . . . 8.5.4. Extensi´ on a esquemas de tres niveles . . . . 8.5.5. El concepto de velocidad de grupo . . . . . . 8.5.6. An´ alisis de Von Neumann multidimensional 8.6. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. TP. Trabajo Pr´ actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 213 213 216 218 220 221 223 228 232 232 233 234 235 9. M´ etodos iterativos para la resoluci´ on de ecuaciones lineales 9.1. Conceptos b´ asicos de m´etodos iterativos estacionarios . . . . . . . . 9.1.1. Notaci´ on y repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. El lema de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3. Radio espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4. Saturaci´ on del error debido a los errores de redondeo. . . . . 9.1.5. M´etodos iterativos estacionarios cl´asicos . . . . . . . . . . . . 9.2. M´etodo de Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. M´etodos de Krylov y propiedad de minimizaci´on . . . . . . . 9.2.2. Consecuencias de la propiedad de minimizaci´on. . . . . . . . 9.2.3. Criterio de detenci´ on del proceso iterativo. . . . . . . . . . . 9.2.4. Implementaci´ on de gradientes conjugados . . . . . . . . . . . 9.2.5. Los “verdaderos residuos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6. M´etodos CGNR y CGNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. El m´etodo GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. La propiedad de minimizaci´on para GMRES y consecuencias 9.3.2. Criterio de detenci´ on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Precondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4. Implementaci´ on b´ asica de GMRES . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5. Implementaci´ on en una base ortogonal . . . . . . . . . . . . . 9.3.6. El algoritmo de Gram-Schmidt modificado . . . . . . . . . . . 9.3.7. Implementaci´ on eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.8. Estrategias de reortogonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.9. Restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.10. Otros m´etodos para matrices no-sim´etricas . . . . . . . . . . 9.3.11. Gu´ıa Nro 3. GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Descomposici´ on de dominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 238 238 243 246 248 249 254 254 256 260 264 269 275 275 275 279 280 281 282 284 284 285 285 285 288 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ((docver curso-cfd-0.0.2-15-gb72220a ’clean) (docdate Sun Sep 30 12:31:24 2007 -0300) (proc-date Sun Sep 30 12:33:23 2007 -0300)) 4 ´INDICE GENERAL ´INDICE GENERAL 9.4.1. Condicionamiento del problema de interfase. An´alisis de Fourier. . . . . . . . . 291 9.5. Gu´ıa de Trabajos Pr´ acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 10.Flujo incompresible 10.1. Definici´ on de flujo incompresible . . . . . . 10.2. Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible . 10.3. Formulaci´ on vorticidad-funci´ on de corriente 10.4. Discretizaci´ on en variables primitivas . . . . 10.5. Uso de mallas staggered . . . . . . . . . . . 10.6. Discretizaci´ on por elementos finitos . . . . . 10.7. El test de la parcela . . . . . . . . . . . . . 10.8. La condici´ on de Brezzi-Babuska . . . . . . . 10.9. M´etodos FEM estabilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ((docver curso-cfd-0.0.2-15-gb72220a ’clean) (docdate Sun Sep 30 12:31:24 2007 -0300) (proc-date Sun Sep 30 12:33:23 2007 -0300)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 299 300 300 302 304 305 307 309 310 5 Introducci´ on. Contenidos del curso Este curso b´ asico sobre CFD siguiendo los lineamientos del libro de C. Hirsch [Hirsch] se divide en 2 partes: 1. Fundamentos y t´ecnicas generales aplicables a los fen´omenos de transporte en general y al flujo de calor y de fluidos en particular a) MODELOS FISICOS Y MATEMATICOS EN CFD b) APROXIMACIONES DINAMICAS c) NATURALEZA MATEMATICA DE LAS ECUACIONES d) TECNICAS DE DISCRETIZACION GLOBAL e) METODOS ESPECTRALES f ) TECNICAS DE DISCRETIZACION LOCAL g) METODOS DE ELEMENTOS FINITOS h) TECNICAS DE DISCRETIZACION LOCAL i) METODOS DE VOLUMENES FINITOS j) ANALISIS NUMERICO DE ESQUEMAS DISCRETOS k) RESOLUCION DE ECUACIONES DISCRETIZADAS l) APLICACIONES 2. T´ecnicas espec´ıficas aplicables a problemas de mec´anica de fluidos y transferencia de calor. a) FLUJO INVISCIDO COMPRESIBLE b) FLUJO VISCOSO COMPRESIBLE c) FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE d) TOPICOS ESPECIALES La primera parte del curso consiste en presentar los principios generales sobre los que se apoyan los modelos f´ısicos que interpretan muchas de las situaciones experimentales en mec´anica de fluidos y transferencia de calor. Mediante una visi´ on del material propia de la mec´anica del continuo se obtiene posteriormente un modelo matem´ atico que en general consiste de un conjunto de ecuaciones a derivadas parciales con o sin restricciones y con sus respectivos valores de contorno e iniciales que completan 6 ´INDICE GENERAL ´INDICE GENERAL su definici´on. Dada la complejidad matem´atica de estos modelos, salvo en situaciones muy particulares en las cuales se pueden obtener soluciones anal´ıticas, requieren de su resoluci´on num´erica con lo cual se hace necesario presentar las diferentes t´ecnicas de discretizaci´on habitualmente empleadas en problemas de transporte de calor y momento. Debido al diferente car´acter de las ecuaciones diferenciales, tanto en su visi´ on continua como en su contraparte discreta y a la presencia de ecuaciones adicionales en los contornos, tambien discretizadas, se requiere un minucioso an´alisis de los esquemas num´ericos empleados previo a su resoluci´ on, con el fin de poder interpretar las t´ecnicas num´ericas desde el punto de vista de la precisi´ on, la convergencia, la consistencia y la estabilidad. A continuaci´on se aborda el tema de la resoluci´ on num´erica delsistema algebraico/diferencial de ecuaciones que surge de la discretizaci´on empleada. Este t´ opico tiene alta incidencia en la factibilidad de resolver problemas num´ericos ya que de acuerdo al problema en mano y a los recursos computacionales disponibles muestra las diferentes alternativas para su resoluci´ on. Esta primera parte finaliza con una serie de aplicaciones de los conceptos adquiridos a la resoluci´ on de las ecuaciones de convecci´on difusi´on tanto en su version estacionaria como transiente, desde el simple caso unidimensional a...
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  • Fall '19
  • The Land, Fluido, Derivada, Leyes de Newton, Cantidad de movimiento

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

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